非均勻混合下氘氚聚變反應(yīng)速率的理論研究*

沈剛 衷斌 吳勇 王建國

1) (北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所,北京 100094)

2) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100088)

激光驅(qū)動慣性約束聚變中殼層材料和聚變?nèi)剂系幕旌鲜怯绊懢圩凕c火燃燒性能的關(guān)鍵物理問題,聚變過程中混合物形態(tài)的演化及相應(yīng)熱核反應(yīng)速率的物理建模直接影響數(shù)值模擬的置信度,具有重要的科學意義和應(yīng)用價值.本文以擴散混合機制下混合形態(tài)隨時間的演化規(guī)律及其對熱核反應(yīng)速率的影響為研究對象,基于熱力學平衡與理想氣體物態(tài)方程假設(shè),通過解析分析與一維球幾何擴散方程數(shù)值解的對比研究,揭示了擴散混合主導下熱核反應(yīng)速率隨混合形態(tài)演化的物理規(guī)律.研究發(fā)現(xiàn),混合量主要通過影響燃料的體積份額直接影響熱核反應(yīng)速率,由混合非均勻尺度和擴散系數(shù)共同決定的擴散時間直接影響熱核反應(yīng)速率的時間演化行為.進一步利用蒙特卡羅方法直接模擬擴散過程得到的互擴散系數(shù),定量分析了燃料中混入低Z、高Z材料時熱核反應(yīng)速率隨時間演化的差異,通過與美國非均勻混合效應(yīng)實驗典型數(shù)值模擬結(jié)果進行對比分析,驗證了理論評估的可靠性.本工作對我國慣性約束聚變混合效應(yīng)實驗的設(shè)計和改進具有重要參考意義.

1 引 言

激光驅(qū)動慣性約束聚變(ICF)的靶丸在內(nèi)爆過程中,由于殼層燃料界面的流體不穩(wěn)定性的發(fā)展[1?3],沖擊波在輕重物質(zhì)界面產(chǎn)生的微噴、層裂[4]以及各種工程因素,如靶丸上的用于充注聚變?nèi)剂系某錃夤躘5]、靶丸的支撐結(jié)構(gòu)[6]等,導致殼層材料混入聚變?nèi)剂现?從而降低了中心氘氚熱斑(Hot-spot)的溫度和密度,直接影響慣性約束聚變點火燃燒性能.

實際靶丸內(nèi)爆過程中多組分混合物中的混合量、混合分布呈現(xiàn)復雜的演化過程,燃料和殼層材料混合演化的精細描述原則上需要在三維流體力學框架下進行多相流模擬,這大大增加了數(shù)值模擬的復雜性和計算規(guī)模,工程上通常把混合物簡化為單一介質(zhì)處理,采用單介質(zhì)流體力學框架模擬靶丸內(nèi)爆過程.若各種物理過程充分發(fā)展,混合物的空間分布在計算的空間網(wǎng)格尺度上達到均勻分布,則混合物相關(guān)物理建模如物態(tài)方程、輻射參數(shù)等大為簡化,有一套較成熟的理論模型.而靶丸實際內(nèi)爆過程中混合通常沒有足夠的時間充分發(fā)展,聚變?nèi)紵A段燃料在亞網(wǎng)格尺度上分布的非均勻性將增加新的自由度,產(chǎn)生的影響需要在相應(yīng)的物理模型和參數(shù)中予以體現(xiàn).本文關(guān)注的問題是單流體框架下亞網(wǎng)格尺度非均勻混合對熱核反應(yīng)速率的影響,其直接影響ICF 內(nèi)爆靶丸的聚變性能,特別是在有一定自持燃燒的點火裝置上混合形態(tài)的演化與力學過程耦合在一起,更增加了問題的復雜性.亟需發(fā)展相應(yīng)物理模型描述混合非均勻程度對熱核反應(yīng)速率的影響.

亞網(wǎng)格尺度下殼層物質(zhì)和聚變?nèi)剂匣旌系姆蔷鶆虺潭扔苫旌闲螒B(tài)描述,通常包括均勻原子混合形態(tài)和非均勻混合形態(tài),以離子碰撞平均自由程和混合非均勻尺度比值的大小來區(qū)分.當非均勻尺度和碰撞自由程可比或更小時,混入物質(zhì)不影響聚變?nèi)剂系目臻g分布,則稱為均勻原子混合形態(tài);當非均勻尺度遠大于碰撞自由程,即混入氘氚燃料物質(zhì)宏觀上出現(xiàn)的非均勻聚集狀態(tài),稱為非均勻混合形態(tài),有時也稱為“顆?！被旌?需要說明的是,在聚變?nèi)紵臏囟让芏葪l件下,物質(zhì)處于等離子體狀態(tài),不存在固態(tài)的顆粒狀態(tài),本文僅把混入物質(zhì)的非均勻聚集狀態(tài)形象地稱為“顆?！被旌?顯然,非均勻混合下混入的殼層物質(zhì)對聚變?nèi)剂系目臻g分布產(chǎn)生影響,其極端形態(tài)為混入物與燃料完全分離的理想“顆?！被旌闲螒B(tài),即混入物質(zhì)與燃料互不相溶,各自占有部分體積.

則R非均勻=R均勻·η.

下面討論η與非均勻混合程度即混合形態(tài)的關(guān)系.氘氚和殼層物質(zhì)處于非均勻混合形態(tài)時,在等溫等壓條件下有

其中x為氘氚離子的數(shù)密度份額,為x空間分布的方差,其大小直接影響熱核反應(yīng)速率.當聚變?nèi)剂虾突烊氲臍游镔|(zhì)處于分離狀態(tài)時,各自占有部分體積,即理想“顆?！被旌闲螒B(tài),聚變?nèi)剂象w積份額在理想氣體物態(tài)方程下為vDT=由此=,為方差的最大取值,則修正因子取極大值ηmax=1/.可以理解為混入的物質(zhì)起了“占體”的作用,混入物質(zhì)越多,占的體積越大,聚變?nèi)剂戏蓊~的平均值越小,對熱核反應(yīng)速率的影響就越大;與此相反,當兩種物質(zhì)完全均勻混合時,顯然=0 ,ηmin=1 ;介于兩者之間的非均勻混合形態(tài)下的熱核反應(yīng)修正因子η的取值范圍為1/vDT～1.可見,混合形態(tài)對熱核反應(yīng)速率的影響實質(zhì)是亞網(wǎng)格尺度下聚變?nèi)剂蠑?shù)密度的非均勻性,非均勻性越大即方差越大,則對熱核反應(yīng)速率的影響越大.

長期以來,混合相關(guān)研究工作主要集中在混合來源及其影響效應(yīng)方面,單流體框架、亞網(wǎng)格尺度下混合形態(tài)的演化及對熱核反應(yīng)速率的影響近些年才逐漸引起人們的關(guān)注.實驗方面,Murphy 等[7,8]和 Haines 等[9,10]自 2016 年 起,在 NIF[11](national inition facility)和OMEGA[12]等激光裝置上開展了一系列非均勻混合效應(yīng)實驗(MARBLE Campaign),內(nèi)爆靶丸初始填充氘代泡沫(CD)材料,留有不同尺度的氣孔,內(nèi)部充入含氚氣體,相當于已知混合量及非均勻混合形態(tài),通過氘氚中子產(chǎn)額與氘氘中子產(chǎn)額的比值校驗相關(guān)混合模型和程序.我國蒲昱東等[13]在“十三五”期間基于神光裝置[14]開展了氘代泡沫球摻金的實驗,研究了高Z元素的非均勻混合對聚變性能的綜合影響,初步建立了以慣性壓縮為主的非均勻混合效應(yīng)的實驗研究能力.

理論研究方面,聚變?nèi)剂戏植嫉姆讲罴半S時間的演化主要由力學混合、擴散混合兩類物理過程決定.力學混合主要指力學不穩(wěn)定性發(fā)展到后期的湍流階段產(chǎn)生的亞網(wǎng)格尺度上的非均勻混合.混合形態(tài)的演化及相應(yīng)熱核反應(yīng)速率建?？苫趩瘟黧w的湍流模型描述[15].由混合物中組分濃度的空間梯度引起的擴散過程是混合形態(tài)由非均勻混合發(fā)展到均勻混合的另一種物理機制,在靶丸聚變?nèi)紵A段由于擴散系數(shù)的大幅增大而主導混合形態(tài)的演化[4].

本文的主要研究內(nèi)容是擴散過程主導的混合形態(tài)演化及相應(yīng)熱核反應(yīng)速率建模的理論研究,據(jù)我們所知,該類研究未見公開報道.本文包括以下4 個方面: 1)基于混入的殼層物質(zhì)和燃料相互擴散的物理圖像,通過解析分析及數(shù)值求解一維球幾何擴散方程,獲得了擴散混合主導下非均勻混合形態(tài)及熱核反應(yīng)速率隨時間演化的物理模型;2)研制了基于Monte Carlo (以下簡稱為蒙卡)方法直接模擬擴散過程計算互擴散系數(shù)的方法,較高置信度地給出了碳-氘、金-氘混合物典型聚變狀態(tài)下的互擴散系數(shù);3)基于以上兩項工作系統(tǒng)分析了影響熱核反應(yīng)速率隨時間演化的關(guān)鍵物理因素,包括混合量的大小、混合的非均勻尺度及殼層材料高低Z的差別等;4)針對美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應(yīng)實驗開展了理論研究,與相應(yīng)典型三維數(shù)值模擬結(jié)果進行了對比分析,驗證了理論評估的可靠性.

2 理論和數(shù)值模擬方法

2.1 解析理論

考慮到聚變?nèi)剂蠑?shù)密度份額的方差由聚變?nèi)剂系姆植夹畔Q定,可采用概率密度函數(shù)(PDF)描述不同程度非均勻混合的聚變?nèi)剂戏植?類似的思想最早在化學反應(yīng)流的相關(guān)文章[16,17]中提出.

如圖1 所示,在理想“顆?！被旌舷?混合物中的燃料濃度只有0 和1 兩個分離的取值,在均勻原子混合下,混合物的燃料濃度為單一的取值,介于二者之間的分布函數(shù)則是不同燃料濃度的混合物占有不同的份額,由相應(yīng)的分布函數(shù)描述.由此定義兩個物理量,分別為描述不同燃料濃度物質(zhì)的質(zhì)量分布函數(shù)m(c) (定義為燃料濃度在c—c+dc之間的混合物的質(zhì)量份額)和體積分布函數(shù)v(c) (與質(zhì)量分布函數(shù)定義類似),由此經(jīng)過推導可得到熱核反應(yīng)速率修正因子公式為

p(c)為混合物中輕、重材料性質(zhì)及平均燃料濃度的已知函數(shù),其中下標L,S 分別代表燃料和殼層物質(zhì),Z為離化度,μ為摩爾質(zhì)量,則v(c)=m(c)·p(c),由此可得:

考慮到β函數(shù)在不同參數(shù)取值下呈現(xiàn)出雙峰或單峰結(jié)構(gòu),能夠較好描述混合形態(tài)演化過程中m(c) 的變化[18],選取m(c) 分布為β函數(shù)形式,如圖2 所示.依據(jù)(5)式計算的熱核反應(yīng)速率修正因子η隨相應(yīng)參數(shù)的增大逐漸下降到1,與混合形態(tài)由非均勻混合過渡到均勻混合η的下降規(guī)律一致,從而驗證了(5)式的正確性.由此獲得了熱核反應(yīng)速率與亞網(wǎng)格尺度下不同濃度燃料質(zhì)量分布的函數(shù)關(guān)系.

圖2 不同參數(shù)β 函數(shù)分布的m(c)及相應(yīng)的熱核反應(yīng)速率修正因子 (a) 不同參數(shù)下的β 函數(shù)分布;(b)相應(yīng)修正因子ηFig.2.m(c) taken as the distribution of β function with different parameters and corresponding correction factor of thermonuclear reaction rate: (a) β function distribution with different parameter;(b) corresponding η.

實際的混合形態(tài)存在不同尺度、不同形狀的“顆粒”,簡化起見,本文選取典型“顆?！背叨炔凑涨驇缀翁幚?每個顆粒外面包圍一層氘氚燃料,用“顆?！?氘氚小球之間的互擴散過程表征整個熱斑區(qū)混合形態(tài)的演化過程,如圖3 所示.為獲得擴散過程中質(zhì)量份額分布m(c) 的解析公式,對擴散物理圖像進行了簡化處理,假設(shè)氘氚燃料擴散進顆粒中心的時間和殼層物質(zhì)到達氘氚燃料外半徑的時間大致相同[4],則(相應(yīng)符號物理量含義見圖3),進一步假設(shè)混合區(qū)內(nèi)的氘氚濃度均勻分布,則可依據(jù)(5)式推導出熱核反應(yīng)速率修正因子與擴散深度比例h/rS的函數(shù)關(guān)系為

其中vS為初始分離狀態(tài)殼層物質(zhì)的體積份額.

為了更精確地描述擴散過程,應(yīng)用追趕法、隱式格式離散方法數(shù)值求解了有限空間下的一維球幾何擴散方程,根據(jù)求得的氘氚燃料離子濃度的空間分布隨時間的發(fā)展給出熱核反應(yīng)速率修正因子隨時間的演化過程,并與解析結(jié)果進行了比較,如圖4 所示.考慮到解析公式(6)中,當擴散深度h=rS時代表擴散過程結(jié)束,達到完全均勻混合,而實際擴散過程中濃度完全均勻需要很長時間,取τdiffusion=rS2/(6.76D)表征擴散基本完成時間(其中D為擴散系數(shù)),由此解析公式中的h取為h=從圖4的比較來看,

圖4 熱核反應(yīng)速率修正因子數(shù)值解與解析解的比較Fig.4.Comparison of numerical and analytical solutions for the correction factor of thermonuclear reaction rate.

解析公式給出的修正因子在擴散早期較數(shù)值解下降慢、后期略小于數(shù)值解,這與解析模型的物理假設(shè)相關(guān),符合物理定性規(guī)律.兩條曲線較為接近說明解析模型盡管有所簡化,依然具有較高的精度.

2.2 蒙卡數(shù)值模擬

從2.1 節(jié)可以看出,殼層物質(zhì)與氘氚燃料的互擴散系數(shù)是影響擴散過程演化行為的基礎(chǔ)參數(shù),而不同動理學理論的互擴散系數(shù)約有倍數(shù)的差異[19?21].為更好認識和理解相關(guān)理論,應(yīng)用蒙卡方法研制了計算互擴散系數(shù)的方法和程序.具體流程為,基于蒙卡方法直接模擬各組分在混合物中的自擴散過程,確定各組分的自擴散系數(shù),根據(jù)“Darken Approximation”[22]的組合規(guī)則,計算不同燃料濃度下顆粒加氘氚燃料系統(tǒng)的互擴散系數(shù).

為簡化起見,蒙卡模擬時僅考慮離子之間的庫侖散射,忽略與電子的相互作用.總體計算流程為,按照溫度T下的麥克斯韋(Maxwell)速度分布抽取離子的能量、運動方向,以樣本離子的空間分布為權(quán)重抽取離子所在位置,由此確定樣本離子的初始狀態(tài),然后模擬其經(jīng)歷的各種事件,包括自由飛行、穿過幾何面及庫侖散射等.跟蹤樣本離子在背景離子中擴散過程的具體流程如圖5 所示.

圖5 跟蹤樣本離子擴散過程的示意圖Fig.5.Schematic diagram of tracking ion diffusion process.

蒙卡模擬擴散過程的關(guān)鍵是確定等效庫侖截面.從兩體庫侖碰撞的微觀散射截面出發(fā),考慮到多次小角度散射的累計效應(yīng)可等效為一次大角度散射,唯象選取庫侖碰撞的特征長度對應(yīng)的圓面積乘以庫侖對數(shù)作為微觀截面的理論形式,相關(guān)系數(shù)依據(jù)氣體運動論理論中自擴散系數(shù)和微觀截面的關(guān)系[23],以及等離子體聚變?nèi)紵龡l件下自擴散系數(shù)的動理學理論公式[24]綜合確定.得到的入射離子α與背景離子β的等效庫侖截面為

利用擴散過程的定標關(guān)系D∝h2/t,根據(jù)蒙卡模擬的不同時刻的擴散深度可以提取出自擴散系數(shù).自擴散過程中蒙卡模擬結(jié)果與一維球幾何擴散方程數(shù)值解的比較結(jié)果如圖6 所示,其中擴散方程數(shù)值解的擴散系數(shù)采用蒙卡模擬結(jié)果的提取值.可以看出,在相同的擴散系數(shù)下,蒙卡模擬的擴散過程與數(shù)值解很好地一致,說明蒙卡直接模擬擴散過程能夠精確反映擴散方程的解,也表明任意時刻擴散深度提取的擴散系數(shù)具有很好的一致性.

圖6 蒙卡模擬的離子數(shù)密度分布隨時間演化行為與擴散方程數(shù)值解的比較 (數(shù)值解的擴散系數(shù)為2243 c m2/s,到心時間為0.9 ns)Fig.6.Comparison between time evolution of ion number density distribution simulated by MC and numerical solution of diffusion equation.(diffusion coefficient of numerical solution is 2243 c m2/s,time of diffusion to center is 0.9 ns).

為綜合檢驗蒙卡方法計算自擴散系數(shù)的準確性,對不同溫度、密度下的結(jié)果與動理學理論進行了比較,如圖7 所示,其中黑線是解析公式的結(jié)果,紅色的五角星是蒙卡模擬的結(jié)果.可以看到,蒙卡模擬給出的隨溫度、密度變化的自擴散系數(shù)結(jié)果與相應(yīng)動理學理論很好地一致,表明通過蒙卡直接模擬擴散過程計算自擴散系數(shù)的方法是可靠的.

圖7 蒙卡模擬給出的氘自擴散系數(shù)與動理學理論的比較 (a) 隨數(shù)密度的變化;(b) 隨溫度的變化Fig.7.Comparison between self diffusion coefficient of deuterium given by MC simulation and kinectic theory: (a) With number density;(b) with temperature.

依據(jù)“Darken Approximation”可由自擴散系數(shù)組合給出互擴散系數(shù),對于α與β兩種組分的混合物,其組合形式為

其中,Dαβ為互擴散系數(shù);xα,xβ為兩種組分的數(shù)密度的份額;Dα,Dβ分別為組分α,β在混合物中的自擴散系數(shù).“Darken Approximation”忽略了不同種類離子間的相互關(guān)聯(lián),對大部分問題在百分之幾的精度上是準確的,而各組分的自擴散系數(shù)由蒙卡程序模擬標識離子在均勻混合背景離子下的擴散過程獲得.

3 結(jié)果及討論

3.1 互擴散系數(shù)模擬結(jié)果

圖8 分別模擬給出了不同燃料濃度下氘與碳、氘與金的互擴散系數(shù),并與Ticknor 等[19]、Molvig等[20]及Stanton 和Murillo[21]的動理學理論進行了比較.蒙卡模擬氘與碳互擴散系數(shù)的熱力學狀態(tài)為密度4.2 g/cm3,溫度3 keV,模擬的互擴散系數(shù)隨燃料濃度增加從167 c m2/s 單調(diào)下降到56 cm2/s,約倍數(shù)變化,下降的原因主要是互擴散過程由含量少的組分主導,聚變?nèi)剂蠞舛鹊蜁r由氘主導,則擴散系數(shù)相應(yīng)增大,燃料濃度高時由碳主導,擴散系數(shù)相應(yīng)減小.從擴散系數(shù)隨燃料濃度變化的趨勢上看,Stanton 和Murillo[21]的理論與蒙卡結(jié)果較為接近,即隨著燃料濃度的增加,互擴散系數(shù)的下降逐漸趨緩,定量上看Stanton 和Murillo[21]的結(jié)果較蒙卡模擬的偏低約40%—50%;Molvig 等[20]的理論互擴散系數(shù)與燃料濃度關(guān)系較弱,在燃料濃度取中間值時(0.3—0.7),與蒙卡的結(jié)果偏差較小.Ticknor 等[19]的結(jié)果與蒙卡模擬結(jié)果相比在低燃料濃度時偏高約50%,但互擴散系數(shù)隨燃料濃度的增加下降較快,當燃料濃度為0.7 時兩者結(jié)果基本一致,燃料濃度再增加時Ticknor 等[19]的結(jié)果反而小于蒙卡模擬的結(jié)果.

圖8 蒙卡模擬給出的互擴散系數(shù)與動理學公式的比較 (a) 氘與碳;(b) 氘與金Fig.8.Comparison of the mutual diffusion coefficient between MC simulation and kinetic theories: (a) Carbon and deuterium;(b) gold and deuterium.

蒙卡模擬氘與金的互擴散系數(shù)的狀態(tài)為密度4.9 g/cm3,考慮到金在不同溫度下離化度的差別,溫度分別取3 keV 和1 keV 兩個典型值,相應(yīng)離化度分別約為70 和50.可以看到,互擴散系數(shù)在不同燃料濃度下的差別在1 個量級以內(nèi),溫度3 keV 時的互擴散系數(shù)在4—0.4 c m2/s 內(nèi)變化,溫度1 keV 時的互擴散系數(shù)在0.7—0.07 c m2/s 內(nèi)變化.Molvig 等[20]的理論基本沒有反映燃料濃度的影響,整體較蒙卡模擬結(jié)果偏大,特別是在燃料濃度高的區(qū)域.Ticknor 等[19]的結(jié)果依然高于蒙卡模擬的結(jié)果,且不同溫度下的差別基本相同,高約40%—50%,這和在碳-氘上的差別基本一致.Ticknor 等[19]的結(jié)果和蒙卡模擬結(jié)果的差別較碳-氘情況下的偏小,在高溫下偏低約10%—30%,低溫時,燃料濃度小于0.7 時與蒙卡結(jié)果接近,最大偏低約15%,燃料濃度再增大時開始大于蒙卡模擬的結(jié)果,最大偏高20%.總的來看,蒙卡模擬給出的互擴散系數(shù)與相關(guān)動理學理論在50%以內(nèi)相符,具有較高的置信度.

3.2 非均勻混合下影響熱核反應(yīng)速率的物理因素及影響規(guī)律

在單介質(zhì)輻射流體力學的框架下,影響非均勻混合熱核反應(yīng)速率的物理量包括: 1)燃料的平均濃度c,表征混合量的多少;2)聚變開始時的典型非均勻尺度,即顆粒尺度的平均值,表征非均勻混合程度;3)不同非均勻尺度的概率分布,如指數(shù)分布、對數(shù)高斯分布、平分布等;4)混入殼層物質(zhì)的材料性質(zhì)等.下面對非均勻混合下影響熱核反應(yīng)速率的物理因素及影響規(guī)律進行討論.

3.2.1 燃料平均濃度的影響

在混合物密度一定的條件下,燃料平均濃度代表了混入物質(zhì)的多少,即混合量的大小.燃料濃度越大,混入物質(zhì)相對越少.以碳氘混合為例,模擬燃料平均濃度分別為0.3,0.5,0.7,0.9 時熱核反應(yīng)速率修正因子演化行為如圖9 所示.可以看出,聚變?nèi)剂蠞舛鹊挠绊戵w現(xiàn)在兩個方面,主要的一方面是決定了初始完全分離狀態(tài)下聚變?nèi)剂系捏w積份額,從而決定了熱核反應(yīng)速率的修正因子η的初始值,隨著燃料濃度增加,燃料的體積份額相應(yīng)增大,混合物質(zhì)的占體效應(yīng)下降,η相應(yīng)減小;另一方面,不同燃料濃度下擴散系數(shù)的差別影響了η隨時間的演化行為,燃料濃度越大,擴散系數(shù)越小,擴散越慢,熱核反應(yīng)速率修正因子下降到1 的時間相應(yīng)越長.

圖9 擴散混合下熱核反應(yīng)速率修正因子時間演化與平均燃料濃度的關(guān)系Fig.9.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different average fuel concentration under diffusion mixing.

3.2.2 非均勻混合程度的影響

混合的非均勻程度可以用聚變開始時顆粒尺度rS來表征.rS主要影響擴散的快慢.根據(jù)擴散理論定標關(guān)系,擴散完成時間與rS2成正比.從圖10的模擬結(jié)果可以看到顆粒尺度對修正因子的影響,初始兩種組分完全分離狀態(tài)時,由于燃料的體積份額是固定的,修正系數(shù)η與顆粒的尺度無關(guān);對η演化行為的影響,則是顆粒越大,擴散越慢,η下降越慢.

圖10 熱核反應(yīng)速率修正因子時間演化與顆粒尺度的關(guān)系(取燃料平均濃度0.5,擴散系數(shù)100 c m2/s)Fig.10.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different chunk size under diffusion mixing.

3.2.3 顆粒尺度不同概率分布的影響

實際狀態(tài)下,顆粒尺度rS總是有一定的概率分布,不是單一取值,固定rS的平均值,用解析公式(6)分析了rS不同概率分布下的熱核反應(yīng)修正因子.此時η的計算公式為

其中f(x) 為rS的概率密度分布函數(shù),選取了指數(shù)分布、對數(shù)高斯分布、平分布等三類典型分布,和單一尺度的δ分布結(jié)果進行了比較,如圖11 所示.

f(x)為指數(shù)分布的具體形式為

f(x)為對數(shù)高斯分布的具體形式為

f(x)為平分布的具體形式為

f(x)為δ分布,即對應(yīng)單一顆粒度的具體形式為

從圖11(a)可以看出rS的4 種概率密度分布存在較大差異,圖11(b)可以看出,熱核反應(yīng)速率修正因子η隨時間的演化與rS的概率分布有一定關(guān)系.指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布的差別不大,和平分布及單一尺度有較明顯的差別.初始時刻從相同的η值出發(fā),隨著擴散過程的發(fā)展,由于尺度較小的顆粒擴散過程較快,顆粒有小尺度概率分布的狀態(tài),η下降就較單一尺度顆粒下降得更快,且指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布由于小尺度的顆粒占比更高,η的下降也比平分布下降得更快.擴散后期,大尺度的顆粒擴散得慢,使η值在較長時間內(nèi)都大于1,從4 個概率分布的比較可以看出,大顆粒尺度占比越高,η下降得越慢,符合物理定性規(guī)律.整體來看,顆粒尺度不同概率分布對熱核反應(yīng)速率的影響相對較小,敏感性小于平均顆粒尺度及燃料平均濃度的影響.

圖11 顆粒尺度概率密度分布及不同分布下熱核反應(yīng)速率修正因子時間演化的差異Fig.11.Time evolution of thermonuclear reaction rate correction factor with different chunk size distribution under diffusion mixing.

3.2.4 燃料中混入低Z、高Z物質(zhì)的差別

本小節(jié)以混入低Z的碳和高Z的金為例說明燃料中混入低Z、高Z物質(zhì)的差別,模擬的結(jié)果如圖12所示.可以看出,燃料濃度相同的條件下,初始完全分離時低Z的碳較高Z的金占據(jù)更大的體積份額,導致燃料體積減小,熱核反應(yīng)速率修正因子相應(yīng)增大;擴散發(fā)展過程中,由于低Z的碳較高Z的金擴散系數(shù)小約兩個量級,導致擴散時間偏快約兩個量級,η值下降到接近1 的時間偏早約兩個量級.

圖12 金顆粒+氘、碳顆粒+氘的熱核反應(yīng)速率修正因子時間演化的比較Fig.12.Comparison of rate correction factors for gold +deuterium system and carbon+deuterium system.

下面對均勻混合、理想“顆?！被旌系臒岷朔磻?yīng)速率公式適用條件進行討論.以ICF 內(nèi)爆實驗熱斑的典型狀態(tài)來說,聚變特征時間約100 ps 量級,典型聚變溫度(約3 keV)、密度狀態(tài)下氘氚和碳的互擴散系數(shù)約在100 cm2/s 量級.聚變開始時非均勻尺度在0.1 μm 量級及以下的顆粒,在聚變時間的1%以內(nèi)即完成了擴散過程,可當作完全均勻原子混合處理;非均勻尺度在10 μm 量級及以上的顆粒,在聚變時間內(nèi)擴散過程僅完成了1%,在聚變過程中基本可當作理想“顆粒”混合處理;處于中間尺度的狀態(tài)則需要應(yīng)用我們的模型評估非均勻混合狀態(tài)及其演化對熱核反應(yīng)速率的影響.對于混入重材料的情形(例如金),相同顆粒尺度下,擴散特征時間約慢兩個量級,由此完全均勻原子混合和理想“顆?！被旌系奈锢砼袚?jù)分別為非均勻尺度小于0.01 μm 量級和大于1 μm 量級.

3.3 與典型實驗數(shù)值模擬結(jié)果的對比分析

美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應(yīng)實驗中,內(nèi)爆靶丸填充氘代泡沫材料(CD),留有30,50,90 μm 等不同尺度的氣孔,內(nèi)部充入氚氣(HT),相當于已知混合量及不同尺度的非均衡混合形態(tài),通過氘氚中子產(chǎn)額和氘氘中子產(chǎn)額的比值綜合校驗混合形態(tài)對熱核反應(yīng)速率影響的建模和程序[9,10].

對于氘氘聚變,由于實驗上CD 的質(zhì)量份額很大,約95%,由HT 的占體效應(yīng)導致氘氘聚變性能的增量很小,可以按照均勻混合處理,即在熱力學狀態(tài)固定條件下氘氘中子產(chǎn)額可表示為

其中τfusion為聚變時間.

對于氘氚聚變,由于氘氚處于不同組分中,混合形態(tài)對聚變速率影響很大,修正因子從完全分離狀態(tài)的取值0 到均勻混合下的最大值1.氘氚中子產(chǎn)額可表示為

考慮到氘氚比的平均值是固定的,則CD/HT在溫度平衡條件下氘氚中子與氘氘中子的比值為

在聚變過程中,氘、氚混合的非均勻程度發(fā)展主要由內(nèi)部HT+外部包裹CD 層的小球系統(tǒng)在HT/CD 界面處的互擴散過程主導.圖13(a)是依據(jù)本文的理論給出的初始不同尺度的氣孔(對應(yīng)聚變開始時的不同rHT)在相應(yīng)的溫度、密度條件下,由擴散過程主導的混合形態(tài)對聚變性能的影響量隨聚變時間的變化,其中溫度、密度狀態(tài)取自文獻[10]中的計算結(jié)果,擴散系數(shù)依據(jù)相應(yīng)的狀態(tài)由蒙卡方法計算得到.可以看到,對于初始30 μm 氣孔的靶丸,相應(yīng)的聚變時間下,非均勻混合導致的聚變性能下降量約7%,基本可以看作均勻混合,初始50 和90 μm 氣孔的靶丸,非均勻混合導致聚變性能的下降量分別為25%和50%.圖13(b)定量比較了本文的理論評估結(jié)果和Haines 等[10]給出的HT/CD 之間溫度平衡下的三維數(shù)值模擬結(jié)果由文獻中的數(shù)據(jù)及(16)式計算給出).可以看到,本文的理論和Haines 等[10]數(shù)值模擬給出的初始氣孔尺寸的差異對聚變性能的影響趨勢基本是一致的,即隨著氣孔尺度的增大,非均勻混合對聚變性能的影響逐漸增大,定量上,我們評估的氣孔尺度的影響量較Haines 等的計算結(jié)果略大.可能的原因是,熱斑中的氣孔在內(nèi)爆過程中偏離球形幾何,導致HT/CD的表面積相對球幾何增大,從而加快了擴散混合過程,特別是對于較大尺寸的氣孔,修正因子處于變化較劇烈的區(qū)間,這一效應(yīng)可能更加明顯,從而導致非均勻混合的影響較球幾何的評估結(jié)果下降.對于和實驗結(jié)果的比較,由于實驗中發(fā)現(xiàn)HT/CD 之間存在溫度非平衡效應(yīng)[10],增加了新的影響聚變性能的物理因素,目前的理論工作還未涉及因而無法直接比較,后續(xù)將進一步開展相關(guān)研究.總體來看,Haines 等[10]給出的MARBLE Campaign 系列實驗典型三維數(shù)值模擬結(jié)果基本驗證了我們關(guān)于非均勻混合對聚變性能影響的物理認識.

圖13 初始不同氣孔尺度靶丸聚變性能隨聚變時間的變化及與Haines 等[10]三維計算結(jié)果的比較Fig.13.Fusion performance of different initial pore size with the fusion time and comparison with three dimensional result simulated by Haines et al.[10].

4 結(jié) 論

近年來混合形態(tài)對聚變性能的影響逐漸成為ICF 研究的熱點領(lǐng)域.本文基于混入的殼層物質(zhì)和燃料相互擴散的物理圖像,通過解析分析及數(shù)值求解一維球幾何擴散方程,給出了擴散混合主導下非均勻混合形態(tài)及熱核反應(yīng)速率隨時間演化的物理模型.研制了基于蒙卡方法直接模擬擴散過程計算互擴散系數(shù)的方法,獲得的碳-氘、金-氘體系典型狀態(tài)下的互擴散系數(shù)與相關(guān)動理學理論的偏差在50%以內(nèi),擴散系數(shù)與聚變?nèi)剂蠞舛鹊囊蕾囮P(guān)系更接近Stanton 的理論[21].系統(tǒng)分析了影響熱核反應(yīng)速率隨時間演化的關(guān)鍵物理因素,研究發(fā)現(xiàn)混合量主要通過影響燃料的體積份額直接影響熱核反應(yīng)速率,由非均勻尺度和擴散系數(shù)共同決定的擴散時間直接影響熱核反應(yīng)速率的演化行為,而非均勻性尺度的不同概率分布對熱核反應(yīng)速率的影響相對較小.通過聚變時間和擴散時間的相對比較獲得了均勻原子混合和理想“顆?！被旌系奈锢砼袚?jù),對于典型ICF 熱斑狀態(tài),混入低Z、高Z元素時,聚變開始時的非均勻混合尺度分別在0.1 和0.01μm 量級及以下的非均勻混合對于聚變反應(yīng)速率來說可以當作均勻原子混合處理,聚變開始時的非均勻混合尺度分別在10 和1 μm 量級及以上的非均勻混合對于聚變反應(yīng)速率來說可以當作理想“顆?！被旌咸幚?處于中間的狀態(tài)需要應(yīng)用本文的理論定量評估非均勻混合對聚變性能的影響.在此基礎(chǔ)上對美國MARBLE Campaign 系列非均勻混合效應(yīng)實驗開展了理論評估,將混合形態(tài)對聚變性能的相對影響量與典型三維模擬結(jié)果進行了對比分析,驗證了本文關(guān)于非均勻混合對聚變性能影響理論評估方法的可靠性,對于我國將要開展的慣性約束聚變混合效應(yīng)實驗的設(shè)計改進具有重要參考意義.下一步將探索考慮電子間、電子與離子間相互作用的蒙卡模擬方法,從而可以直接模擬兩物質(zhì)的互擴散過程,直接統(tǒng)計熱核反應(yīng)速率的演化過程,對于混合物之間溫度非平衡的情況也具備了定量評估能力,結(jié)合非球形幾何下擴散過程對熱核反應(yīng)速率影響的評估,可以更深入地認識MARBLE Campaign系列實驗結(jié)果.