塊狀和超薄磁性材料中巨大且可調控的面內自旋角位移*

李乾陽 袁帥杰 楊錦 王勇 馬祖海 陳宇? 周新星?

1) (湖南師范大學物理與電子科學學院,量子效應及其應用協(xié)同創(chuàng)新中心,低維量子結構與調控教育部重點實驗室,長沙 410081)

2) (深圳大學微納光電子學研究院,二維材料光電科技國際合作聯(lián)合實驗室,深圳 510086)

磁光克爾效應是指處于磁場中的光束在磁體表面發(fā)生反射時,反射光的偏振面相對入射光發(fā)生旋轉的物理現(xiàn)象,它反映了磁化強度對磁性材料光學性質的影響.磁性介質的磁光克爾效應則由含磁光常數(shù)的介電張量表征,因此對磁光常數(shù)進行精確測量具有重要的科學意義.光子自旋霍爾效應表現(xiàn)為光束在折射率不同的介質界面上傳輸時由于自旋-軌道相互作用而產(chǎn)生的光子自旋分裂現(xiàn)象.過去大多數(shù)研究利用光子自旋霍爾效應的橫向空間位移來表征磁光常數(shù).然而,現(xiàn)有工作只考慮了單個磁場方向的磁光克爾效應,并且由于微小的自旋空間位移而需要引入復雜的弱測量技術.本文從理論上全面探究了3 種磁光克爾效應條件下的面內自旋角位移,發(fā)現(xiàn)通過改變磁場方向和磁性材料的厚度(考慮塊狀和超薄)可以實現(xiàn)對光子自旋霍爾效應的有效操縱.同時,該研究提出了一種直接測量磁光常數(shù)的新方法,即通過直接觀測巨大的面內自旋角位移來表征磁光常數(shù)的振幅與相位.該方法不需要引入弱測量系統(tǒng),不僅為磁光常數(shù)的測量提供了直接有效的探針,并且擴展了自旋光子學的相關研究.

1 引 言

近年來,磁性材料由于其獨特的光學和電磁特性,在磁存儲、自旋電子學和微電磁傳感器等諸多應用中表現(xiàn)出良好性能[1?4].隨著磁性材料應用多樣化的發(fā)展,對磁性測量技術的需求也在迅速增長.磁光克爾效應[5]正是磁性材料磁性測量的基礎之一,具體表現(xiàn)為線偏振光在磁性材料表面反射時偏振面發(fā)生旋轉,其旋轉角度常可以用來表征其磁場或磁性.磁光克爾效應因其靈敏度高、非接觸和原位測量等優(yōu)點而被廣泛使用[6?11].作為磁光克爾效應產(chǎn)生的重要物理原因,磁光常數(shù)的準確測量和表征具有重要的科學意義和應用價值.

最近,有學者提出光子自旋霍爾效應可應用于磁性材料的研究[12?18].通過測量光子自旋霍爾效應的橫向空間位移代替磁光克爾旋轉角來表征磁光常數(shù)的大小[19?21],并通過測量克爾旋轉角[20]的方法驗證了該方法的合理性和可行性.其中,光子自旋霍爾效應是指線偏振光在兩種不同折射率的介質表面上反射與折射時,左旋和右旋圓偏振光發(fā)生相對于原點的自旋相關分裂的物理現(xiàn)象[22],其物理機制取決于光子自旋-軌道相互作用[23?26].眾多研究[27?30]表明其引起的自旋分裂與介質的參數(shù)以及入射光的偏振態(tài)都直接相關.此外,光子自旋霍爾效應在納米光子器件[31]、光學傳感[32,33]、精密計量[34,35]、量子信息處理[23]和等離子體[36]等領域具有潛在的應用.由于光子自旋霍爾效應對介質物理參數(shù)的變化具有非常敏感的特性和其自旋可操縱性,也常被應用于不同材料領域的研究(包括晶體材料[37,38]、拓撲絕緣體[39,40]和石墨烯[41?43])和介質物理參數(shù)的精確測量(例如確定金屬納米薄膜的厚度[44],檢測石墨烯的層數(shù)[45]和費米能級[46],以及測量原子級薄晶體光導率[47]).利用光子自旋霍爾效應對于材料的物理參數(shù)極為敏感的特性,而磁性材料中磁光常數(shù)正是磁光克爾效應產(chǎn)生的重要物理原因,正好可以將兩者相結合作為研究基礎.盡管過去光子自旋霍爾效已被用于測量磁性材料的磁光常數(shù),但存在一定的局限性[19?21]: 1)大部分工作只考慮單一磁場方向的磁光克爾效應,且只考慮單個模型厚度的磁性材料(超薄或塊狀),因此在研究磁性材料的磁光常數(shù)時并不具備一般性;2)需要結合復雜的弱測量技術,無法實現(xiàn)自旋位移的直接觀測.

基于上述問題,本文建立了不同厚度(塊狀和超薄)磁性材料的光束傳播模型,同時研究了3 種磁光克爾效應(極向、縱向和橫向)下光子自旋霍爾效應的面內自旋角位移.在這些情況下產(chǎn)生的角位移隨著傳播距離的增大而增大,并且表現(xiàn)出非常大的位移值,這有利于直接觀測.研究發(fā)現(xiàn)當受磁場影響的磁光常數(shù)發(fā)生變化時,不同磁光克爾效應情況下,面內角位移會對應產(chǎn)生不同的變化趨勢.因此,建立了位移與磁光常數(shù)的定量關系,通過測量平面內角位移的大小來檢測磁光常數(shù)的振幅和相位.此外,面內角位移對于磁光常數(shù)變化的敏感程度也不相同,需要對3 種磁光克爾效應和不同的磁性材料厚度進行綜合分析討論.與以往的研究相比,此文不僅考慮了3 種磁光克爾效應情況和不同厚度的磁性材料,還通過測量與橫向空間位移(納米量級)相比更大的面內角位移(毫米量級)來直接表征磁光常數(shù).這對于磁光常數(shù)的研究是綜合全面的,且平面內角位移可以直接被觀察,而不需要引入復雜的弱測量技術,這減少了一些不可避免的測量誤差.此外,光子的自旋積累也可以通過改變磁場來調節(jié),這為操縱光子自旋霍爾效應提供了新的自由度,也為檢測磁性材料的磁化強度提供了新的方法.最后,本研究擴展了光子自旋霍爾效應與磁光效應相結合的研究領域.

2 理論研究和方法

首先,分析磁光克爾效應產(chǎn)生的原因: 從宏觀上看,磁性材料被磁化后會導致其介電張量中出現(xiàn)不對稱的非對角元素,從而使其光學性質發(fā)生變化.因此,光和磁性材料之間的相互作用可以由下式帶有磁光常數(shù)的介電張量來表示[13,48]:

其中Q=i(εxy/εxx),Q表示為磁光常數(shù)[19,21],其表達式為Q=Q0exp(?iq),Q0為磁光常數(shù)的振幅,q為相位.mx,my,mz分別是磁化矢量M的方向余弦.該方程表明磁性材料的磁光常數(shù)與磁光克爾效應直接相關,過去的研究也證實了磁化強度對磁光常數(shù)有直接影響[20].

基于磁性材料(鐵)是否發(fā)生多重散射和材料厚度的影響,建立了塊狀鐵和超薄鐵的光束傳播模型,出于理論實驗考慮,需要將超薄鐵附加到較厚的玻璃表面.理論模型如圖1 所示.

圖1 中的磁化矢量M的方向決定了3 種不同的磁光克爾效應,包括極向克爾效應(磁場矢量垂直于磁性介質表面)、橫向克爾效應(磁場矢量垂直于入射光的入射面)和縱向克爾效應(磁場矢量平行于入射光的入射面).同時考慮到任意偏振光下左右旋分量產(chǎn)生非對稱角位移,故只提取了右旋圓偏振光作為研究對象.根據(jù)以往的研究,本文的模型沿用鐵作為磁性材料,其折射率為n=2.88+i3.05.由于磁性材料磁光常數(shù)不會隨著磁場強度的增大而無限增大,而是存在一個穩(wěn)定的飽和值,并且厚度在塊狀和超薄的情況下有所不同.對于塊狀鐵[13]和超薄鐵[18],其飽和磁光常數(shù)分別為Q=0.0215 exp[?i0.073] 和Q=0.0088 exp[?i0.1452] . 接下來,在已建立的光束傳播模型上推導帶有Q的角位移表達式.首先,分析入射光和反射光在傳播過程中的電場,入射光為有限角譜的高斯光束,其電場可表示為

圖1 磁性材料表面的光子自旋霍爾效應 (a),(b)高斯光束在塊狀鐵(空氣-鐵)和超薄鐵(空氣-鐵-玻璃)上的反射示意圖;(c),(d)右旋圓偏振分量(RCP)所產(chǎn)生的角位移 = 示意圖.塊狀鐵的厚度大于450 nm,超薄鐵厚度 d 滿足2π d|n1|λ ?1Fig.1.The photonic spin Hall effect on the surface of magnetic materials: (a),(b) Schematic diagram of Gaussian beam on bulk Fe(air-Fe) and ultrathin Fe (air-Fe-glass);(c),(d) schematic diagram of angular shifts = induced by right-handed circularly-polarized component (RCP).The thickness of bulk Fe is greater than 450 nm,which is considered an infinite thickness,and the thickness of ultrathin Fe satisfies 2 π d|n1|λ ?1 .

其中w0是束腰(w0=19.68 nm ),kix和kiy是入射光的面內和橫向波矢分量.當光束在界面反射時,磁場產(chǎn)生的磁光克爾效應會導致其偏振態(tài)發(fā)生變化.根據(jù),反射光束的電場表達式可以從傳輸模型中的反射矩陣MR和入射光束的電場中獲得.其線偏振光的偏振態(tài)通常用瓊斯矩陣 [ cosβ,sinβ]T來表示,其中β為光束偏振角.最后,反射光束[21,49]可以表示為

其中kry表示反射光的橫向波矢量,k表示真空波矢量,rpp,rps,rss,rsp為磁性材料的菲涅爾系數(shù)分量(以rps為例,表示為入射s 偏振光電場與反射p 偏振光電場之比).這些系數(shù)的表達式可以將反射光電場與磁光常數(shù)Q聯(lián)系起來.對于可以忽略多次反射的塊狀磁性材料,其菲涅爾系數(shù)可以表示為[50]

式中,n0和n1分別代表空氣和磁性介質的折射率,θi代表光的入射角,θ1代表折射角.另一方面,對于厚度滿足 2 πd|n1|λ ?1 的超薄磁性材料,必須考慮多次反射,此時菲涅爾系數(shù)可表示為[50]

其中n0,n1,ns和θ1,θ2分別表示空氣、超薄磁性材料和非磁性材料的折射率及折射角.同時,非零菲涅爾系數(shù)rps和rsp是產(chǎn)生磁光克爾效應的內在原因,這與磁光常數(shù)密切相關.由于光子自旋霍爾效應中的光束在自旋-軌道相互作用下會分裂為左旋和右旋圓偏振光,得到反射光的電場后,其反射的左旋和右旋圓偏振光束分別表示為

最后,為了獲得角位移計算的準確結果,需要考慮面內波矢量的影響,對其中菲涅爾系數(shù)需要進行泰勒展開.以入射波為s 偏振光,反射波為p 偏振光為例,即rps=rps(θi)+(?rps/?θi)(kix/k) .綜上所述,光子平面內的角位移與磁光常數(shù)的關系可由下式得到:

式中Z表示光束反射后的傳播距離(Z=250 nm),偏振算子σ=±1 分別表示為左旋圓偏振光(+)和右旋圓偏振光(–),和分別表示為平面內角位移和橫向角位移.通過磁光克爾效應和光子自旋霍爾效應之間的聯(lián)系,可以利用面內角位移來表征磁性材料的磁光常數(shù)及其變化.最后,將所有公式結合即可獲得平面內角位移的精確表達式:

式中,r1,r3,r5,r7和r2,r4,r6,r8分別對應于rpp,rps,rss,rsp的實數(shù)和虛數(shù),ρ,?分別為rpp對入射角偏導的實部和虛部,γ,δ分別為rps對入射角偏導的實部和虛部,∈,ξ分別是rss對入射角偏導的實部和虛部,ι,κ分別為rsp對入射角偏導的實部和虛部.從(15)式可以看出,角位移與偏振角β存在依賴關系.

3 結果分析

為了探索角位移較大且對磁光常數(shù)變化敏感的范圍,在磁光常數(shù)飽和的3 種磁光克爾效應情況下,用具有一定偏振角范圍內的偏振光探測了面內角位移的大小和變化情況.結果表明,特定的入射角和偏振角范圍內塊狀鐵和超薄鐵模型中顯示出的面內角位移值均非常巨大.從圖2 可以看出,Δbulk和Δultrathin在特定的入射角和偏振角下產(chǎn)生了非常大的角位移(高達1.2 mm).此外,入射角在一定變化范圍內會經(jīng)過類布儒斯特角(反射接近為零),在其附近會產(chǎn)生較大角位移并且伴隨符號的反轉,所以會出現(xiàn)角位移為零的現(xiàn)象.塊狀模型中的類布儒斯特角為 7 6.1?,超薄模型中的類布儒斯特角為 6 0.5?,其定義為菲涅爾系數(shù)rpp為零時的入射角.其中圖2(a)和(c)為極向克爾效應,圖2(b)和(d)為橫向克爾效應.可見,光子面內角位移在塊狀鐵和超薄鐵的磁光常數(shù)飽和的情況下表現(xiàn)相似.此外,縱向克爾效應的情況與上述兩種磁光克爾效應相似,因此本文并未給出具體結果.

分別研究磁光常數(shù)的振幅和相位對光子面內角位移的影響.為了探究面內角位移對磁光常數(shù)振幅變化的敏感程度,固定磁光常數(shù)的相位并改變振幅.由于塊狀鐵和超薄鐵的飽和磁化磁光常數(shù)不同,因此將塊狀鐵的振幅從 0 增大到飽和值 0.0215,超薄鐵從 0 增大到飽和值 0.0088,相位設定分別為0.073 和 0.1452 .在特定入射角下,通過改變一定范圍內的偏振角可以得到角位移與振幅的顯著變化關系,相較于圖2 來說更能呈現(xiàn)出角位移與偏振角的依賴關系.由圖3 可知,在偏振角為 2 4.2?附近塊狀鐵表面和在偏振角為 1.4?附近的超薄鐵表面的面內角位移都具有最顯著的變化.同時,塊狀鐵在極向克爾效應和橫向克爾效應下,面內角位移隨著振幅的增大而逐漸減小,并且在不同克爾效應下隨著振幅的增大具有不同的減小程度.而超薄鐵產(chǎn)生的光子面內角位移隨振幅的增大在極向克爾效應下變化最為明顯,且角位移隨振幅的增大而減小.由于磁光常數(shù)會從零增大至飽和狀態(tài),在此區(qū)間內角位移與磁光常數(shù)振幅呈現(xiàn)出反比關系,當磁光常數(shù)達到飽和時,角位移則會處于穩(wěn)定的狀態(tài).相反,在圖3(d)和(h)中,在橫向克爾效應下,超薄鐵產(chǎn)生的面內角位移不會隨著的振幅的增大而變化.其原因是在超薄鐵的光子自旋霍爾效應中,橫向克爾效應情況下的菲涅爾系數(shù)rps和rsp為零,且rpp和rss不包含磁光常數(shù)((9)和(11)式可知).而在縱向克爾效應的情況下,塊狀鐵和超薄鐵的面內角位移與極向克爾效應類似,但其對于振幅的敏感程度也不同.可以看出,在不同磁光克爾效應的情況下,面內角位移對于磁光常數(shù)振幅的增大具有不同的變化趨勢.

值得注意的是右旋偏振光的電場分布圖[見圖3(e)—(h)中的插圖],它直接展示了右旋圓偏振光在分裂后的自旋偏移.其中橫向(水平方向)移動表示為平面內旋轉角的移動,縱向(垂直方向)移動表示為橫向旋轉角的移動.圖2(e1)和2(f1) 分別為磁光常數(shù)振幅為 0 時,塊狀鐵在極向和橫向克爾效應下產(chǎn)生的單個圓偏振光分量的電場分布,其角偏移非常明顯(Δ=0.445 mm).圖2(e2)和(f2)則顯示了振幅增至飽和后(Q0=0.0215)的電場分布,其極向克爾效應下的面內角位移偏移減小至0.170 mm,其橫向克爾效應下的面內角位移減小至–0.368 mm,可知其方向發(fā)生逆轉.圖2(g1)和(h1)分別為磁光常數(shù)振幅為 0 時,超薄鐵在極向和橫向克爾效應下產(chǎn)生的單個圓偏振光分量的電場分布,其角偏移同樣非常明顯(Δ=0.317 mm).圖2(g2)和(h2)則顯示了振幅增至飽和(Q0=0.0088)后的電場分布,其極向克爾效應下的面內角位移減小至0.059 mm,而在橫向克爾效應下,無論振幅如何變化,電場分布都不會產(chǎn)生任何影響.因此,有了如此之大且變化明顯的電場分布,則更容易得到角位移與磁光常數(shù)振幅之間精確的定量關系.與之前微小的橫向自旋空間移研究相比,其左右旋轉圓偏振分量的電場分布疊加在一起,無法區(qū)分而必須使用弱測量技術.而基于上述單圓偏振光電場分布,本文所提出的方法可以直接提取單個圓偏振分量,并利用探測器進行直接觀測.

為了研究面內角位移對磁光常數(shù)相位的敏感程度,固定磁光常數(shù)的振幅并改變相位.塊狀鐵的振幅固定為 0.0215 ,相位從 0 增至飽和值 0.073 .超薄鐵的振幅固定為 0.0088 ,相位從 0 增大到 0.1452 .在圖4 中,塊狀鐵和超薄鐵的光子自旋霍爾效應的面內角位移對相位的敏感范圍與圖3 中不同磁光克爾效應情況的特定范圍相同.在不同的磁光克爾效應下,塊狀鐵和超薄鐵產(chǎn)生的面內角位移對于磁光常數(shù)相位的增大也是具有不同的變化趨勢.可以看出,面內角位移隨相位的增大而變化的趨勢與振幅相比有顯著差異,角位移隨相位的增大而增大,在一定范圍內位移的變化很小.這是因為磁光克爾效應中的磁化矢量(即外部磁場的影響)主要影響了材料磁光常數(shù)的振幅,而對相位的影響很小[19].根據(jù)圖3 和圖4 中的不同厚度的磁性材料和不同磁光克爾效應下的面內角位移隨振幅和相位相應變化的結果,可知: 由于外磁場的強弱主要影響磁光常數(shù)振幅的變化[19],因此振幅變化對面內角位移的影響也尤為明顯,而相位的變化對面內角位移的影響雖然不如振幅變化那么明顯,但也存在一定的關聯(lián).

圖4 面內角位移對磁光常數(shù)相位q (從0 增大到相應的飽和值)的敏感程度 (a)—(d)顯示了在極向和橫向克爾效應下塊狀鐵和超薄鐵的面內角位移變化;(e)—(h)描述了在對應于左圖的不同相位q 的角位移曲線Fig.4.Sensitivity of in-plane angular displacement on the magneto-optical constant phases q (increasing from 0 to the corresponding saturation value): (a)–(d) The variation of angular shifts of bulk Fe and ultrathin Fe under the Polar and Transverse Kerr effects;(e)–(h) the angular shift curves corresponding to their left panels at different phases q.

4 結 論

本文從理論上研究了3 種磁光克爾效應情況下塊狀鐵和超薄鐵中的光子自旋霍爾效應,并進一步討論了光子面內角位移與磁光常數(shù)振幅、相位之間定量關系.研究發(fā)現(xiàn),不同磁光常數(shù)下的面內角位移具有不同的變化趨勢,并且可以通過測量角位移來間接表征磁光常數(shù)的振幅和相位.進一步研究表明,角位移對3 種不同的磁光克爾效應有著不同程度的敏感性,可以根據(jù)面內角位移隨磁光常數(shù)的變化趨勢來判斷不同種類的磁光克爾效應.本文還首次揭示了在橫向克爾效應下超薄鐵的面內角位移不隨磁光常數(shù)(振幅和相位)的變化而變化的物理機制.此外,角位移對于振幅的變化相比相位更敏感,塊狀鐵中的角位移敏感程度比超薄鐵大.該發(fā)現(xiàn)提供了一種控制磁性材料中不對稱自旋光子堆疊的方法,從而可實現(xiàn)磁性材料中的光子自旋操縱,在設計基于光子自旋的納米光子學器件與精密測量方面具有重要的理論指導意義.