借助幾何直觀構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
——基于核心素養(yǎng)下的《乘法分配律》教學(xué)

李麗麗

（廣饒縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 山東東營(yíng) 257300）

一、知識(shí)內(nèi)容分析

教材呈現(xiàn)了分開(kāi)算和合起來(lái)算兩種不同的解題思路，列出結(jié)果相等的算式，讓學(xué)生經(jīng)歷“感知建模一類比歸納一驗(yàn)證模型—質(zhì)疑猜想一拓展認(rèn)識(shí)”的建模過(guò)程。要求學(xué)生的思維已經(jīng)開(kāi)始由具體形象思維向抽象思維過(guò)渡，具備了一定的自主探究、遷移運(yùn)用和推理能力。在探索加法運(yùn)算律及乘法交換律和結(jié)合律時(shí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”這樣的探究學(xué)習(xí)過(guò)程。因此，教學(xué)過(guò)程中要尊重學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究、歸納概括，自主總結(jié)出乘法分配律，建立模型[1]。

二、學(xué)科德育滲透點(diǎn)分析

2022版小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出，應(yīng)使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。史寧中教授概括出以下三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。這里可以將其歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型。那我們借《乘法分配律》一課來(lái)談一談如何在代數(shù)的教學(xué)中引入幾何模型支撐，讓抽象變得“看得見(jiàn)”。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圖，能具體生動(dòng)地理解問(wèn)題，符合學(xué)生的思維特點(diǎn)[2]。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。幾何直觀分為三個(gè)層次：感知、理解和洞察。受小學(xué)生思維特點(diǎn)的限制，本文主要涵蓋感知、理解兩個(gè)層次。

三、教學(xué)實(shí)施過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，初感規(guī)律

師：同學(xué)們，在老師的校園里有一個(gè)漂亮的小花園，我們一起去看看花園里有些什么花吧！

課件出示情境圖。

課件出示情境圖。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？

信息預(yù)設(shè)：芍藥每行12棵，有9行。牡丹每行8棵，有9行。

學(xué)生回答，教師適時(shí)評(píng)價(jià)。

問(wèn)：根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息誰(shuí)能提出數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生預(yù)設(shè)：芍藥和牡丹各有多少棵？芍藥和牡丹一共多少棵？芍藥比牡丹多多少棵？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，課件出示本節(jié)課要解決的問(wèn)題：芍藥和牡丹一共多少棵？

師：老師這里還有一部分關(guān)于芍藥園和牡丹園的信息。

課件出示：芍藥園長(zhǎng)15米，牡丹園長(zhǎng)10米，寬都是8米。

問(wèn)：根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息還能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，課件出示本節(jié)課要解決的另一個(gè)問(wèn)題：芍藥園和牡丹園的面積一共多少平方米？

學(xué)生獨(dú)立思考解決以上2個(gè)問(wèn)題，嘗試列出綜合算式。

交流匯報(bào)：學(xué)生投影展示做題情況，并結(jié)合情境圖，說(shuō)說(shuō)算式每一步的含義。

師：我們剛才用了兩種不同的方法解決了同一個(gè)問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果相等，所以可以用什么符號(hào)把這兩個(gè)算式連接起來(lái)？（等號(hào)）

師板書(shū)等式：（12+8）×9=12×9+8×9

銜接：我們?cè)賮?lái)看下一個(gè)問(wèn)題。

交流匯報(bào)：學(xué)生投影展示做題情況，并結(jié)合情境圖，說(shuō)說(shuō)算式每一步的含義。

師：同樣，這兩個(gè)算式之間也可以畫(huà)上？（等號(hào)）

師板書(shū)等式：（15+10）×8=15×8+10×8

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自主解決教師創(chuàng)設(shè)情境中的實(shí)際問(wèn)題，初步感知乘法分配律在生活中并不陌生，在解決問(wèn)題過(guò)程利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生對(duì)于分開(kāi)算和合著算的理解簡(jiǎn)單明了[3]。然后學(xué)生通過(guò)觀察、比較發(fā)現(xiàn)兩組算式具有共同特征。從而初步感悟模型?！?/p>

2.對(duì)比觀察，形成猜想，舉例驗(yàn)證

（12+8）×9=12×9+8×9

（15+10）×8=15×8+10×8

師：觀察這兩組算式等號(hào)左右兩邊的式子有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？再看每組算式的左右兩邊之間有怎樣的關(guān)系？這兩組算式左右兩邊相等是巧合呢？還是有規(guī)律呢？同學(xué)們想不想來(lái)驗(yàn)證？

課件出示：仿照黑板上兩組算式的樣子，再寫(xiě)出一組這樣的算式，然后計(jì)算你寫(xiě)的算式左右是不是相等？

學(xué)生上臺(tái)板書(shū)自己寫(xiě)的算式，并說(shuō)明自己的驗(yàn)證結(jié)果。教師借機(jī)向?qū)W生介紹一種巧妙的驗(yàn)證方法，即從乘法的意義角度來(lái)驗(yàn)證。

有沒(méi)有同學(xué)能舉出一個(gè)反例來(lái)推倒這個(gè)猜想呢（尋找反例和解釋反例）？

【設(shè)計(jì)意圖：在發(fā)現(xiàn)以上兩組算式的規(guī)律特征后，引導(dǎo)學(xué)生猜想是否具有這些特征的一組算式都相等？學(xué)生在嘗試舉例中，進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)結(jié)果都相等，從而進(jìn)一步幫助孩子進(jìn)行建模[4]。】

3.總結(jié)規(guī)律

看來(lái)這幾組算式不是一個(gè)巧合，具有一定的規(guī)律。這個(gè)規(guī)律就是今天我們所要學(xué)習(xí)的乘法分配律（引出課題：乘法分配律）。

問(wèn)：誰(shuí)能根據(jù)上面這幾組等式說(shuō)一說(shuō)什么是乘法分配律？

根據(jù)學(xué)生發(fā)言總結(jié)歸納乘法分配律。

問(wèn)：如果我們用a和b代表這兩個(gè)加數(shù)，用c代表一個(gè)數(shù)，那么乘法分配律用字母怎么表示呢？

生：（a+b）×c=a×c+b×c 師板書(shū)

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)之前學(xué)習(xí)交換律和結(jié)合律的經(jīng)驗(yàn)，自然而然就想到可以用字母來(lái)表示乘法分配律[5]?！?/p>

4.運(yùn)用規(guī)律

銜接：接下來(lái)，讓我們用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決2個(gè)問(wèn)題，有信心嗎？

（1）在方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（1）（100+2）×12=100×_______+2×___

（2）236×3+236×7=236×（_______+_______）

我們前面學(xué)習(xí)了乘法結(jié)合律和交換律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便，那么乘法分配律能否使計(jì)算簡(jiǎn)便呢？

比較第1題中的2組算式，看哪個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)便，為什么？

（2）計(jì)算 135×6+65×6 12×105

匯報(bào)交流并總結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖：在應(yīng)用中內(nèi)化規(guī)律，建立模型。這里設(shè)計(jì)的練習(xí)題既依據(jù)教材又高于教材，在第一題的基礎(chǔ)上滲透應(yīng)用分配律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便的意識(shí)，思考所學(xué)規(guī)律的價(jià)值，為之后簡(jiǎn)便計(jì)算的學(xué)習(xí)做鋪墊?！?/p>

5.總結(jié)反思

問(wèn)：這節(jié)課你有哪些收獲？

師小結(jié)：這節(jié)課我們通過(guò)觀察猜測(cè)，舉例驗(yàn)證，歸納總結(jié)，最后應(yīng)用規(guī)律來(lái)認(rèn)識(shí)了乘法分配律。我們可以運(yùn)用這種方法來(lái)探究更多的新知識(shí)，希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中多觀察、多思考，做一個(gè)勇于探索、敢于挑戰(zhàn)的好孩子！

【設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)回顧不僅回顧這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，還要回顧學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程，即對(duì)建模過(guò)程的梳理，幫助學(xué)生形成整體的思維。】

四、教學(xué)總評(píng)

1.幾何直觀匹配問(wèn)題情境

在本節(jié)課中雖然是通過(guò)觀察算式來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但是在算式形成的過(guò)程中為孩子們提供直觀、形象的現(xiàn)實(shí)情境圖，讓孩子在理解算式所表示的實(shí)際意義的基礎(chǔ)上，來(lái)更好地比較所謂分開(kāi)算和合起來(lái)算其實(shí)本質(zhì)相同。問(wèn)題情境通過(guò)幾何直觀的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在形中提升對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，從而為建立模型打好基礎(chǔ)。

2.經(jīng)歷建模的過(guò)程

大部分同學(xué)通過(guò)計(jì)算很容易得出分開(kāi)算和合著算結(jié)果相等，從而把兩邊用等號(hào)連接，但是很少有學(xué)生能想到運(yùn)用乘法的意義來(lái)解釋為什么相等，這也反映出在之前的學(xué)習(xí)中我們更加關(guān)注的是學(xué)習(xí)的結(jié)果而不是過(guò)程。這就需要教師在之后的教學(xué)中充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，促進(jìn)學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率。

3.發(fā)展模型意識(shí)的層次呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)從模仿開(kāi)始，學(xué)生在解決“牡丹和芍藥一共有多少棵”和牡丹園和芍藥園面積的過(guò)程中，初步感知了乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征，接下來(lái)，學(xué)生在老師引導(dǎo)下觀察、比較這兩組算式，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這些算式的特點(diǎn)，使乘法分配律的表象躍然于黑板上，同時(shí)也清晰地投射在學(xué)生的頭腦中。在之后的仿寫(xiě)舉例時(shí)，學(xué)生舉出很多例子來(lái)驗(yàn)證是否符合乘法分配律，學(xué)生經(jīng)歷完有層次的探究過(guò)程后，總結(jié)出乘法分配律也就是順理成章的事情，從而在內(nèi)化運(yùn)算規(guī)律的同時(shí)還發(fā)展了模型意識(shí)。