關(guān)于正項(xiàng)級數(shù)幾個(gè)習(xí)題的聯(lián)系與推廣

陳 慶， 華夢霞

(南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473061)

做好習(xí)題是使學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想方法和精神實(shí)質(zhì)的有效途徑之一.在教學(xué)中若能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同習(xí)題之間的聯(lián)系，進(jìn)而聯(lián)系不同章節(jié)之間的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將有助于進(jìn)一步加深學(xué)生對知識(shí)的理解，培養(yǎng)其發(fā)散思維.本文將對數(shù)項(xiàng)級數(shù)的兩個(gè)習(xí)題進(jìn)行聯(lián)系，同時(shí)給出其在無窮積分情況下的表現(xiàn)形式.

文獻(xiàn)[1]第169頁例3.2.1，文獻(xiàn)[2]第26頁總練習(xí)題分別給出了如下習(xí)題：

命題1{an}單調(diào)遞減趨于0, 則

證明:“?” 即為習(xí)題1.

若僅知{an}單調(diào)遞減，不知{an}是否收斂于0，可將命題1結(jié)論改寫為如下形式.

命題2{an}單調(diào)遞減，則以下論述等價(jià):

(2)?(1) 由{an}單調(diào)遞減，得{a1-an}單調(diào)遞增.

數(shù)項(xiàng)級數(shù)和無窮積分之間存在著密切的聯(lián)系，利用一般測度的積分，許多時(shí)候可將積分與級數(shù)統(tǒng)一處理[3-5]. 因此在數(shù)項(xiàng)級數(shù)、無窮積分中有許多相聯(lián)系、相對應(yīng)的知識(shí)模塊或結(jié)論. 這在習(xí)題中往往也有體現(xiàn).在教學(xué)中，如果能有意識(shí)地加強(qiáng)此方面的引導(dǎo)，將有助于學(xué)生理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)和無窮積分之間的聯(lián)系，同時(shí)為更好地學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)、泛函分析等后繼課程，從不同課程知識(shí)更深地理解部分習(xí)題打下基礎(chǔ)[6].

如文獻(xiàn)[7]第282頁有如下習(xí)題：

顯然習(xí)題2與習(xí)題3極為相似， 在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：既然習(xí)題2與習(xí)題3關(guān)系密切，那么在處理無窮積分?jǐn)可⑿詴r(shí)，能否得到與命題1、命題2類似的結(jié)果，并適時(shí)地向?qū)W生介紹如下結(jié)果.

于是對?N>u，

命題4f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞減，則以下論述等價(jià):

(2)?(1)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞減，?M>0,當(dāng)u>a+1時(shí)，

即

所以

又x∈[a,a+1]，有f(x)≥f(a+1)，從而