移動荷載下波形鋼腹板曲線組合梁橋動力特性研究

董海雷， 王 燦， 張彥玲

(1.石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.中鐵大橋科學(xué)研究院有限公司，湖北 武漢 430034；3.橋梁結(jié)構(gòu)健康與安全國家重點(diǎn)實驗室，湖北 武漢 430034)

波形鋼腹板與混凝土組合橋梁結(jié)構(gòu)的投入使用，不但保證了正常的受力性能，更兼具經(jīng)濟(jì)適用和便于施工等特點(diǎn)，因此其慢慢被應(yīng)用于我國的橋梁工程建設(shè)之中。然而，關(guān)于波形鋼腹板組合梁橋的車橋沖擊振動問題一直以來未有統(tǒng)一的解決方法。而且目前大多研究集中在波形鋼腹板組合橋梁的靜力性能研究方面[1-3]，張永健[4]、戴青年[5]、鄭尚敏等[6]利用理論推導(dǎo)加有限元仿真以及室內(nèi)試驗三者結(jié)合的方法對波形鋼腹板PC組合箱梁豎向自振特性進(jìn)行了研究。在自振特性研究的基礎(chǔ)上，肖英楠[7]、王妍[8]、戚偉利[9]、張政韜[10]對移動車輛荷載作用下的波形鋼腹板PC組合箱梁動力特性進(jìn)行了研究，但研究對象均為直線橋。

本文采用理論分析方法，綜合考慮曲梁彎扭耦合、腹板剪切變形及箱梁的約束扭轉(zhuǎn)，利用能量變分法和哈密頓原理對移動荷載作用下橋梁的豎向動力特性解析解進(jìn)行推導(dǎo)，同時探究箱梁腹板剪切變形和箱梁約束扭轉(zhuǎn)對曲梁自振及強(qiáng)迫振動的影響。

1 移動荷載-波形鋼腹板組合梁橋的理論解推導(dǎo)

在推導(dǎo)過程中采用的基本假定包括：

(1)曲梁的運(yùn)動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)線性理論適用。

(2)滿足簡單梁理論，曲梁質(zhì)量分布均勻，具有恒定的雙對稱橫截面，符合平截面假定，不考慮截面的剪力滯效應(yīng)，綜合考慮腹板剪切變形、約束翹曲，曲梁由恒定的橫截面構(gòu)成，翹曲阻力可忽略不計。

(3)假定與橋梁相比，車輛的慣性效應(yīng)很小，因此僅考慮車輛的重力效應(yīng)，忽略車輛的慣性效應(yīng)，將其簡化為一個集中的移動荷載力；車輛以恒定速度在曲梁上移動，無滑移，并與橋梁表面持續(xù)接觸，車輛在上橋之前，曲梁處于靜止?fàn)顟B(tài)。

(4)由于移動荷載的作用時間較短，因此阻尼因素對橋梁的影響很小，不考慮曲梁的阻尼效應(yīng)，同時忽略橋面的粗糙度。

1.1 計算模型

在推導(dǎo)過程中采用的曲梁截面形式及梁上移動荷載運(yùn)動軌跡如圖1和圖2所示。簡支梁為截面恒定的曲線梁，梁高為h，梁寬為b，頂?shù)装搴穸葹棣?；下?biāo)u，b分別表示混凝土頂板和底板的相應(yīng)特性(以下同)，zu為截面形心到頂板形心的距離，zb為截面形心到底板形心的距離；θ為曲梁弧線圓心角；R和l分別為曲梁的曲線半徑和曲線跨度。

圖1 單箱雙室波形鋼腹板組合梁截面形式

圖2 移動荷載下曲梁示意圖

選擇右手坐標(biāo)系，其中y軸和z軸與橫截面的主軸重合，x軸與梁的質(zhì)心軸相切。設(shè)u、v和w分別為曲梁每個橫截面的質(zhì)心沿x、y、z軸的位移，φx、φy和φz分別為圍繞三個軸的扭轉(zhuǎn)角。荷載P(t)以勻速v向右移動，當(dāng)t=0時，荷載位于最左端支撐處；在時間為t時，荷載運(yùn)動距離為vt。

由文獻(xiàn)[11]可得一般簡支曲梁的微分方程為:

豎向位移，

(1)

扭轉(zhuǎn)位移，

(2)

式中：w′為對曲梁的縱向微分；φ′x為對繞x軸扭轉(zhuǎn)角的微分；E和G分別為曲梁的彈性模量和剪切模量；Iy為關(guān)于y軸的慣性矩；Id為曲梁的扭轉(zhuǎn)慣性矩。

1.2 彎曲應(yīng)變能

(3)

(4)

則得到彎曲總動應(yīng)變能為：

Vw(t)=Vwu(t)+Vwb(t)

(5)

1.3 約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)變能

由烏曼斯基的閉口截面薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論，建立多室閉口截面桿件約束扭轉(zhuǎn)計算公式，其中自由扭轉(zhuǎn)剪力流q的方程為：

式中：i=1，2，…，n，n為室數(shù)；k為與相鄰箱室共同室壁；φ′(x,t)為截面扭率；Ωi為箱室中心線所圍面積的2倍；由于波形鋼腹板組合箱梁頂、底板與腹板的材料及厚度不相同，故采用換算截面，將鋼材轉(zhuǎn)換成混凝土，G全部取混凝土的切變模量Gc。由于波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)，其切變模量Gs采用等效切變模量Ge表示。假定換算后的鋼腹板高度不發(fā)生變化，則其等效厚度δ′w為：

式中：δw為波形鋼腹板板厚；a、c、ψ具體參數(shù)見圖3所示。

圖3 波形鋼腹板波段結(jié)構(gòu)

計算曲線閉口箱梁在扭轉(zhuǎn)作用下的截面縱向翹曲位移uω(x,s,t)，取截面形心軸與箱壁交點(diǎn)為積分零點(diǎn)，可得約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力σx(x,s,t)，從而得到剛性扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)變能為：

(6)

1.4 鋼腹板剪切動應(yīng)變能

截面波形鋼腹板考慮剪切變形時，則箱梁腹板的剪應(yīng)變可表示為η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)，則相應(yīng)的動應(yīng)變能為：

(7)

式中：Aw為波形鋼腹板剪切面積，Aw=nδwhw，n為鋼腹板列數(shù)；α為平截面假定修正系數(shù)，取α=1.2。

1.5 約束扭轉(zhuǎn)剪切動應(yīng)變能

曲線箱梁截面上的總扭矩可表示為自由扭轉(zhuǎn)扭矩Td(x,t)和約束扭轉(zhuǎn)扭矩Tω(x,t)之和，有：

Gc(Iρ-Id)[β′(x,t)-φ′(x,t)]

(8)

則約束扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)變能為:

(9)

式中：Iρ為極慣性矩。

1.6 動能

波形鋼腹板組合梁以豎彎為主模態(tài)振型的動能：

(10)

1.7 非保守力作功

由于只有外力P(t)作功，則非保守力作的虛功等于：

(11)

式中：Wnc(t)為非保守力；?為Dirac函數(shù)。

1.8 移動荷載下波形鋼腹板曲線組合梁的受迫振

動方程

根據(jù)Hamilton原理，一個平衡的體系在任何時間區(qū)間t1到t2內(nèi)，動能和位能的變分加上所考慮的非保守力所做的功的變分必須等于零。即

(12)

將式(5)、式(6)、式(7)、式(9)、式(10)和式(11)代入式(12)，根據(jù)變分原理，得到波形鋼腹板曲線組合箱梁在強(qiáng)迫振動下的運(yùn)動方程組為：

(13)

(14)

(15)

(16)

邊界條件為：

1.9 振動方程的求解

本節(jié)利用伽遼金法進(jìn)行求解，針對簡支曲線箱梁的撓度w、扭轉(zhuǎn)角φ、扭轉(zhuǎn)翹曲廣義位移、彎曲轉(zhuǎn)角θ，假設(shè)其形函數(shù)分別為：

(17)

式中：wn(t)、θn(t)、βn(t)、φn(t)為廣義振型坐標(biāo)，是時間t的函數(shù)；φn(x)與κn(x)為主振型函數(shù)，波形鋼腹板簡支曲線組合梁豎彎振型中撓度w(x,t)、扭轉(zhuǎn)角φ(x,t)均在支座處為0，在跨中處達(dá)到峰值，形函數(shù)采用正弦函數(shù)；扭轉(zhuǎn)翹曲廣義位移函數(shù)β(x,t)與扭轉(zhuǎn)角φ(x,t)具有相似特性，也設(shè)為正弦函數(shù)；截面轉(zhuǎn)角θ(x,t)在兩端支座處達(dá)到最大值，在跨中取值為0，形函數(shù)可采用余弦函數(shù)表示。有：

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，將式(17)代入式(13)～ 式(16)，得到

(20)

式中:a1、a2、b1、b2、b3、c1、c2、c3、c4、d1、d2、d3表達(dá)式如下，

d2=-Gc(Iρ-Id)

將式(20)方程組中的通解分成兩部分求解，即齊次解wnh、θnh、φnh、βnh和特解Pwn、Pθn、Pφn、Pβn，得齊次解求解矩陣為：

得到曲梁自振圓頻率為：

(21)

曲梁自振頻率為：

(22)

k1=d1-c2·d3,k2=b1·(c4·d2-c3·d3)+

c2·(a1·d3-b3·d2+b2·d3)-a2·c1·d3+

d1(b3·c3-a1-b2),k3=a1·b1·(c3·d3-

c4·d2)-a1·b3·c3·d1+(b2·d3-b3·d2)·

(a2·c1-a1·c2)

特解求解矩陣為：

(23)

(24)

本公式利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行求解。

2 算例

本文采用文獻(xiàn)[5]中的CSB2試驗梁(計算跨徑4.4 m，曲線半徑8.8 m，跨徑比0.5)自振及相關(guān)有限元結(jié)果，對理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行驗證。曲梁CSB2截面尺寸如圖4所示。

圖4 單箱雙室波形鋼腹板組合梁截面尺寸(單位：mm)

在有限元軟件ANSYS中建立相應(yīng)曲梁模型如圖5所示。

圖5 單箱雙室波形鋼腹板組合梁模型

其中自振基頻對比如表1所示。

表1 波形鋼腹板曲梁豎向自振基頻對比

假定移動荷載為P(t)常量力，取P=1 000 N，移動速度取20 m/s。跨中豎向動撓度對比如圖6所示。

圖6 曲梁跨中豎向動撓度有限元解、理論解對比

由表1及圖6可以看出，理論計算自振基頻結(jié)果與試驗及有限元結(jié)果對比相對誤差均在5%以內(nèi)，理論計算跨中撓度曲線與有限元計算曲線變化趨勢基本相同，驗證了理論推導(dǎo)的正確性。

3 箱梁約束扭轉(zhuǎn)及腹板剪切變形對波形鋼腹板曲梁動力特性的影響

在文獻(xiàn)[5]提供的單箱雙室波形鋼腹板曲線簡支箱梁CSB2截面及本文所做理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，考慮如下四種情況：

工況一，不考慮剪切變形和約束扭轉(zhuǎn)，將曲梁假設(shè)成簡單的歐拉梁，有扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)變能為零且η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)=0，其它能量參數(shù)保持不變，求得的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f1和w1。

工況二，考慮約束扭轉(zhuǎn)，不考慮腹板剪切變形。有η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)=0，其它能量參數(shù)保持不變，自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f2和w2。

工況三，考慮腹板剪切變形，忽略箱梁約束扭轉(zhuǎn)，只考慮自由扭轉(zhuǎn)。此時扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)變能為零，約束扭轉(zhuǎn)剪切動應(yīng)變能只由自由扭轉(zhuǎn)貢獻(xiàn)，其它能量參數(shù)保持不變，由此得到的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f3和w3。

工況四，同時考慮腹板剪切變形和箱梁約束扭轉(zhuǎn)，由此得到的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f4和w4。自振基頻對比結(jié)果見表2所示。

表2 四種工況下曲梁豎向自振基頻對比

假定移動荷載為P(t)常量力，取P=1 000 N，移動速度取20 m/s。將理論計算結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖7所示。

圖7 四種情況下的曲梁跨中豎向動撓度時程

由表2及圖7可以看出，工況二相對工況一歐拉梁誤差較小，工況三及工況四誤差較大，說明箱梁約束扭轉(zhuǎn)對波形鋼腹板曲線組合梁的車輛沖擊振動響應(yīng)影響較小，腹板的剪切變形影響較大。

4 結(jié)論

(1)本文采用能量變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板簡支曲線組合梁在移動荷載下的振動微分方程，采用伽遼金法求解得到了其在移動荷載作用下的理論解，并通過與試驗值及有限元值對比驗證了理論解的正確性。

(2)在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，探究了箱梁腹板剪切變形和箱梁約束扭轉(zhuǎn)對波形鋼腹板曲梁動力特性的影響，結(jié)果表明：箱梁約束扭轉(zhuǎn)對波形鋼腹板曲線組合梁的車輛沖擊振動響應(yīng)影響較小，腹板的剪切變形影響較大，計算中不應(yīng)忽略。