依美構(gòu)造數(shù)列，提升運(yùn)算素養(yǎng)

俞文銳

(福建省福清華僑中學(xué) 350300)

求數(shù)列通項(xiàng)的方法有直接利用等差、等比公式求通項(xiàng)，用累加法、累乘法、待定系數(shù)法求通項(xiàng)，構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，還有利用遞推公式求通項(xiàng).面對如此多的題型和方法，學(xué)生顯得無所適從.美無處不在，那么我們能否運(yùn)用數(shù)學(xué)美將復(fù)雜數(shù)列進(jìn)行變形，從而構(gòu)造出特殊數(shù)列予以求解呢？下面以近年高考試題為例，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美問題情境，以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

1 明晰運(yùn)算對象，確定運(yùn)算起點(diǎn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).[1]7數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平一指出：能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對象，提出運(yùn)算問題.[1]105由此可知明晰運(yùn)算對象是展開數(shù)學(xué)運(yùn)算的先決條件，教師要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的問題情境中，從不同角度進(jìn)行觀察，選擇不同的運(yùn)算對象，確定運(yùn)算起點(diǎn).

例1(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)文科第13題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

分析本題可以利用基本量方法進(jìn)行求解，即將已知條件轉(zhuǎn)化為d的方程.由2S3=3S2+6,得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,解得d=2.

教學(xué)不應(yīng)該停留于解題本身，要充分挖掘高考試題的教學(xué)價(jià)值，為此可做如下設(shè)計(jì)：

問題1 能否從題設(shè)Sn的表達(dá)式中提取出其他的信息？

問題2 能否根據(jù)統(tǒng)一美構(gòu)造出與Sn有關(guān)的新數(shù)列？

問題3 能否利用新數(shù)列的信息求d？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系中抽象出運(yùn)算對象，即關(guān)注Sn，發(fā)現(xiàn)S3與S2的系數(shù)分別為2和3，下標(biāo)與系數(shù)對換，給人一種不統(tǒng)一的感覺.

在上述的活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了從數(shù)量關(guān)系中抽象出運(yùn)算對象、從數(shù)學(xué)美的角度構(gòu)造運(yùn)算對象、根據(jù)運(yùn)算對象確定運(yùn)算起點(diǎn)的認(rèn)知過程，從中使得數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)獲得提升.

2 探索運(yùn)算思路，把握知識(shí)本質(zhì)

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平一要求：能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問題的特征形成合適的運(yùn)算思路，解決問題.[1]105數(shù)學(xué)運(yùn)算不是盲目的，往往需要學(xué)生觀察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，展開豐富的聯(lián)想，通過合理的構(gòu)造，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，獲得合適的運(yùn)算思路.

分析本題已知條件中Sn與an糾纏，要研究an必須消去一個(gè)變量，為此可做如下設(shè)計(jì)：

問題1 能否根據(jù)簡潔美對已知條件進(jìn)行化簡并獲得Sn的表達(dá)式？

問題2 能否根據(jù)對稱美對化簡的結(jié)果進(jìn)行變形？

問題3 能否構(gòu)造出新數(shù)列，并利用新數(shù)列對原問題進(jìn)行求解？

3 選擇運(yùn)算方法，完善學(xué)生認(rèn)知

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心是思維，解題中應(yīng)強(qiáng)化對運(yùn)算思路和方法的分析，使學(xué)生逐步理解運(yùn)算是一種邏輯推理，在面對與學(xué)過的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，能夠通過對其條件與結(jié)論的分析，探索運(yùn)算的思路，選擇合適的運(yùn)算方法，體會(huì)程序思想的意義和作用.

本題的問題情境對學(xué)生而言不熟悉，基于高考考查目標(biāo)要求，結(jié)合必備知識(shí)和關(guān)鍵能力設(shè)計(jì)如下問題：

問題1 能否根據(jù)等差數(shù)列的定義獲得Sn與an的關(guān)系式？

問題2 能否將關(guān)系式中的Sn轉(zhuǎn)化為an？

問題3 能否構(gòu)造出與an有關(guān)的新數(shù)列？

在上述的活動(dòng)中，學(xué)生對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，能夠通過結(jié)構(gòu)與變量的和諧統(tǒng)一美，對式子進(jìn)行變形構(gòu)造，得到完美統(tǒng)一的關(guān)系式，從而得到常數(shù)列.該活動(dòng)讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)美的威力，促進(jìn)學(xué)生將新知識(shí)同化到已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步的發(fā)展.

4 變換運(yùn)算背景，累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的提升不能僅僅滿足于熟悉情境下的模仿與記憶，為了提高學(xué)生在綜合情境中把問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題的能力，教師需要不斷變換運(yùn)算背景，提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

例4(2021八省聯(lián)考第17題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

分析 (1)略；

(2)由(1)得an+an+1=2·3n-1，根據(jù)求通項(xiàng)公式的經(jīng)驗(yàn)，移項(xiàng)得an+1=-an+2·3n-1，此時(shí)發(fā)現(xiàn)an+1，an的系數(shù)不含n，還能通過適當(dāng)?shù)淖冃位蓪ΨQ統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)嗎？

在上述的活動(dòng)中，學(xué)生從綜合的運(yùn)算背景中，能夠通過構(gòu)建過渡性的命題，探索論證的途徑，解決問題，并會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)論證過程，感悟數(shù)學(xué)之美，積累依美構(gòu)造數(shù)列的經(jīng)驗(yàn).

5 結(jié)語

依美理解運(yùn)算對象，依美探究運(yùn)算思路，依美選擇運(yùn)算方法，依美求得運(yùn)算結(jié)果，學(xué)生在教師設(shè)置的問題情境中，感受到數(shù)列通項(xiàng)求解過程中結(jié)構(gòu)變量的對稱美、統(tǒng)一美，自覺地用美來解決遞推數(shù)列問題，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在遞推數(shù)列問題中的知行合一，同時(shí)累積了求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)用美的眼光看問題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).