跨越認(rèn)知斷層 走向深度學(xué)習(xí)
——“三角形的面積”教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江省溫州市濱江外國語小學(xué) 林志輝

浙江省溫州市百里路小學(xué) 朱昭偉

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版數(shù)學(xué)五年級上冊P95-96。

【緣起】

“三角形的面積”作為人教版數(shù)學(xué)五年級上冊《多邊形的面積》單元“平行四邊形的面積”之后的內(nèi)容，是在學(xué)生掌握了三角形的特征及長方形、正方形、平行四邊形的面積計算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，同時又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)梯形面積、圓的面積和立體圖形表面積的基礎(chǔ)，是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域不可或缺的重要內(nèi)容。概覽國內(nèi)人教、北師大、蘇教等幾個版本的教材，我們可以發(fā)現(xiàn)有些版本的教材同時采用割補(bǔ)法、倍拼法轉(zhuǎn)化推導(dǎo)三角形的面積公式，所有版本的教材都采用了倍拼法轉(zhuǎn)化推導(dǎo)三角形的面積公式?？梢?，教材對于面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)過程及倍拼法的重視程度。

那么，學(xué)生是否具備轉(zhuǎn)化推導(dǎo)三角形的面積的知識及經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)呢？學(xué)生能否自行領(lǐng)悟“倍拼法”轉(zhuǎn)化推導(dǎo)三角形的面積呢？在本課之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了運(yùn)用數(shù)格子等方法抽象概括長方形、正方形面積公式的過程，而在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積中，又初步掌握了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和割補(bǔ)方法推導(dǎo)平行四邊形面積公式的方法，為三角形面積公式推導(dǎo)奠定了一定的基礎(chǔ)。具體到“倍拼法”，雖然學(xué)生之前學(xué)習(xí)過倍拼內(nèi)容，但采用“倍拼法”進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化，卻是在本課第一次出現(xiàn)。通過前測，我們也發(fā)現(xiàn)，雖然大部分學(xué)生能用“數(shù)格子”“割補(bǔ)法”或直接運(yùn)用面積公式求出格子圖中的三角形的面積，但近80%的學(xué)生對于公式的推導(dǎo)過程并未真正理解。另外，盡管相對于“等積轉(zhuǎn)化”，運(yùn)用“倍積轉(zhuǎn)化”推導(dǎo)三角形面積公式更加形象直觀，卻只有16%的學(xué)生想到用“倍拼法”進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化。

那么，本節(jié)課如何帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷三角形面積探索的全過程，跨越“等積轉(zhuǎn)化”到“倍積轉(zhuǎn)化”的認(rèn)知斷層，積累活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念呢？我們的想法是以核心大問題為引領(lǐng)，以關(guān)鍵問題為驅(qū)動，在圖式相融、方法勾連中，跨越認(rèn)知斷層，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)三角形面積的深度學(xué)習(xí)。其教學(xué)目標(biāo)確定為：

1.理解并掌握三角形面積轉(zhuǎn)化的方法及面積公式，能正確計算三角形的面積。

2.經(jīng)歷三角形面積的探索過程，積累活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化的思想和方法，發(fā)展空間觀念和初步的推理能力。

3.感受數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，收獲學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)實(shí)錄】

一、“前測”對比，初感轉(zhuǎn)化

（一）問題引領(lǐng)

師：這是一個平行四邊形（見圖1），它的面積是多少？如果在它里面畫一個面積最大的三角形，三角形的面積是多少？

圖1

（二）“前測”對比

1.反饋前測

師：其實(shí)，對于這個問題，課前我們已經(jīng)做過研究。有的同學(xué)認(rèn)為這個三角形（見圖2）的面積是最大的，它的面積怎么計算？

圖2

生：此時把平行四邊形分成兩個一樣大的三角形，所以，三角形的面積是平行四邊形面積的一半，可以列式“10×4÷2”，它的面積就是20 cm2。

師：有同學(xué)列了同樣的算式，但是他畫的三角形卻不一樣，想象一下，可能是怎樣的？

（學(xué)生思考想象，教師出示學(xué)生預(yù)學(xué)作品，見圖3）

圖3

2.對比聚焦

師：這兩個三角形形狀不同，為什么都可以用“10×4÷2”求面積呢？

生：因?yàn)樗鼈兌际峭粋€平行四邊形面積的一半，所以都可以先算平行四邊形的面積，再除以2。

師：都是同一個平行四邊形的一半，平行四邊形在哪里？

（課件出示平行四邊形）

師（追問）：為什么求它們的面積都要除以2？

【設(shè)計意圖：課前預(yù)學(xué)以“在平行四邊形內(nèi)畫一個面積最大的三角形，并說明怎樣計算它的面積”這樣富有挑戰(zhàn)性的問題激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。在課始階段以普遍性作品反饋、對比，勾連三角形和平行四邊形的面積，引導(dǎo)學(xué)生在圖式轉(zhuǎn)化中初感三角形的面積轉(zhuǎn)化?！?/p>

二、自主探索，再感轉(zhuǎn)化

（一）自主探索

師：有的同學(xué)認(rèn)為此時三角形的面積也是最大的，怎么計算它的面積呢？（見圖4）

圖4

師：想一想、畫一畫、算一算，在學(xué)習(xí)單（1）上表示出你的想法。

（學(xué)生自主探索，教師巡視）

（二）作品反饋

教師巡視并收集學(xué)生的代表性作品，反饋學(xué)生的作品：

1.割補(bǔ)法

作品一（見圖5）：

圖5

師：這是A同學(xué)的作品，你是怎么想的？

生：我是把三角形兩邊的部分通過割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化成一個長方形，長方形的長是三角形底邊的一半，就是5cm，寬等于三角形的高是4cm，長方形的面積是5×4=20（cm2），長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是20cm2。

作品二（見圖6）：

圖6

師：這是B同學(xué)列的算式：10×2=20（cm2） 。猜猜看，他是怎么想的？

生：把三角形上面部分進(jìn)行分割，再通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成一個長方形，長方形的長是10cm，寬是三角形高的一半也就是2cm，長方形的面積是10×（4÷2）=20（cm2），長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是20cm2。

作品三（見圖7）：

圖7

師：剛才把三角形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形求出它的面積。那么，這名同學(xué)又是怎么轉(zhuǎn)化并計算面積的？

2.倍拼法

師：這個作品（見圖8），你們明白他的想法嗎？

圖8

生：我用兩個一樣的三角形，拼成一個平行四邊形，這時平行四邊形的長就是三角形的底等于10cm，平行四邊形的寬就是三角形的高等于4cm，平行四邊形的面積就是三角形面積的2倍，我先求出平行四邊形的面積，再除以2，所以三角形的面積是10×4÷2=20（cm2）。

3.小結(jié)優(yōu)化

（1）課件演示（見圖9）

圖9

（2）對比優(yōu)化

師：這些方法都能推導(dǎo)求出三角形的面積，都可以轉(zhuǎn)化成“10×4÷2”求出面積，這里的“÷2”是什么意思？

生：這里的“÷2”表示兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，平行四邊形的面積是三角形的2倍，先求出平行四邊形的面積，除以2就是三角形的面積了。

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)讓學(xué)生充分地自主探索，選取有代表性的作品多層次展示交流，由圖到式、由式想圖不斷進(jìn)行圖式想象勾連，發(fā)展空間觀念。在不同方法對比勾連中引導(dǎo)學(xué)生感知三角形面積的轉(zhuǎn)化，逐步明晰倍拼法的優(yōu)越性?！?/p>

三、推廣歸納，完善轉(zhuǎn)化

（一）由式想圖，滲透等底等高

師：回看這個平行四邊形（見圖10），你還可以畫出哪些三角形用這個算式計算面積？

圖10

（課件拉動三角形的頂點(diǎn)，形成新的三角形，見圖11）

圖11

師：為什么都可以用這道算式計算？

生：底都是10cm，高都是4cm，三角形的面積就都是10×4÷2=20（cm2）。

【設(shè)計意圖：利用幾何畫板技術(shù)，在變化中尋找不變之處，既有想象和課件直觀感受關(guān)鍵因素，又有抽象理性叩問?！?/p>

（二）推廣歸納，得到面積公式

師：現(xiàn)在你能寫出三角形的面積計算公式嗎？

生：三角形的面積公式=底×高÷2。

師：是不是所有的三角形都可以這樣求面積？

（學(xué)生想象，任意拉動三角形，再倍拼驗(yàn)證）

師：為什么都可以用底×高÷2來求面積？

生：因?yàn)椴徽撊切伍L什么形狀，都能找到一個和它形狀一樣的三角形拼成平行四邊形，平行四邊形的面積是底×高，所以三角形的面積=底×高÷2。

師：轉(zhuǎn)化前后的三角形和平行四邊形有什么關(guān)系？

生：三角形的底是平行四邊形的底，三角形的高是平行四邊形的高，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍。

師：現(xiàn)在我們能明確三角形的面積=底×高÷2。

【設(shè)計意圖：“是不是所有的三角形的面積都可以用底×高÷2表示？”“為什么都可以用底×高÷2來求面積？”“轉(zhuǎn)化前后的三角形和平行四邊形有什么關(guān)系？”問題串不斷叩問，結(jié)合幾何畫板直觀展示，促使學(xué)生思維更清晰、更深入、更全面、更合理?！?/p>

四、融會貫通，拓展延伸

（一）反思推理

反思1：為什么最大？

師：再來看這個問題，現(xiàn)在你能說明為什么此時三角形的面積最大了嗎？（見圖12）

圖12

生：三角形的面積是平行四邊形的一半，平行四邊形的面積是40 （cm2），三角形的面積最大只有20（cm2）。

生：要使面積最大，那么底要最大，高最大。此時底和高已經(jīng)是最大的了，所以面積也就最大了。

反思2：還是最大嗎？

師：此時三角形的面積還是平行四邊形里最大的嗎？（見圖13）

圖13

師：現(xiàn)在你怎么想？（見圖14）

圖14

生：這兩個三角形的底相等，高相等，面積肯定也相等，肯定也是最大的20cm2。

（二）延伸拓展

1.在梯形ABCD中畫一個面積最大的三角形，面積是多少？（見圖15）

圖15

2.圖中有幾對面積相等的三角形？面積是多少？（見圖16）

圖16

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)緊扣核心問題，一脈相承，首尾呼應(yīng)，既有反思推理，又有公式靈活運(yùn)用。練習(xí)開放且富有層次性，既是對本課的拓展練習(xí)，又有對三角形面積和梯形面積的勾連?！?/p>

五、課堂小結(jié)

（略）

【反思】

正如前文提到的，學(xué)生在“等積轉(zhuǎn)化”和“倍積轉(zhuǎn)化”間存在著認(rèn)知斷層。同時，本課又是在平行四邊形面積推導(dǎo)基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深對轉(zhuǎn)化思想的感悟，在首次領(lǐng)悟“倍積轉(zhuǎn)化”的同時完成對多種轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的融會貫通。本節(jié)課，我們嘗試以核心問題為引領(lǐng)，跨越認(rèn)知斷層，以關(guān)鍵問題為驅(qū)動，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化、推導(dǎo)的全過程，實(shí)現(xiàn)三角形面積的深度學(xué)習(xí)。

（一）核心問題引領(lǐng)，跨越認(rèn)知斷層

本節(jié)課從前測開始，始終圍繞核心問題（在平行四邊形中畫一個面積最大的三角形，并說明如何計算三角形的面積）進(jìn)行引領(lǐng)教學(xué)。課前預(yù)學(xué)孕伏，大部分學(xué)生想到了平行四邊形對角分割成三角形的情況，說明學(xué)生在問題解決中能自然把三角形和平行四邊形進(jìn)行勾連。課中有層次交流碰撞：“對角線分割作品對比異同”“非對角線作品自主探索”“等底等高三角形理性叩問”“面積最大三角形反思推理”“梯形中最大三角形延伸”。全課一脈相承，在核心問題的引領(lǐng)下，跨越認(rèn)知斷層，從“知其然”走向“知其所以然”，從而進(jìn)一步嘗試走向“知何由以知其所以然”。

（二）關(guān)鍵問題驅(qū)動，親歷轉(zhuǎn)化全程

“這個三角形的面積怎么計算？”“為什么求它們的面積都要除以2？”“這里的‘÷2’是什么意思？你最喜歡哪種方法？”“是不是所有的三角形都可以這樣求面積？”“為什么都可以用‘底×高÷2’來求面積？”“轉(zhuǎn)化前后的三角形和平行四邊形有什么關(guān)系？”“為什么此時三角形的面積最大？”回溯全課，我們不難發(fā)現(xiàn)本課在核心問題引領(lǐng)的同時，不斷以關(guān)鍵問題驅(qū)動教學(xué)。學(xué)生縱向親歷從特殊到一般、從感性直覺到理性分析、從“具象”到“表象”到“抽象”的三角形面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的全過程，橫向感悟了“割補(bǔ)等積”“雙拼倍拼”等不同方法間的融通勾連，不斷將思維引向更清晰、更深入、更全面、更合理。