基于多步逆向半云模型的價格型需求響應(yīng)不確定性建模

張宇華，王 叢，孫曉鵬，李鴻彪，鮑秀昌

（1. 上海電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，上海市 200090；2. 上?？屏盒畔⒖萍脊煞萦邢薰?，上海市 200030）

0 引言

為構(gòu)建新型電力系統(tǒng)，不但要在能源供給側(cè)推動能源低碳高效利用，而且要在能源消費(fèi)側(cè)實(shí)現(xiàn)節(jié)能增效。消費(fèi)側(cè)中的價格型需求響應(yīng)（priced-based demand response，PBDR）［1］通過分時電價（time-ofuse pricing，TOU）的方式，促使用戶根據(jù)電價的變化主動調(diào)整自身用電行為，從而有效促進(jìn)消費(fèi)側(cè)的節(jié)能增效［2-3］。

目前PBDR 的研究主要以經(jīng)濟(jì)學(xué)中相關(guān)原理或概率統(tǒng)計理論為主，大致分為以下3 類：1）將PBDR與經(jīng)濟(jì)學(xué)中消費(fèi)者心理學(xué)相結(jié)合，采用不同的閾值對電價差值進(jìn)行分區(qū)（死區(qū)、線性區(qū)、飽和區(qū)），并研究不同區(qū)域內(nèi)用戶響應(yīng)行為特點(diǎn)［4］；2）從經(jīng)濟(jì)學(xué)理論角度出發(fā)，用需求價格彈性矩陣［5-6］對PBDR 進(jìn)行建模；3）運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)原理，建立樣本數(shù)據(jù)價格與需求的映射關(guān)系。前2 類方法利用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理進(jìn)行建模，忽略了用戶對電價的認(rèn)知偏差、天氣原因和突發(fā)事件等不確定因素的影響，難以充分體現(xiàn)用戶的真實(shí)響應(yīng)特性；最后一類方法雖然較為簡單，但只適用于宏觀定性分析，難以精確定量研究用戶需求與電價變化的關(guān)系。

在上述方法中，針對PBDR 的不確定性，主要研究方法有：區(qū)間理論法、概率模型法、模糊數(shù)法以及類概率法（如證據(jù)理論和Z-number 理論）等。文獻(xiàn)［7］采用區(qū)間方法，考慮響應(yīng)不確定性引起的偏差區(qū)間變化規(guī)律，明確電價變化率與負(fù)荷變化率的對應(yīng)關(guān)系。文獻(xiàn)［8-9］利用概率模型法與模糊數(shù)法，將響應(yīng)量的預(yù)測偏差用三角模糊數(shù)或正態(tài)隨機(jī)數(shù)表示。文獻(xiàn)［10］采用證據(jù)理論對響應(yīng)不確定性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［11］采用Z-number 理論描述用戶響應(yīng)行為的天然隨機(jī)性。采用上述方法對響應(yīng)不確定性進(jìn)行分析時存在以下不足：區(qū)間方法的不確定偏差區(qū)間建模過程較為復(fù)雜；正態(tài)隨機(jī)數(shù)或模糊數(shù)作為預(yù)測偏差，只能視為大致的近似結(jié)果；而證據(jù)理論與Znumber 理論因具有類概率特性導(dǎo)致其建模精度低于傳統(tǒng)概率模型。

為實(shí)現(xiàn)響應(yīng)隨機(jī)性與模糊性的有機(jī)結(jié)合，已有文獻(xiàn)將云模型用于需求響應(yīng)的建模中且取得了良好效果，但仍存在一些問題：文獻(xiàn)［12-13］將正態(tài)云應(yīng)用于區(qū)域柔性負(fù)荷響應(yīng)的不確定分析時，因未考慮負(fù)荷所呈現(xiàn)出的響應(yīng)概率分布是單側(cè)的，導(dǎo)致其建模精確度較低；文獻(xiàn)［14］采用單側(cè)分布的sigmoid 云對電動汽車響應(yīng)特性進(jìn)行研究，但未考慮單步式逆向云發(fā)生器（single-step backward cloud generator，SBCG）在求解數(shù)字特征時會出現(xiàn)超熵為虛數(shù)、求解過程不穩(wěn)定的問題。

針對上述PBDR 建模過程中存在的問題，本文提出了一種基于多步式逆向云發(fā)生器（multi-step backward cloud generator，MBCG）和 半 云 模 型 的PBDR 不確定性建模方法，兼顧了PBDR 建模的隨機(jī)性與模糊性：用半云模型提高了建模精度，用MBCG 提高了逆向云算法的有效性與穩(wěn)定性。

1 方法原理

用戶在響應(yīng)時存在諸多不確定性，表現(xiàn)為：不同用戶對電價變化敏感程度不同，同時受突發(fā)事件、天氣狀況等主客觀因素影響，響應(yīng)程度存在很大差異。將半云模型用于PBDR 的建模時，以云滴的分布形態(tài)和離散程度擬合用戶響應(yīng)時的變化趨勢與不確定性（隨機(jī)性與模糊性），可實(shí)現(xiàn)半云模型下的PBDR 分析。方法原理如圖1 所示。

圖1 方法原理圖Fig.1 Principle diagram of proposed method

方法原理為：1）建立用戶參與PBDR 的數(shù)學(xué)模型并求出收益率er，定義收益率er作為用戶獲得收益的量化指標(biāo)，以統(tǒng)一不同用戶的收益認(rèn)知評估標(biāo)準(zhǔn)，并求出用戶的可轉(zhuǎn)移負(fù)荷量與所獲收益率最大值er，max，根據(jù)文獻(xiàn)［14］，半云建模所需的單側(cè)收益率數(shù)據(jù)樣本服從（0，er，max）范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)分布；2）通過對稱映像化構(gòu)造單側(cè)樣本的映像數(shù)據(jù)以獲得建模所需的完整數(shù)據(jù)樣本；3）采用MBCG 求取樣本的數(shù)字特征，如均值（expected value）、熵（entropy）和超熵（hyper entropy）；4）采用正向云發(fā)生器（forward cloud generator，F(xiàn)CG）生成反映收益率er與響應(yīng)度μ映射關(guān)系的響應(yīng)分布云圖，通過條件云發(fā)生器生成在某特定收益率數(shù)值er0下用戶的響應(yīng)云帶圖，實(shí)現(xiàn)對用戶響應(yīng)行為的建模分析。此外，將確定系數(shù)作為評價模型擬合程度優(yōu)劣的指標(biāo)。

云模型中的每一對數(shù)據(jù)點(diǎn)云滴(er，μ)在隸屬度數(shù)域空間的映射代表的含義為：當(dāng)用戶獲得的收益率為er時，對應(yīng)PBDR 的響應(yīng)程度為μ。

2 模型的建立

2.1 云模型結(jié)構(gòu)分析

云模型最大的優(yōu)點(diǎn)是其既能描述不確定概念的亦此亦彼性，又能描述不確定概念的隨機(jī)性。如附錄A 圖A1 所示，云模型通過3 個數(shù)字特征：Eer、En和He，結(jié) 合FCG 與 逆 向 云 發(fā) 生 器（backward cloud generator，BCG），實(shí)現(xiàn)定量數(shù)據(jù)（云滴）與定性概念（數(shù)字特征）之間的雙向轉(zhuǎn)換。將云模型與概率統(tǒng)計理論進(jìn)行類比，則云模型可以看作是一個以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的雙向認(rèn)知計算模型［15］，相關(guān)概念對應(yīng)關(guān)系如表1 所示。

表1 云模型概念與概率統(tǒng)計理論概念的對應(yīng)關(guān)系Table 1 Correspondent relationship between concepts of cloud model and probability statistics theory

最基本的云模型為正態(tài)云，此外還有衍生云，如三角云、梯形云、Γ 云、半云、組合云等。具有對稱分布特點(diǎn)的正態(tài)云和梯形云適用于概率分布對稱的研究對象，半云則常用來表述具有單側(cè)分布特征的定性概念。本文利用半云模型對具有單側(cè)分布特征的PBDR 進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)對用戶響應(yīng)行為的不確定分析。

2.2 基于半云模型的PBDR 行為分析

現(xiàn)有文獻(xiàn)研究中認(rèn)為，在不同峰谷電價差下，用戶的負(fù)荷轉(zhuǎn)移情況存在差異［16-17］，且影響負(fù)荷轉(zhuǎn)移程度的因素也各不相同，響應(yīng)總體變化趨勢如附錄A 圖A2 所 示。

隨著峰谷電價差增大，用戶響應(yīng)行為經(jīng)歷由死區(qū)到線性區(qū)再到飽和區(qū)的變化。線性區(qū)內(nèi)，負(fù)荷轉(zhuǎn)移率主要受經(jīng)濟(jì)因素影響，此時負(fù)荷轉(zhuǎn)移率隨峰谷電價差的增加不斷變大；飽和區(qū)內(nèi)，受用電舒適度及各種主客觀因素影響，非經(jīng)濟(jì)因素成為影響負(fù)荷轉(zhuǎn)移率的主要原因，此時用戶負(fù)荷轉(zhuǎn)移率達(dá)到飽和，不再隨電價差的增加而發(fā)生變化。

上述PBDR 峰谷電價差與負(fù)荷轉(zhuǎn)移率的關(guān)系模型為一個確定性模型，實(shí)際上，受各種隨機(jī)因素影響，二者之間的映射關(guān)系存在諸多不確定性。同時，PBDR 響應(yīng)行為的概率分布并非像正態(tài)分布那樣是左右對稱的，而是呈現(xiàn)出單側(cè)的不對稱分布特點(diǎn)。

根據(jù)上文所述，本文采用能夠表征研究對象單側(cè)不確定分布特征的半云模型對PBDR 進(jìn)行建模，以衡量用戶響應(yīng)時所獲收益率er與響應(yīng)度μ之間的不確定映射關(guān)系。同時，為準(zhǔn)確描述用戶響應(yīng)行為的完整過程，本文采用期望值為某個區(qū)間范圍長度的半云模型［18］對PBDR 進(jìn)行建模，即本文研究數(shù)字特征為C（Eer，En，He，x）的半云建模問題，其中，數(shù)字特征Eer，En，He為云模型的固有數(shù)字特征，Eer代表用戶的期望收益率值，在此收益率數(shù)值下，用戶響應(yīng)行為達(dá)到飽和狀態(tài)；En表示用戶響應(yīng)行為的不確定程度，由響應(yīng)的隨機(jī)性與模糊性共同決定；He具有超熵的含義，代表了En的不確定程度，其值越大，表明云滴越分散，反之，云滴越密集；為了更為清晰地表達(dá)本文研究對象的響應(yīng)特性，引入x表示用戶響應(yīng)行為處于飽和區(qū)域的范圍長度。x代表響應(yīng)行為的飽和區(qū)域范圍長度大小，由不計用戶舒適度時能夠獲得的最大收益率值e'r，max減去期望收益率值求得，即x=e'r，max-Eer。此 處 需 注 意 的 是，e'r，max與er，max有所區(qū)別，在此范圍內(nèi)，不僅用戶的響應(yīng)程度達(dá)到最大，并且響應(yīng)的不確定度最低。需要說明的是，固有數(shù)字特征可通過逆向云變換求得，而x則需根據(jù)研究對象的實(shí)際含義得出。

2.3 不確定模型的建立

2.3.1 PBDR 模型與優(yōu)化目標(biāo)建立1）模型優(yōu)化目標(biāo)

PBDR 的機(jī)理是用戶根據(jù)電價的變化主動調(diào)整自身用電方式。電力公司為了鼓勵用戶參與PBDR，會給予用戶一定的優(yōu)惠電價比例［1］，以節(jié)約電費(fèi)成本最大化為目標(biāo)，對用戶參與PBDR 的負(fù)荷轉(zhuǎn)移量進(jìn)行求解。

式中：R為優(yōu)惠電價比例；Δγp，t為t時刻電價變化量；QP，t為參與響應(yīng)的用戶在t時刻的負(fù)荷轉(zhuǎn)移量。

由于用戶不但能在電價增高時降低負(fù)荷需求，還能在電價降低時增加負(fù)荷需求，Δγp，t和QP，t的值有正有負(fù)。不同用戶由于主觀認(rèn)知上的模糊性，對電價變化敏感程度不同。為使用戶對收益的認(rèn)知具有統(tǒng)一的評估標(biāo)準(zhǔn)，定義用戶參與PBDR 時所獲收益率er為：

同時定義響應(yīng)度μ以反映在不同收益率下用戶對PBDR 的響應(yīng)程度。此外，通過對所建模型的求解能夠得到收益率最大值er，max。

2）模型約束條件

（1）用戶用電總量不變約束

用戶參與PBDR，負(fù)荷轉(zhuǎn)移前后用電總量不發(fā)生改變，有

（2）用戶用電方式滿意度約束

參與響應(yīng)的用戶根據(jù)電價變化調(diào)整自身用電方式，會導(dǎo)致用電舒適度有所下降，但不應(yīng)超過某一限值，用戶用電方式滿意度約束可表示為：

式中：E(QP，t)為用戶負(fù)荷響應(yīng)量的期望值；MP，min為用戶參與PBDR 時用電方式滿意度最小值。

2.3.2 PBDR 半云模型映像數(shù)據(jù)構(gòu)造

單側(cè)收益率數(shù)據(jù)樣本服從（0，er，max）范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)分布，對單側(cè)收益率樣本構(gòu)造與其對稱的映像數(shù)據(jù)，以獲得建模所需的完整數(shù)據(jù)樣本集。具體步驟如下。

1）收益率單側(cè)數(shù)據(jù)樣本集Ahalf為：

式中：e'r為單側(cè)數(shù)據(jù)樣本的對稱映像數(shù)據(jù)。

3）將原數(shù)據(jù)樣本與其對稱的映像樣本進(jìn)行合并操作，得到建模所需的用戶收益率完整數(shù)據(jù)樣本集A為：

2.3.3 MBCG 設(shè)計

傳統(tǒng)的基于1 階絕對中心矩的單步式逆向云發(fā)生器（single-step backward cloud generator based on the first-order absolute central moment，SBCG-1stM）和基于4 階絕對中心矩的單步式逆向云發(fā)生器（single-step backward cloud generator based on the forth-order absolute central moment，SBCG-4thM）存在計算上的缺陷。一方面，這種缺陷表現(xiàn)在計算時可能出現(xiàn)H2e＜0 的情況，導(dǎo)致所求參數(shù)He為虛數(shù)，此時便為1 次無效的計算；另一方面，表現(xiàn)在有效計算時，每次計算出的數(shù)字特征值相差較大，導(dǎo)致求解出的數(shù)值波動情況較為嚴(yán)重，從而使得參數(shù)求解過程不夠穩(wěn)定。而MBCG 是一種基于樣本劃分原理的算法，該算法在計算時存在2 次隨機(jī)過程，可將其看作FCG 的逆過程，從而使得計算時的穩(wěn)定性有所提高。同時，MBCG 的優(yōu)勢尤其體現(xiàn)在對He的求解上，不會出現(xiàn)He為虛數(shù)的情況。MBCG 算法的具體步驟如下。

步 驟 1：輸 入 收 益 率 數(shù) 據(jù) 樣 本er，k(k=1，2，…，n)，其中，n為樣本總數(shù)。

步驟2：由收益率數(shù)據(jù)樣本er，1，er，2，…，er，n計算樣本均值E?er。

步驟3：對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行可重復(fù)隨機(jī)抽取，生成m×l個 樣 本er，i，j（i=1，2，…，m；j=1，2，…，l），m為抽樣組數(shù)，l為每組的樣本數(shù)（m∈N，l∈N，且m×l不一定等于n）。計算第i組內(nèi)收益率樣本均值E?er，i與樣本 方差y2i。

步驟5：通過上述MBCG 算法，可計算出PBDR半云的數(shù)字特征C(E?er，E?n，H?e)。

2.3.4 PBDR 半 云 模 型 的FCG 設(shè) 計

在已知數(shù)字特征時，通過FCG 得到不同收益率下用戶響應(yīng)程度的云滴分布圖，F(xiàn)CG 算法步驟如下：

步驟1：輸入數(shù)字特征C(Eer，En，He)以及生成的云滴數(shù)nc。

步驟2：生成以En為期望值、H2e為方差的正態(tài)隨機(jī)數(shù)zi。

步驟3：生成以Eer為期望值、zi2為方差的一個正態(tài) 隨 機(jī) 數(shù)er，i。

步 驟5：具 有 隸 屬 度μ(er，i)的er，i為 半 云 模 型 數(shù)域中的一個云滴。

步驟6：重復(fù)步驟2 至步驟5，直到產(chǎn)生要求的nc個云滴為止。

上述為PBDR 半云模型的FCG 計算步驟，條件云發(fā)生器［19］與上述計算步驟基本一致，只是在給定數(shù)字特征與確定收益率er0時，無須求解er，i，而是直接由zi與確定的收益率數(shù)值er0計算出響應(yīng)度值μ(er0)即可，如式（17）所示。

此時需注意，F(xiàn)CG 可生成完整的半云分布圖，條件云發(fā)生器則生成在某固定收益率數(shù)值下的響應(yīng)云帶圖。

2.3.5 半云模型擬合優(yōu)度指標(biāo)

采用確定系數(shù)（又稱R-square）［20］對PBDR 建模方法的擬合精度進(jìn)行衡量。確定系數(shù)的取值范圍為[0，1]，其值越接近于1，表明模型中變量的解釋能力越強(qiáng)，對數(shù)據(jù)的擬合效果越好。

通過上述建模步驟，最終可得到如圖2 所示的半云模型云滴分布圖。

圖2 半云模型擬合圖Fig.2 Fitting map of semi-cloud model

3 算例仿真分析

3.1 PBDR 仿真分析

本文實(shí)施PBDR 的電價數(shù)值如附錄A 圖A3 所示，調(diào)度周期T為24 h，以用戶節(jié)省用電費(fèi)用最大化為目標(biāo)，對負(fù)荷轉(zhuǎn)移量進(jìn)行優(yōu)化。由于PBDR 的實(shí)施，用戶用電費(fèi)用減少，同時1 d 內(nèi)負(fù)荷曲線變化趨勢也發(fā)生改變，分別如附錄A 表A1 與附錄A 圖A4所示。

附錄A 表A1 所示結(jié)果為當(dāng)優(yōu)惠電價比例R為0.9，且考慮用戶用電滿意度最小值MP，min為0.5 時，用戶參與響應(yīng)前后所需用電費(fèi)用對比。分析表A1可知，用戶參與PBDR 前后用電總量不變，用電總費(fèi)用減少了1 283.5 元，此時收益率er為0.164，即用戶參與PBDR 后在原用電費(fèi)用的基礎(chǔ)上節(jié)約了16.4%的費(fèi)用。

相應(yīng)的負(fù)荷變化曲線如附錄A 圖A4 所示。PBDR 實(shí)施后，由于用戶參與響應(yīng)使得負(fù)荷變動更為靈活，負(fù)荷曲線波動次數(shù)有所增加，但波動幅值減小，波動趨勢更為平穩(wěn)，故體現(xiàn)負(fù)荷波動情況的均方差值由原來的124.201 0 降至82.286 7，同時曲線峰谷差也降低了20.3%。這說明用戶參與PBDR 時，在減少自身用電費(fèi)用支出的同時可以平滑負(fù)荷曲線，從而達(dá)到移峰填谷的效果。

3.2 基于MBCG 半云模型的PBDR 仿真分析

對2.3.1 小節(jié)模型進(jìn)行求解，在不考慮用戶用電舒適度時，收益率最大值e'r，max為0.18，而在考慮用電舒適度時，收益率最大值er，max為0.164，故用戶收益率單側(cè)數(shù)據(jù)樣本服從（0，0.164）區(qū)間范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)分布，構(gòu)造映像數(shù)據(jù)后，利用MBCG 計算半云模型的數(shù)字特征，同時利用文獻(xiàn)［21-22］的方法計算正態(tài)云與梯形云的數(shù)字特征，所得結(jié)果如表2所示。

表2 云模型數(shù)字特征Table 2 Digital characteristics of cloud model

半云模型的數(shù)字特征由固有數(shù)字特征與表達(dá)用戶響應(yīng)行為飽和范圍大小的值x所組成，即半云模型 數(shù) 字 特 征 為：Eer=0.158 64，En=0.063 36，He=0.008 49，x=0.021 36。

3.2.1 響應(yīng)云帶擬合分析

已知數(shù)字特征，結(jié)合條件云發(fā)生器分別求出用戶 在 收 益 率er=0.066、er=0.135、er=0.150、er=0.165 和er=0.180 這5 種情況下的響應(yīng)云滴分布圖，如圖3 所示。

圖3 響應(yīng)云帶擬合圖Fig.3 Fitting map of responding cloud band

由圖3 可知，在固定收益率下，經(jīng)條件云發(fā)生器可生成一條平行于響應(yīng)度軸，反映用戶響應(yīng)波動情況的分布云帶圖。半云模型的數(shù)字特征Eer=0.158 64，表明在收益率er=0.158 64 時，用戶響應(yīng)程度便可達(dá)100%，即響應(yīng)已達(dá)飽和。即在t時刻若收益率er=0.066，則在此收益率下響應(yīng)度μ的范圍為（0.218 6，0.544 7），這意味著用戶在此時刻響應(yīng)的概率為21.86%～54.47%，即用戶可轉(zhuǎn)移的負(fù)荷量中約有21.86%～54.47%的負(fù)荷會進(jìn)行響應(yīng)；若收益率er=0.135，則響應(yīng)概率為86.66%～95.54%；以此類推，當(dāng)收益率足夠大時，用戶獲得的收益率越高，參與響應(yīng)的積極性就越大，但當(dāng)收益率大到某一程度時，如er=0.165 和er=0.180，響應(yīng)程度已達(dá)100%，響應(yīng)達(dá)到飽和狀態(tài)不再發(fā)生變化。

綜上，在相同的收益率下，用戶響應(yīng)程度并不唯一，云帶中云滴的上下波動范圍代表響應(yīng)時不確定程度的大小，對比在不同收益率下的響應(yīng)云帶可看出，隨收益率增加，響應(yīng)度逐漸變大，且波動范圍變小，直至達(dá)到用戶期望收益率Eer時，響應(yīng)達(dá)到飽和狀態(tài)。

3.2.2 響應(yīng)云圖擬合分析

為驗證本文所提半云模型的有效性，將半云、正態(tài)云、梯形云以及目前應(yīng)用較為廣泛的價格需求彈性矩陣的PBDR 建模方法進(jìn)行對比分析。通過比較建模所得響應(yīng)特性分布圖與確定系數(shù)值，說明應(yīng)用半云模型的合理性與精確性。

根據(jù)表2 中的云模型數(shù)字特征值，選取云滴數(shù)為400，通過FCG 生成表征用戶收益率與響應(yīng)度關(guān)系的半云、正態(tài)云以及梯形云的云滴分布圖，如圖4（b）至圖4（d）所示，圖4（a）為樣本初始數(shù)據(jù)云滴分布圖。

由于建模方法的原理不同，采用價格需求彈性矩陣對用戶收益率與響應(yīng)度之間的關(guān)系進(jìn)行分析時，首先需要根據(jù)價格需求彈性矩陣與電價變化率得到用戶的負(fù)荷變化率，進(jìn)而得到參與PBDR 的用戶負(fù)荷變化量，將此變化量代入式（2）至式（4）中可求得用戶收益率。同時，將負(fù)荷轉(zhuǎn)移率作為響應(yīng)度，考慮到用戶負(fù)荷轉(zhuǎn)移率的預(yù)測誤差為隨機(jī)變量，為使結(jié)果具有普適性，參考文獻(xiàn)［11］與文獻(xiàn)［23］所述方法，令負(fù)荷響應(yīng)率的預(yù)測誤差服從正態(tài)分布。此外，為便于與云模型在同一坐標(biāo)系下進(jìn)行比較，將由價格需求彈性矩陣建模方法得到的用戶響應(yīng)行為數(shù)據(jù)采用MATLAB 工具箱進(jìn)行擬合，最終得到圖4（e）所示響應(yīng)行為的映射關(guān)系圖。在本文價格需求彈性矩陣中，自彈性系數(shù)εii取為-0.2，互彈性系數(shù)εij取為0.033。

圖4 模型擬合圖Fig.4 Model fitting map

1）云圖分布擬合分析

圖4（b）的半云模型將整個過程分為死區(qū)階段、響應(yīng)階段與飽和階段，每個階段內(nèi)云滴分布各有特點(diǎn)。死區(qū)階段：收益率較低，響應(yīng)度幾乎為0，響應(yīng)不確定程度也較低。響應(yīng)階段：受經(jīng)濟(jì)因素及用戶認(rèn)知差異影響，云滴分布較為分散，響應(yīng)不確定性較大，所有云滴基本在圖中所畫包絡(luò)線內(nèi)離散波動。從包絡(luò)線變化趨勢可以看出，云滴波動范圍較大，但總體趨勢為隨收益率的增加，響應(yīng)程度變大，波動程度變小，同時，云滴分布的疏密程度也說明，用戶響應(yīng)的不確定程度隨收益率的增大越來越小。飽和階段：收益率er數(shù)值不斷增加直至用戶的期望收益率，此時受非經(jīng)濟(jì)因素影響，響應(yīng)程度逐漸達(dá)到飽和，當(dāng)er數(shù)值進(jìn)一步增加時，響應(yīng)度μ也不再發(fā)生變化。圖4（b）中半云模型尖峰肥尾的屬性以及云滴尾疏頭密的分布特征，合理刻畫了用戶的響應(yīng)過程。半云模型已經(jīng)較為精確，但由于模型在進(jìn)行正逆向變換時存在隨機(jī)過程，所得結(jié)果與圖4（a）中樣本初始數(shù)據(jù)響應(yīng)情況仍存在差距，但在可允許誤差范圍內(nèi)。

圖4（c）與圖4（d）中正態(tài)云和梯形云的優(yōu)勢在于，相比于其他只能反映研究對象單一不確定特征（隨機(jī)性或模糊性）的模型，云模型可以同時體現(xiàn)研究對象的隨機(jī)性與模糊性，如圖4（c）中的正態(tài)云所示，在收益率er=0.097 2（正態(tài)云Eer=0.097 2）時用戶響應(yīng)程度達(dá)最大值，同時云滴的離散狀態(tài)也反映出用戶響應(yīng)過程中的不確定程度。正態(tài)云，梯形云的云滴分布也有此特點(diǎn)。但對稱的正態(tài)云與梯形云僅依靠大數(shù)定律對用戶響應(yīng)行為進(jìn)行擬合，無法精確描述PBDR 的單側(cè)概率分布特征。

利用價格需求彈性矩陣對研究對象進(jìn)行建模時，考慮負(fù)荷響應(yīng)率的預(yù)測誤差服從正態(tài)分布，得出響應(yīng)分布如圖4（e）所示。由圖4（e）可知，用戶響應(yīng)度隨收益率增加不斷增加，未反映出實(shí)際存在的“響應(yīng)飽和”現(xiàn)象，此為價格需求彈性矩陣建模方法的固有弊端。

2）模型擬合精度分析

4 種建模方法對用戶實(shí)際響應(yīng)行為進(jìn)行擬合的精度如表3 所示。由表3 可知，半云模型的確定系數(shù)最大且接近于1，說明半云模型對用戶真實(shí)響應(yīng)行為的擬合效果最好，符合用戶的實(shí)際響應(yīng)行為習(xí)慣。將半云作為參考，設(shè)其對數(shù)據(jù)的擬合精度為100.00%，則正態(tài)云相對于半云而言擬合精度為62.76%，梯形云的擬合精度為52.21%，而價格需求彈性矩陣建模方法的擬合精度為59.42%，略低于正態(tài)云模型。

表3 模型擬合精度值對比Table 3 Comparison of model fitting accuracy values

3.2.3 MBCG 有效性與穩(wěn)定性分析1）有效性分析

為說明MBCG 的有效性，給定樣本數(shù)字特征C（0.158 64，0.063 36，0.008 49），先通過FCG 生成5 000 個云滴數(shù)據(jù)作為樣本，再分別采用3 種BCG 對云滴樣本的數(shù)字特征進(jìn)行估算。將上述過程重復(fù)進(jìn)行1 000 次，列出每種BCG 計算數(shù)字特征時出現(xiàn)無效計算（所計算出的He為虛數(shù)）的次數(shù)及其比例。

由表4 可知，MBCG 在計算時不會出現(xiàn)He為虛數(shù)的情況，而SBCG-1stM 和SBCG-4thM 在計算時都會出現(xiàn)He為虛數(shù)的現(xiàn)象，同時也可看出，SBCG-4thM 算法的有效性優(yōu)于SBCG-1stM 算法。

表4 逆向云發(fā)生器無效計算次數(shù)Table 4 Invalid calculation times of backward cloud generator

2）穩(wěn)定性分析

為使計算具有普適性，給定數(shù)字特征，通過FCG 生成云滴數(shù)據(jù)作為試驗樣本，再分別采用SBCG-1stM、SBCG-4thM 以及本文所述MBCG 對試驗樣本的數(shù)字特征進(jìn)行估計。計算所求數(shù)字特征值中En和He的估計均值和估計均方誤差值，并將此作為評價3 種BCG 穩(wěn)定性的指標(biāo)。當(dāng)En和He的估計均值波動較大時，相應(yīng)的均方誤差值也較大，說明算法計算過程不夠穩(wěn)定，由于3 種BCG 對期望Eer的估計方法相同，故不必對其進(jìn)行比較。具體試驗步驟如下。

步驟1：為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，給定樣本數(shù)字特征C（0.158 64，0.063 36，0.008 49），運(yùn)行FCG 算法W次，每次產(chǎn)生w個云滴。

步驟2：對步驟1 中每次計算產(chǎn)生的w個云滴分別采用SBCG-1stM、SBCG-4thM、MBCG 這3 種不同的BCG 算法計算相應(yīng)的樣本數(shù)字特征C（Eer，En，He）。

步驟3：對3 種BCG 算法，計算W次運(yùn)算中得到的En和He的均值及均方誤差值。

步驟4：改變云滴個數(shù)w，觀察在不同云滴數(shù)下En和He的均值及均方誤差值的變化情況。

從圖5（a）可以看出，3 種方法在對En的均值進(jìn)行估計時都存在誤差，其中，MBCG 算法對En的估計效果最好，更加接近云滴樣本的原始數(shù)字特征值（En=0.063 36），而2 種SBCG 算法對數(shù)字特征的還原效果較差，所求結(jié)果均偏離于原始樣本熵值。同時，結(jié)合圖5（c）中En的估計均方誤差值進(jìn)行分析可知，MBCG 算法的均方誤差值較小，說明MBCG 在求解En時數(shù)據(jù)波動更小，計算過程更穩(wěn)定；由圖5（c）可知，在求解過程中，隨樣本數(shù)的增加，En的均方誤差值逐漸變小直至趨于穩(wěn)定，但在前期樣本數(shù)較少時，En的估計均方誤差值波動較大，原因在于逆向云算法的穩(wěn)定性分析過程可看作是一個“數(shù)字特征-云滴-數(shù)字特征”的過程，由給定的數(shù)字特征生成云滴，再由云滴估算出數(shù)字特征，進(jìn)而評價算法對原數(shù)字特征的還原效果。在此過程中，第1 階段“數(shù)字特征-云滴”中有2 次正態(tài)隨機(jī)計算，加之云滴數(shù)較少，使得計算過程不夠穩(wěn)定，故在樣本較少時，3 種BCG 算法的均方誤差值波動程度普遍較大，且波動趨勢也較隨機(jī)，但隨著云滴數(shù)目的增加，不穩(wěn)定性有所改善，估計值的波動程度越來越小，整體而言，呈現(xiàn)出隨樣本數(shù)增加計算過程逐漸穩(wěn)定的趨勢。

由圖5（b）可知，MBCG 的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在He的計算上，采用多步式算法對He進(jìn)行計算時，不僅計算結(jié)果接近給定參考值，數(shù)值波動程度也很?。欢硗? 種單步式算法在對He進(jìn)行計算時，結(jié)果與給定的參考值相差較大，且計算出的數(shù)值波動程度也很大，結(jié)合圖5（d），多步式算法計算得到的He的均方誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于單步式算法，原因在于單步式算法僅依靠樣本的1 階中心矩或4 階中心矩對He的數(shù)值進(jìn)行估算，結(jié)果較為粗略。但總體來看，無論采用哪種逆向云算法，計算過程都隨著樣本數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定。

圖5 BCG 算法誤差比較Fig.5 Error comparison of BCG algorithms

4 結(jié)語

本文提出一種基于MBCG 半云模型的PBDR不確定性建模方法，解決了傳統(tǒng)PBDR 建模方法精確度不高、SBCG 數(shù)字特征求解過程不穩(wěn)定的問題，可得如下結(jié)論：

1）相比于傳統(tǒng)PBDR 建模方法，利用云模型對響應(yīng)進(jìn)行分析，能夠兼顧用戶在實(shí)際響應(yīng)過程中存在的認(rèn)知模糊性與響應(yīng)隨機(jī)性；

2）為提高模型精度，使用更加符合研究對象分布特點(diǎn)的半云模型對PBDR 進(jìn)行建模，通過算例驗證說明，半云模型更適用于描述具有單側(cè)不確定分布特征的定性概念，就本文而言，其擬合精度遠(yuǎn)高于正態(tài)云、梯形云與常規(guī)價格需求彈性矩陣建模方法；

3）采用MBCG 求解模型的數(shù)字特征，可有效避免傳統(tǒng)SBCG 在求解過程中出現(xiàn)He為虛數(shù)、計算過程不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生。

在PBDR 建模問題上，本文主要利用半云模型衡量用戶響應(yīng)行為的隨機(jī)性與模糊性，在后續(xù)工作中，將考慮基線負(fù)荷的波動對用戶響應(yīng)行為產(chǎn)生的影響，并做進(jìn)一步研究。

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