電機(jī)模型中牽連運(yùn)動(dòng)及其動(dòng)生電動(dòng)勢的數(shù)理表達(dá)*

鐘再敏， 王業(yè)勤

(同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804)

0 引 言

法拉第電磁感應(yīng)定律是電機(jī)學(xué)的基本物理定律之一?；颈硎鍪牵?dāng)穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，不論這種變化是什么原因引起的，回路中均會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，感應(yīng)電動(dòng)勢的大小與通過該回路的磁通量隨時(shí)間的變化率成正比；感應(yīng)電動(dòng)勢的方向可以通過楞次定律確定[1-2]。法拉第電磁感應(yīng)定律是建立交流電機(jī)定、轉(zhuǎn)子繞組電壓方程的基本依據(jù)。特別地，電機(jī)的分析過程中還會(huì)通過引入不同的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系來簡化電壓方程及方便控制算法實(shí)現(xiàn)。

以永磁同步電機(jī)(PMSM)定子電壓方程推導(dǎo)為例，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下定子電壓方程的推導(dǎo)一般分兩步[3]。

(1) 在“定子固結(jié)坐標(biāo)系”中運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律建立電壓平衡式：

(1)

式中：us為定子電壓矢量；Rs為定子繞組電阻；is為定子電流矢量；ψs為定子磁鏈?zhǔn)噶俊?/p>

ψs包含永磁互感磁鏈ψf和定子自感磁鏈Lsis，即：

ψs=Lsis+ψf

(2)

式中：Ls為定子繞組自感。

在本文中，省略以定子固結(jié)(靜止)坐標(biāo)系為參考系的矢量上角標(biāo)。以其他(非靜止)坐標(biāo)系為參考系的矢量，采用上角標(biāo)明確標(biāo)明其參考系。

定子磁鏈?zhǔn)且粋€(gè)旋轉(zhuǎn)的空間矢量，其極坐標(biāo)形式為

ψs=ψsejθs=ψsejρ0ejθr

(3)

式中：θs為定子磁鏈在定子固結(jié)坐標(biāo)系中的相位角，θs=θr+ρ0,θr為轉(zhuǎn)子相位角；ρ0為定子磁鏈相對轉(zhuǎn)子軸線的相位角。

根據(jù)求導(dǎo)法則，磁鏈的微分推導(dǎo)如下：

(4)

式中：ωr為轉(zhuǎn)子角速度，ωr=dθr/dt。

式(4)對應(yīng)的空間矢量圖如圖1所示。

基于此，在定子坐標(biāo)系下列出定子電壓方程:

(5)

如果以“轉(zhuǎn)子固結(jié)坐標(biāo)系”為參考系，式(4)中第一項(xiàng)對應(yīng)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)參考系下定子磁鏈的相對運(yùn)動(dòng)；第二項(xiàng)對應(yīng)參考系引起的牽連運(yùn)動(dòng)，二者合成為磁鏈的絕對運(yùn)動(dòng)。電壓方程式(5)表明，定子供電電壓分別消耗在電阻壓降、轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)引起的動(dòng)生電動(dòng)勢(牽連運(yùn)動(dòng))和牽引定子磁鏈在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系內(nèi)的變化(相對運(yùn)動(dòng))。

(2) 顯然，在定子坐標(biāo)系下，上述各空間矢量均是空間上不斷旋轉(zhuǎn)的交變量。因此，引入轉(zhuǎn)子(磁場)同步運(yùn)動(dòng)dq坐標(biāo)系，即對電壓方程進(jìn)行頻率變換。

其推導(dǎo)過程如下，考慮矢量變換關(guān)系：

(6)

式中：上角標(biāo)“dq”為以轉(zhuǎn)子同步dq坐標(biāo)系作為參考系。

式(6)代入式(5)則有：

(7)

化簡式(7)得dq坐標(biāo)系下的空間矢量方程：

(8)

上述基于“矢量變換”的電壓方程兩步推導(dǎo)過程嚴(yán)謹(jǐn)，很多電機(jī)學(xué)教材均是基于這個(gè)邏輯建立運(yùn)動(dòng)參考系下的空間矢量方程。類似地，式(8)也可以通過“坐標(biāo)變換”推導(dǎo)。但是上述推導(dǎo)過程較強(qiáng)依賴數(shù)學(xué)運(yùn)算，物理意義不明確，不便于理解和記憶。

1 “法拉第參考系”與“非法拉第參考系”的概念

牛頓力學(xué)中區(qū)分“慣性參考系”和“非慣性參考系”。通常把適用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的參考系叫做慣性參考系，簡稱慣性系；非慣性參考系是相對慣性參考系做加速運(yùn)動(dòng)的參考系，簡稱非慣性系[4-5]。一般地，在忽略地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)角速度的情況下(這兩者均很小)，慣性系可以簡單選成是相對地面靜止的或者做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系，而非慣性系則是相對地面做加速或者減速運(yùn)動(dòng)的參考系。

以質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)為例，為分析方便，非慣性系中須引入附加“慣性力”：

fa=-ma

(9)

式中：a為非慣性系相對慣性系的加速度；m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。

引入慣性力后，形式上，在非慣性參考系中也可以完全按照牛頓定律進(jìn)行物體的力學(xué)分析了。

參照牛頓力學(xué)的慣性參考系概念，本文對電機(jī)分析里面的坐標(biāo)系加以區(qū)分：(數(shù)學(xué)上)符合法拉第電磁感應(yīng)定律的坐標(biāo)系稱為法拉第參考系，簡稱“法拉第系”；否則稱為非法拉第參考系，簡稱“非法拉第系”。一般地，與線圈固結(jié)的坐標(biāo)系為法拉第系，否則為非法拉第系。注意，對于電機(jī)中存在相對運(yùn)動(dòng)的不同繞組而言，其法拉第參考系的定義是不同的。

與非慣性系中引入慣性力的分析方法類似，在非法拉第參考系中，須補(bǔ)充由參考系牽連運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)生電動(dòng)勢，然后才能按照法拉第電磁感應(yīng)定律分析，在此稱之為“牽連運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢”，簡稱“牽連電動(dòng)勢”。對于任意DQ旋轉(zhuǎn)參考系，牽連電動(dòng)勢的表達(dá)式為

2.2.3措施組成主要包括溝頭跌水、溝底植物水道、溝坡植物防護(hù)和溝岸防護(hù)林等多種措施。在實(shí)施過程中，應(yīng)優(yōu)先布設(shè)植物措施，不能直接布設(shè)但通過工程修整后可用植物措施的也優(yōu)先選用；因地制宜選取適宜的植物種類及苗木；對于植物措施難以有效防控的溝段，輔以工程措施。

em=-jωDψD

(10)

式中：ωD為非法拉第系相對“線圈固結(jié)坐標(biāo)系”的旋轉(zhuǎn)角速度；ψD為磁鏈在對應(yīng)非法拉第系下的矢量表示；上角標(biāo)“D”為該物理量以任意DQ運(yùn)動(dòng)參考系作為參考系。

列寫電壓方程時(shí)，牽連電動(dòng)勢正方向定義與線圈供電電壓一致，寫在等式的左邊。

牽連電動(dòng)勢的推導(dǎo)與前面分析過程基本類似?？紤]DQ運(yùn)動(dòng)參考系，其旋轉(zhuǎn)角速度為ωD。記定子磁鏈為

(11)

參照式(6)～式(8)的矢量變換過程，可以得到DQ坐標(biāo)系下的電壓方程為

(12)

移項(xiàng)后可得:

(13)

圖2 任意旋轉(zhuǎn)DQ參考系引入的牽連電動(dòng)勢

引入牽連電動(dòng)勢之后，形式上就可以直接在非法拉第系下建立電壓方程，而無須由法拉第系經(jīng)矢量或坐標(biāo)變換得到。其基本步驟是在電壓方程建立之前，先判斷所分析的參考系是否屬于法拉第系。若參考系為法拉第系，直接列寫電壓方程；若為非法拉第系，則須先在方程左邊補(bǔ)充牽連電動(dòng)勢項(xiàng)，之后再列寫電壓方程。

2 基于附加牽連電動(dòng)勢的交流電機(jī)電壓方程推導(dǎo)

2.1 PMSM電壓方程

仍以PMSM定子電壓方程推導(dǎo)為例?？紤]到磁場同步dq坐標(biāo)系為非法拉第系，若想直接在轉(zhuǎn)子同步坐標(biāo)系下列寫電壓方程，須補(bǔ)充牽連電動(dòng)勢項(xiàng)，其幾何表示如圖3所示。

圖3 PMSM dq坐標(biāo)系下的牽連電動(dòng)勢

考慮了牽連電動(dòng)勢之后，在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系(非法拉第系)下可以直接列寫定子電壓平衡方程為

(14)

em表達(dá)式為

(15)

式(15)代入式(14)得到:

(16)

顯然式(16)與式(8)相同。最終得到的電壓方程對應(yīng)的空間矢量幾何描述如圖4所示。

圖4 PMSM dq參考系下的電壓矢量平衡

圖4電壓矢量圖清楚地表明了，在非法拉第系下，定子電壓矢量對電流和磁鏈的調(diào)節(jié)要首先扣除參考系牽連運(yùn)動(dòng)引起的牽連電動(dòng)勢。

2.2 感應(yīng)電機(jī)電壓方程

與同步電機(jī)相比，感應(yīng)電機(jī)分析相關(guān)的運(yùn)動(dòng)參考系要復(fù)雜很多。常見的參考系包括定子固結(jié)坐標(biāo)系、轉(zhuǎn)子固結(jié)坐標(biāo)系、磁場同步坐標(biāo)系等，詳見圖5。

圖5 感應(yīng)電機(jī)不同參考系及其旋轉(zhuǎn)速度[2]

對于定子繞組而言，定子固結(jié)ABC坐標(biāo)系與繞組固結(jié)，屬于法拉第參考系，可直接列寫靜止坐標(biāo)系下定子電壓矢量方程：

(17)

對于轉(zhuǎn)子繞組而言，轉(zhuǎn)子固結(jié)abc坐標(biāo)系屬于法拉第參考系，可得相應(yīng)轉(zhuǎn)子電壓矢量方程為

(18)

式中:上角標(biāo)“abc”為轉(zhuǎn)子abc坐標(biāo)系中矢量的上標(biāo)角；Rr為每相繞組電阻。

定子固結(jié)ABC坐標(biāo)系對于轉(zhuǎn)子來說是非法拉第參考系，相對旋轉(zhuǎn)角速度是-ωr。因此，以定子固結(jié)ABC坐標(biāo)系表示的轉(zhuǎn)子電壓方程，須附加牽連電動(dòng)勢：

em=-j(-ωr)ψr=jωrψr

(19)

此時(shí)，轉(zhuǎn)子電壓方程為

(20)

定子固結(jié)ABC坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子繞組附加牽連電動(dòng)勢幾何解釋如圖6所示。

圖6 定子固結(jié)ABC坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子繞組附加牽連電動(dòng)勢

在線圈固結(jié)坐標(biāo)系下，感應(yīng)電機(jī)各矢量是旋轉(zhuǎn)的交變量，不易分析和控制。

為此，考慮在磁場同步旋轉(zhuǎn)的DQ坐標(biāo)系下建立電壓矢量方程，而DQ坐標(biāo)系對于定、轉(zhuǎn)子繞組而言均是非法拉第系。

(21)

(22)

相對于基于旋轉(zhuǎn)變換的推導(dǎo)方式，基于非法拉第參考系和附加牽連電動(dòng)勢，可直接在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下列出電機(jī)電壓方程，物理意義清晰，便于理解和工程應(yīng)用。DQ坐標(biāo)系也可以選為任意非磁場同步坐標(biāo)系，推導(dǎo)過程基本一致。

3 結(jié) 語

在牛頓力學(xué)體系中，慣性參考系和慣性力概念的引入，極大地方便了動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)，特定情況下，更可以將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，是一個(gè)重要的分析手段。

本文介紹的方法，創(chuàng)新地引入法拉第參考系和對應(yīng)的牽連運(yùn)動(dòng)電動(dòng)勢的概念，其有益效果是賦予牽連運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)生電動(dòng)勢明確的物理含義，進(jìn)而可以直接在任意運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中建立繞組的電壓平衡方程。

上述概念方法盡管只是一類數(shù)學(xué)推導(dǎo)的物理解釋，但該方法的數(shù)理基礎(chǔ)是矢量微分在運(yùn)動(dòng)參考系下的分解，一定程度上可以推廣到其他需要引入(平動(dòng)或者更復(fù)雜形式的相對運(yùn)動(dòng))中間參考坐標(biāo)系的類似電磁系統(tǒng)分析計(jì)算，具有普遍適用性。