考慮最小尺寸精確控制的SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化方法1)

廉睿超 敬石開(kāi) 李營(yíng) 肖登寶 陳陽(yáng)

*(北京理工大學(xué)先進(jìn)結(jié)構(gòu)技術(shù)研究院,北京 100081)

?(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院,北京 100081)

引言

拓?fù)鋬?yōu)化是一種新型的設(shè)計(jì)方法,它根據(jù)給定的負(fù)載情況、約束條件和性能指標(biāo),以一定的方式尋找設(shè)計(jì)域內(nèi)材料的最優(yōu)分布,可生成滿足特定性能需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)構(gòu)型[1].與傳統(tǒng)產(chǎn)品設(shè)計(jì)相比,拓?fù)鋬?yōu)化可以突破設(shè)計(jì)者的思維定式,構(gòu)建出更新穎、更具競(jìng)爭(zhēng)力的創(chuàng)新產(chǎn)品.1988 年Bends?e等[2]提出以均勻化理論為基礎(chǔ)的拓?fù)鋬?yōu)化法,經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展和完善,此法已逐漸成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段的一個(gè)重要方法,被廣泛應(yīng)用到許多工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[3-8].當(dāng)前主流的拓?fù)鋬?yōu)化方法有:固體各向同性材料懲罰法(solid isotropic material with penalization,SIMP)[9-10]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法(evolutionary structure optimization,ESO)[11-13]、水平集方法(level-set)[14-15]和移動(dòng)變形組件法(moving morphable component,MMC)[16-17].

拓?fù)鋬?yōu)化已經(jīng)被拓展到了許多領(lǐng)域,并取得了顯著成果,但其理論設(shè)計(jì)的最小結(jié)構(gòu)與可制造的最小尺寸限制之間的差距,仍然是拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際工程中的重大阻礙.若結(jié)構(gòu)中存在橫截面積過(guò)小的部件時(shí),即使受較小的壓力也容易產(chǎn)生彎曲,同時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果中出現(xiàn)的孔洞或邊界裂縫和細(xì)小鉸鏈,可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)制造過(guò)程中意外斷裂[18].在拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)階段考慮結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制可有效避免上述問(wèn)題.一些學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了相關(guān)研究.

基于SIMP 的結(jié)構(gòu)最小尺寸控制.SIMP 法創(chuàng)造性的將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椴牧系淖顑?yōu)分布問(wèn)題,極大簡(jiǎn)化了問(wèn)題求解的復(fù)雜性,因其具有較高的計(jì)算效率和穩(wěn)定性,已成為當(dāng)前發(fā)展相對(duì)成熟且應(yīng)用最廣的技術(shù).Sigmund[19]提出一種敏度過(guò)濾技術(shù)消除優(yōu)化中的網(wǎng)格依賴和棋盤格,并發(fā)現(xiàn)過(guò)濾半徑具有控制結(jié)構(gòu)最小尺寸的能力;隨后,他們?cè)谠摲椒ǖ幕A(chǔ)上,通過(guò)引入改進(jìn)的Heaviside 過(guò)濾器和基于圖像形態(tài)學(xué)過(guò)濾器,實(shí)現(xiàn)了材料相和空相的最小尺寸控制[20-21];Petersson等[22]提出拓?fù)鋬?yōu)化梯度約束法,通過(guò)考慮密度梯度上的逐點(diǎn)邊界,在保證有解的同時(shí)也可隱式的控制結(jié)構(gòu)最小尺寸;Polusen[23]提出基于單調(diào)性的最小尺寸方法,應(yīng)用小波基函數(shù)對(duì)材料設(shè)計(jì)變量進(jìn)行插值,實(shí)現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化中的結(jié)構(gòu)最小尺寸控制;Guest等[24]提出Heaviside 投影法,以節(jié)點(diǎn)密度值作為設(shè)計(jì)變量,利用投影算子將密度場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)值投影到單元空間,通過(guò)確定用于剛度插值的單元密度控制結(jié)構(gòu)最小尺寸;Zhou等[25]提出幾何約束的最小尺寸控制方法,結(jié)合過(guò)濾閾值拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù),通過(guò)識(shí)別固相和空相材料實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)最小尺寸控制.上述研究基于SIMP 實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制,但優(yōu)化結(jié)果邊界模糊不光滑,同時(shí)采用隱式的表達(dá)方式來(lái)描述拓?fù)錁?gòu)型,即結(jié)構(gòu)不包含幾何信息,難以進(jìn)行精確的結(jié)構(gòu)邊界提取和最小尺寸控制,采用后處理工藝不僅增加了工作量和人為干預(yù)因素,而且會(huì)影響最終優(yōu)化的結(jié)構(gòu)性能[26-28].

基于MMC 的結(jié)構(gòu)最小尺寸控制.在MMC 中,采用顯式幾何特征信息描述的組件作為結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)構(gòu)件,通過(guò)它們的移動(dòng)、變形和重疊實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化.MMC 的參數(shù)化顯式表達(dá)為拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與CAD的直接銜接提供了天然橋梁.Zhang等[18]基于MMC 框架采用不規(guī)則四邊形結(jié)構(gòu)組件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化(trapezoid-shaped structural components,TsSC),通過(guò)對(duì)組件相交區(qū)域約束實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制;Wang等[29]采用基于骨架的有效連接技術(shù)(effective connection status,ECS),利用組件本身的設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)最小尺寸控制.基于MMC 的最小尺寸控制,在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述和可制造邊界信息獲取上具有一定優(yōu)勢(shì),但其優(yōu)化結(jié)果存在裂縫或不完全連接問(wèn)題,且對(duì)初始組件布局具有較強(qiáng)的依賴性.

為了避免SIMP 優(yōu)化結(jié)果邊界模糊不光滑和MMC 對(duì)初始組件布局的強(qiáng)烈依賴,Sun等[30]通過(guò)設(shè)定SIMP 優(yōu)化中的敏度閾值和組件影響區(qū)域來(lái)控制插入組件數(shù)量和位置,在SIMP 基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了組件的自適應(yīng)分布;范慧茹[31]和Zhang等[32-33]基于SIMP 優(yōu)化結(jié)果,采用閾值處理技術(shù)得到0和1 表示的拓?fù)錁?gòu)型,利用圖像處理技術(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)骨架特征點(diǎn)和內(nèi)切圓等幾何特征,并擬合為MMC 的初始組件布局,實(shí)現(xiàn)了SIMP-MMC 混合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,得到了尺寸精確表達(dá)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).采用SIMP和MMC混合的方法可以解決結(jié)構(gòu)邊界模糊不光滑和組件初始布局依賴問(wèn)題,但上述方法中合適閾值的選擇需要反復(fù)試驗(yàn),尤其對(duì)包含有非常薄構(gòu)型的復(fù)雜結(jié)構(gòu),易出現(xiàn)斷裂和難以制造的最小尺寸問(wèn)題,且因組件變形受限和結(jié)構(gòu)的不完全連接,很難實(shí)現(xiàn)具有整體結(jié)構(gòu)邊界光滑的最小尺寸精確控制.因此,充分結(jié)合SIMP和MMC 二者優(yōu)勢(shì),避免各自缺點(diǎn),在不依賴初始布局的情況下獲得整體結(jié)構(gòu)邊界清晰平滑的優(yōu)化結(jié)果,并實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)最小尺寸的精確控制具有重要的研究意義.

基于上述原因,本文提出一種考慮最小尺寸精確控制的SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化方法.采用活躍輪廓算法自動(dòng)識(shí)別SIMP 拓?fù)錁?gòu)型的輪廓數(shù)據(jù),構(gòu)建組件的幾何參數(shù)矩陣,實(shí)現(xiàn)SIMP 隱式結(jié)果到MMC 顯式表達(dá)組件初始布局的自動(dòng)映射;通過(guò)構(gòu)建具有半圓形末端的多變形組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù),進(jìn)一步提升優(yōu)化方法構(gòu)建幾何模型的能力和整體結(jié)構(gòu)邊界的光滑性,并結(jié)合組件變量約束,實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的最小尺寸精確控制.

1 SIMP和MMC 數(shù)值模型

在SIMP 中,設(shè)計(jì)域被離散為一定數(shù)量的有限單元網(wǎng)格,并將密度作為設(shè)計(jì)變量賦予每個(gè)單元,利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法或基于優(yōu)化準(zhǔn)則法決定單元密度 的有無(wú),1 表示有材料,0表示無(wú)材料,如圖1(a) 所示.采用材料插值模型Ei=Emin+(E0-Emin) 解決離散優(yōu)化問(wèn)題,Ei為第i個(gè)單元插值后的彈性模量;E0和Emin分別為固體和空洞部分材料彈性模量; ρi為第i個(gè)單元的相對(duì)密度,ρi∈[0,1];p為懲罰因子,一般建議取3[34].

圖1 SIMP和MMC 拓?fù)鋬?yōu)化示意圖Fig.1 Schematic of SIMP and MMC

在MMC 中,結(jié)構(gòu)采用拓?fù)涿枋龊瘮?shù)(TDF,φ(x))表達(dá)

式中,x為設(shè)計(jì)域內(nèi)的點(diǎn),Ω ?R為實(shí)體材料組件所占據(jù)的區(qū)域,R為整個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)域.當(dāng)設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)包含N個(gè)組件時(shí),實(shí)體材料結(jié)構(gòu)區(qū)域 Ω 內(nèi)組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)可表示為φ(x)=max(φ1(x),···,φi(x),···,φN(x)),i=1,2,···,N表示組件的編號(hào),第i個(gè)組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)可被表示為

2 SIMP和MMC 的混合拓?fù)鋬?yōu)化方法

相比隱式表達(dá)的SIMP,MMC 可以通過(guò)組件的顯式參數(shù)控制結(jié)構(gòu)的最小尺寸,但二者結(jié)果均會(huì)出現(xiàn)不完全連接和細(xì)小鉸鏈現(xiàn)象,如圖1 所示,難以通過(guò)簡(jiǎn)單變量設(shè)置實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中最小尺寸的精確控制.為了解決該問(wèn)題,在這一部分,將通過(guò)懸臂梁模型介紹提出的SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)過(guò)程.圖2為懸臂梁示意圖和SIMP 優(yōu)化輸出結(jié)果.混合拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)現(xiàn)主要包括2 個(gè)部分:(1) 如何從SIMP 優(yōu)化輸出結(jié)果中獲得組件的幾何信息;(2) 如何實(shí)現(xiàn)SIMP 結(jié)構(gòu)幾何信息到MMC 組件布局的映射.

圖2 懸臂梁示意圖及SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.2 Schematic of the cantilever beam and the topology optimization result of SIMP

2.1 SIMP 優(yōu)化結(jié)構(gòu)的組件幾何信息獲取

以單元密度表示的SIMP 優(yōu)化結(jié)果通常不含幾何信息,難以對(duì)其進(jìn)行精確尺寸控制和制造,采用圖像識(shí)別技術(shù)[26]、圖形插值技術(shù)[35]、密度等值線技術(shù)[36]可以獲得結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型,但這些方法通常需要較多人為干預(yù),如密度等值線技術(shù),在獲取合適的密度閾值之前需多次反復(fù)修改模型和試驗(yàn),且對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)易出現(xiàn)斷裂和非常薄的桿件問(wèn)題,影響最終拓?fù)錁?gòu)型的最優(yōu)性能[37].為此,在該節(jié)中,采用活躍輪廓算法(active contour without edges,ACWE)[38]對(duì)SIMP 優(yōu)化輸出結(jié)果的幾何信息進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別與提取.

ACWE 的基本思想是依據(jù)給定圖形的約束,利用活躍輪廓模型通過(guò)曲線的變化識(shí)別目標(biāo)對(duì)象.設(shè)在識(shí)別域 Ω 內(nèi)任一變化曲線為 ξ,ω為 Ω 內(nèi)邊界開(kāi)放的一個(gè)子集,則活躍輪廓模型可以被表示為[38]

采用水平集描述曲線變化進(jìn)行求解,則活躍輪廓模型可以被重構(gòu)為

通過(guò)式(8) 求解φn+1并判斷其是否滿足收斂,若滿足收斂,則可得到目標(biāo)圖像的邊界輪廓數(shù)據(jù).

圖3 展示了采用上述算法對(duì)SIMP 優(yōu)化結(jié)果邊界幾何信息獲取過(guò)程.為了從得到的結(jié)構(gòu)邊界數(shù)據(jù)中提取對(duì)應(yīng)組件的邊線,根據(jù)得到的每個(gè)具有相同起點(diǎn)和終點(diǎn)的閉合環(huán),按照順時(shí)針?lè)较驈纳系较掠蓛?nèi)及外進(jìn)行編號(hào).從任意環(huán)Ci的起點(diǎn)(xsi,ysi) 開(kāi)始,計(jì)算它與緊鄰的5 個(gè)點(diǎn)之間形成線段的斜率k,比較點(diǎn)間線段的斜率差與給定閾值 δ之間的關(guān)系,若小于設(shè)定閾值 δ則判定它們?cè)谝粭l直線上,并從第4 個(gè)點(diǎn)開(kāi)始依次計(jì)算隨后的5 個(gè)點(diǎn),直到斜率差的變化大于設(shè)定的閾值 δ,則認(rèn)為在同一環(huán)中位于該條直線上的點(diǎn)已經(jīng)結(jié)束,將第一點(diǎn)(xsi,ysi)和最后一點(diǎn)(xei,yei)作為直線的兩個(gè)端點(diǎn),確定一條直線.依次對(duì)后續(xù)的點(diǎn)進(jìn)行斜率與閾值之間的比較,確定結(jié)構(gòu)中所有的直線,并將其以順時(shí)針?lè)较虬喘h(huán)的存儲(chǔ)方式進(jìn)行編號(hào).基于得到的直線,從內(nèi)部環(huán)的直線開(kāi)始循環(huán),計(jì)算當(dāng)前環(huán)中一條直線lli與其他環(huán)中每條直線loj的斜率差Δk的絕對(duì)值和中點(diǎn)間距dij,將具有最小斜率差的絕對(duì)值和滿足中點(diǎn)距離約束值dt的兩條直線被視為一個(gè)組件的邊界,確定結(jié)構(gòu)中組件的平行邊,如圖4 所示.

圖3 ACWE 邊界識(shí)別Fig.3 Boundaries identification by using the ACWE

圖4 邊界直線及平行線識(shí)別Fig.4 Identification of straight lines and parallel lines

當(dāng)每個(gè)組件的邊被確定后,設(shè)χ1i和χ2i為任意組件中的兩條直線,(x11i,y11i),(x12i,y12i)和(x21i,y21i),(x22i,y22i) 分別為χ1i和χ2i的兩個(gè)端點(diǎn),通過(guò)兩點(diǎn)間的中點(diǎn)公式可以計(jì)算出兩條直線兩端連線的中點(diǎn)坐標(biāo).連接兩個(gè)平行線端點(diǎn)連線的中點(diǎn)便可計(jì)算出第i個(gè)組件的中心線所在位置.然后,將中心線延長(zhǎng)可以得到它們的交點(diǎn),若出現(xiàn)多個(gè)交點(diǎn),將它們的重心作為共同交點(diǎn),通過(guò)連接各交點(diǎn)便可得到組件的中心線.最后,通過(guò)中點(diǎn)計(jì)算公式、兩點(diǎn)間的距離公式di和斜率計(jì)算公式ki,得到每個(gè)組件的中心坐標(biāo)(x0i,y0i)、1/2 長(zhǎng)度li和1/2 厚度di、傾斜角度 θi,如圖5 所示.

圖5 獲取組件幾何信息Fig.5 Obtaining the components geometry information

2.2 組件幾何信息映射為MMC 布局

在MMC 中每個(gè)組件包含長(zhǎng)度、寬度、中心坐標(biāo)、傾斜角度等幾何參數(shù),其中組件的厚度由3 個(gè)變量控制,需分別計(jì)算組件中心線兩端點(diǎn)和中心點(diǎn)到對(duì)應(yīng)邊界的距離d1i,d2i和d3i.組件的幾何信息可以通過(guò)式(10)、式(11)和式(12) 計(jì)算求得

式中,直線的斜率ki=(yi+1-yi)/(xi+1-xi).

將計(jì)算得到的組件中心坐標(biāo)(x0i,y0i)、1/2 長(zhǎng)度li,1/2 厚度di以及傾斜角度的正弦值 s inθi組裝成一個(gè)參數(shù)矩陣C=[c1,c2,···,ci],ci=[x0i,y0i,li,d1i,d2i,d3i,s inθi],i=1,2,···,n,式中n為組件的總數(shù).在SIMP 優(yōu)化中獲得相應(yīng)的結(jié)構(gòu)剛度矩陣K和參數(shù)矩陣C=[c1,c2,···,ci]時(shí),MMC 將直接調(diào)用,形成包含SIMP 輸出數(shù)據(jù)的MMC 組件自動(dòng)布局.

圖6為懸臂梁SIMP 優(yōu)化結(jié)果映射到MMC 的組件布局.為了驗(yàn)證所提算法的有效性和可行性,同時(shí)采用了具有更為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的MBB 梁進(jìn)行分析,得到的組件布局結(jié)果如圖7 所示.由圖6和圖7 可知,該算法可以有效的從SIMP 隱式優(yōu)化結(jié)果自動(dòng)映射為MMC 中包含精確幾何信息且邊界清晰光滑的顯式表達(dá).但如圖6(b)和圖7(c) 所示,經(jīng)映射后的結(jié)構(gòu)邊界因組件的不完全連接產(chǎn)生了裂縫,無(wú)法簡(jiǎn)單的利用組件厚度變量對(duì)結(jié)構(gòu)的最小尺寸進(jìn)行控制.如何實(shí)現(xiàn)混合拓?fù)鋬?yōu)化中最小尺寸的精確控制將在下一小節(jié)展開(kāi)討論.

圖6 懸臂梁組件映射結(jié)果Fig.6 Components mapping results for a cantilever beam

圖7 MBB 梁混合拓?fù)鋬?yōu)化組件映射過(guò)程Fig.7 Components mapping process of MBB beam with hybrid topology optimization

2.3 優(yōu)化算法流程

本文提出的算法流程如圖8 所示.在早期迭代中,采用SIMP 對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行優(yōu)化.在該過(guò)程中,過(guò)早的對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何信息提取,將可能會(huì)生成較多細(xì)枝結(jié)構(gòu),影響MMC 組件的初始布局.為此,在SIMP 優(yōu)化過(guò)程中,當(dāng)獲得相對(duì)穩(wěn)定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)后,再輸出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K和結(jié)構(gòu)構(gòu)型.利用ACWE 算法提取結(jié)構(gòu)構(gòu)型的幾何信息,并構(gòu)建組件參數(shù)矩陣C.然后,將輸出的矩陣K和矩陣C作為MMC 優(yōu)化迭代的初始輸入?yún)?shù),確定構(gòu)成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中組件數(shù)量和布局,結(jié)合設(shè)定的結(jié)構(gòu)制造約束,對(duì)組件設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新.當(dāng)滿足收斂條件后,優(yōu)化終止,輸出最終的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型.

圖8 混合拓?fù)鋬?yōu)化流程圖Fig.8 Flowchart of the hybrid topology optimization

3 混合拓?fù)鋬?yōu)化的最小尺寸精確控制

經(jīng)SIMP 優(yōu)化結(jié)果映射到MMC 組件布局后,由于組件末端采用直線表征,通過(guò)混合拓?fù)鋬?yōu)化獲得的構(gòu)型通常會(huì)出現(xiàn)因組件連接不完全形成結(jié)構(gòu)邊界裂縫現(xiàn)象,無(wú)法直接利用厚度變量控制結(jié)構(gòu)的最小尺寸.同時(shí),采用直線表征組件形狀,可變性受限,阻礙了其構(gòu)建幾何模型的靈活性,尤其是當(dāng)組件數(shù)量相對(duì)較少時(shí).為此,在SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化的基礎(chǔ)上,該節(jié)提出一種形狀多變的半圓末端組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù),并通過(guò)構(gòu)建距離約束函數(shù)和厚度變量約束函數(shù),實(shí)現(xiàn)混合拓?fù)鋬?yōu)化中組件的形狀多變和結(jié)構(gòu)最小尺寸精確控制.

3.1 半圓形末端的組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù)模型

設(shè)給定的任一組件i的1/2 厚度t分別通過(guò)3 個(gè)變量t1,t2和t3表示,理論上設(shè)計(jì)域內(nèi)結(jié)構(gòu)的最小厚度尺寸為tmin=min(2t11,2t12,2t13,···,2tn1,2tn2,2tn3),但采用直線描述組件的末端,常常會(huì)出現(xiàn)組件間的不完全重疊或連接現(xiàn)象,無(wú)法簡(jiǎn)單地通過(guò)設(shè)定組件厚度下限t來(lái)滿足結(jié)構(gòu)最小尺寸控制.如圖9 所示,兩個(gè)組件的厚度尺寸2ti1,2ti2,2ti3和2tj1,2tj2,2tj3都大于設(shè)定的最小尺寸,但其相交區(qū)域的尺寸tc卻小于t,不能滿足設(shè)定的結(jié)構(gòu)最小尺寸約束.

圖9 組件相交示意圖Fig.9 Schematic of incomplete intersection and overlap between components

為此,本文提出具有半圓形末端的組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù)模型,如圖10所示.當(dāng)相交組件其鄰近末端圓心間距小于設(shè)定的閾值時(shí),將被新的圓心坐標(biāo)替代,實(shí)現(xiàn)組件間的完全連接.

圖10 組件完全連接示意圖Fig.10 Schematic of perfectly connections between components

設(shè)一個(gè)組件的形狀由3 個(gè)長(zhǎng)度變量和3 個(gè)厚度變量協(xié)同控制,如圖11 所示,l1和l2分別是組件對(duì)應(yīng)的兩個(gè)1/2 長(zhǎng)度;t1為組件任意一端的1/2 厚度,則需要滿足條件

圖11 半圓形末端組件示意圖Fig.11 Schematic of components with semicircular ends

為了便于計(jì)算,將組件長(zhǎng)度l1和l2統(tǒng)一用l表示.

構(gòu)建的含有半圓形末端的組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù)模型可以被描述為

采用式(14) 可實(shí)現(xiàn)組件半圓形末端形狀.圖12繪制了半圓形末端的等厚度組件形狀,從圖中可以看出,該組件具有r=0.3 的半圓末端,其中l(wèi)=0.6,t1=t2=0.3,兩個(gè)末端圓心坐標(biāo)分別為(0.4,0.5)和(1.6,0.5).圖13為不同變量取值下獲得的形狀多變的半圓形末端組件.從圖13 可以看出,通過(guò)式(14)可有效提升組件構(gòu)建拓?fù)鋷缀文Ｐ偷哪芰?

圖12 等厚度半圓形末端組件Fig.12 Component of equal thickness with semicircular ends

圖13 不同變量取值的半圓形末端組件Fig.13 Components of semicircular ends with different variable values

3.2 最小尺寸精確控制的多變形組件拓?fù)鋬?yōu)化

為了實(shí)現(xiàn)通過(guò)組件厚度變量設(shè)置對(duì)結(jié)構(gòu)最小尺寸精確控制,本小節(jié)提出增強(qiáng)組件末端連接的局部約束函數(shù).令i和j是設(shè)計(jì)域內(nèi)的任意兩個(gè)組件,(xin,yin) 與(xjn,yjn) 分別為組件的兩端半圓圓心坐標(biāo),其中n=1和2,1 表示組件的一端,2 表示組件的另一端.位于不同組件中的兩個(gè)末端圓心坐標(biāo)間距離可以表示為

距離約束函數(shù)可被表示為

式中,τ 是設(shè)定的一個(gè)閾值,取較小的正數(shù)0<τ ?1.

當(dāng)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中滿足組件的距離約束函數(shù)時(shí),構(gòu)件的最小尺寸控制可通過(guò)設(shè)定組件厚度變量的下限輕松實(shí)現(xiàn),即

結(jié)合結(jié)構(gòu)尺寸約束,以J為目標(biāo)函數(shù)的最小尺寸約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型可被描述為

式中,J(R),?k,k=1,2,···,M分別是目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)(如材料體積約束和最小尺寸約束等);uR是設(shè)計(jì)變量向量R所屬于的集合.

在最小尺寸約束下柔度最小優(yōu)化問(wèn)題可被描述為

式中,R表示設(shè)計(jì)區(qū)域;Ri,i=1,2,···,N表示第i組件設(shè)計(jì)變量所組成的向量;J為結(jié)構(gòu)最小柔度,與剛度最大化相一致;f,u,t,ε 分別為實(shí)體材料的體力密度、實(shí)際位移、紐曼邊界 Γt上的面力和二階線性應(yīng)變張量;為狄利克雷邊界Γu上規(guī)定的位移;υ表示滿足的試探位移場(chǎng),符號(hào)H=H(x) 表示Heaviside 函數(shù);φS(x;R) 表示整體組件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)集;q為整數(shù),通常取2;E=Es/(1+v)·{Π+vs/[(1-2vs)δ?δ]}為各向同性的彈性張量,E和v分別為實(shí)體材料的彈性模量和泊松比,Π和δ分別為四階單位張量和二階單位張量,為實(shí)體材料的體積的約束上限值.

4 數(shù)值求解

在本文中,采用歐拉網(wǎng)格和拓?fù)涿枋龊瘮?shù)來(lái)計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn),同時(shí)將虛擬材料模型應(yīng)用到了FEM 分析中,每個(gè)單元的材料楊氏模量表達(dá)式為

式中,E0為單元材料的楊氏模量,H為正則化的(Heaviside 函數(shù)

式中,σ為正則化參數(shù),a取0.001 防止奇異解的發(fā)生.第i個(gè)單元的剛度矩陣可以通過(guò)獲取每個(gè)單元的楊氏模量得到

其中,ks為單元的剛度矩陣,與組件占有材料的多少無(wú)關(guān).

由于組件中的設(shè)計(jì)變量可以被精確描述,目標(biāo)函數(shù)的敏度值計(jì)算與文獻(xiàn)[16,39]中求解相似,在本文中將不再對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)討論.構(gòu)建的半圓形末端多變形組件中g(shù)(y′) 對(duì)應(yīng)的變量敏度值可以被表示為

此外,約束函數(shù)的敏度值可以利用已經(jīng)成熟的計(jì)算幾何算法和有限微分法快速計(jì)算獲得.

5 算例驗(yàn)證

5.1 懸臂梁算例

基于SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化,采用構(gòu)建的半圓形末端組件對(duì)圖6 中的懸臂梁進(jìn)行優(yōu)化,并與相同組件數(shù)量下的MMC 優(yōu)化對(duì)比,MMC 初始設(shè)置參數(shù)為ini_val=[2.5,1.5,1.2,0.1,0.12,0.1,0.5].兩種方法拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程如圖14和圖15 所示,目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的收斂過(guò)程如圖16 所示.

圖14 基于組件映射結(jié)果的懸臂梁優(yōu)化過(guò)程Fig.14 Optimization process for the cantilever beam based on components mapping results

圖15 懸臂梁MMC 拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程Fig.15 Topology optimization process of the cantilever beam using MMC

圖16 懸臂梁不同方法優(yōu)化過(guò)程的收斂歷史Fig.16 The iteration history of the cantilever beam using different methods

由圖14和圖15 可知,采用混合拓?fù)鋬?yōu)化得到了組件間完全連接的拓?fù)錁?gòu)型,如圖14(a)和圖14(b)所示,最終優(yōu)化的到結(jié)構(gòu)與圖3 基本相同,如圖14(d)所示,同時(shí)結(jié)構(gòu)具有更精確的幾何信息.采用MMC得到的優(yōu)化結(jié)果與圖3 略有不同,結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)了一些未完全填充材料的空洞區(qū)域,如圖15(d) 紅圈區(qū)域所示.這是由于MMC 對(duì)初始組件布局依賴性造成的,當(dāng)給定的組件數(shù)量受限時(shí),一些組件會(huì)因定位不精確而被過(guò)早的視為結(jié)構(gòu)的主承力件,影響其余組件的布局,如圖15(b)和圖15(c) 所示,最終導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不能得到相對(duì)合理的拓?fù)錁?gòu)型.

從圖16 的收斂歷史可以看出,在MMC 中,受組件初始布局的依賴性,初始拓?fù)錁?gòu)型一直未能確定,導(dǎo)致力的傳遞路徑在優(yōu)化過(guò)程中不斷發(fā)生變化,引起收斂過(guò)程發(fā)生明顯震蕩行為.采用混合拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)懸臂梁進(jìn)行優(yōu)化,得到目標(biāo)函數(shù)值為40.44;MMC 在設(shè)定的最大迭代次數(shù)1000步內(nèi)并未收斂,最終得到目標(biāo)函數(shù)值為44.75.

依據(jù)式(22),以懸臂梁為對(duì)象,對(duì)本文提出最小尺寸控制方法進(jìn)行驗(yàn)證.組件的厚度變量下限分別設(shè)定為0.08,0.10和0.12,對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)最小尺寸分別為0.16,0.20和0.24.優(yōu)化結(jié)果如圖17 所示.由圖17可知,隨著組件最小厚度變量的增大,結(jié)構(gòu)的最小尺寸也在不斷的增加.

圖17 不同最小尺寸約束下的懸臂梁混合拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.17 Hybrid topology optimization results of the cantilever beam with different minimum length scales

與采用TsSC 法在厚度變量為dmin=0.10下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比,如圖18和表1 所示.兩種方法通過(guò)組件厚度變量約束,均實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制,但在TsSC 法中,存在因組件間的不完全連接產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)邊界裂縫現(xiàn)象,如圖18 中紅圈區(qū)域所示.混合拓?fù)鋬?yōu)化方法在實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)最小尺寸控制的同時(shí),得到了更加完整和光滑的拓?fù)錁?gòu)型邊界,驗(yàn)證了所提方法的有效性.此外,本文所構(gòu)建的組件拓?fù)涿枋龊瘮?shù)同時(shí)具有形狀的可變性,具體細(xì)節(jié)將在下一個(gè)算例中進(jìn)行詳細(xì)討論.

圖18 最小尺寸 dmin=0.1 的懸臂梁TsSC 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.18 TsSC topology optimization result of the cantilever beam with minimum length scales dmin=0.1

表1 不同最小尺寸約束的懸臂梁目標(biāo)函數(shù)Table 1 Object function of the cantilever beam with different minimum length scales

5.2 柔性機(jī)構(gòu)算例

與柔度設(shè)計(jì)問(wèn)題相比,柔性機(jī)構(gòu)在保證剛度的同時(shí)需要滿足結(jié)構(gòu)一定的柔度,該設(shè)計(jì)問(wèn)題求解更復(fù)雜、難度更大,且優(yōu)化結(jié)果中常常存在結(jié)構(gòu)的單鉸鏈連接現(xiàn)象,是驗(yàn)證所提方法在結(jié)構(gòu)連接性和含約束模型的可制造性常用設(shè)計(jì)問(wèn)題.如圖19 所示,以輸出位移最大化為目標(biāo),GA=-Δout/Δin,其中Δin=Finu1in+Foutu2in,Δout=Finu1out+Foutu2out,ujout和ujin,j=1,2,表示在點(diǎn)j施加單位力作用下的水平方向位移.彈簧的彈性常數(shù)kout=0.1.已知設(shè)計(jì)區(qū)域被離散為 100×50的單元網(wǎng)格,在輸入端施加大小為1 水平向右的載荷,輸出端以彈簧模擬工件剛度,體積約束為0.3.

圖19 柔性機(jī)構(gòu)示意圖Fig.19 Schematic of the compliant mechanism example

在相同組件數(shù)量下,分別采用混合拓?fù)鋬?yōu)化方法與初始輸入?yún)?shù)為ini_val=[2.3,3.5,1.5,0.1,0.1,0.1,0.6]的MMC 對(duì)該算例進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化過(guò)程如圖20和圖21 所示.由圖20可知,在該算例中,采用混合拓?fù)鋬?yōu)化方法同樣得到了光滑完整的拓?fù)錁?gòu)型,優(yōu)化結(jié)果與SIMP 的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果基本相同.同時(shí),由于構(gòu)建的半圓末端的組件函數(shù)擁有組件間完全連接和形狀的多變性能力,在構(gòu)建復(fù)雜拓?fù)錁?gòu)型時(shí)也更具靈活性,如圖20(c) 所示.而相同組件數(shù)量下的MMC 拓?fù)鋬?yōu)化,因其對(duì)初始組件布局的依賴性,無(wú)法在有限組件數(shù)量下找到最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型,優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)了嚴(yán)重的材料缺失和細(xì)枝結(jié)構(gòu),如圖21所示.當(dāng)增加組件數(shù)量后,MMC 的柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果變得與SIMP 結(jié)果相似,但仍然存在難以制造的弱連接和細(xì)小結(jié)構(gòu)尺寸,如圖22 所示.

圖20 柔性機(jī)構(gòu)混合拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程Fig.20 Hybrid topology optimization process of the compliant mechanism

圖21 柔性機(jī)構(gòu)MMC 拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程Fig.21 Topology optimization process of the compliant mechanism using MMC

圖22 增加組件數(shù)量后的柔性機(jī)構(gòu)MMC 優(yōu)化結(jié)果Fig.22 Optimization result of the compliant mechanism using MMC after increasing the number of components

圖23為兩種方法獲得的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的收斂歷史.從圖23 可知,在該設(shè)計(jì)問(wèn)題中,由于MMC 對(duì)組件布局的依賴,導(dǎo)致在較少組件數(shù)量下無(wú)法找到有效的傳力路徑,使得優(yōu)化過(guò)程產(chǎn)生了強(qiáng)烈震蕩,在給定最大迭代步內(nèi)并未實(shí)現(xiàn)收斂.

圖23 柔性機(jī)構(gòu)不同方法優(yōu)化過(guò)程的收斂歷史Fig.23 The iteration history of the compliant mechanism using different methods

針對(duì)該算例,采用混合拓?fù)鋬?yōu)化方法,通過(guò)對(duì)組件厚度變量約束實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最小尺寸控制,厚度變量下限分別設(shè)定為0.075和0.14,對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)最小尺寸分別為0.15和0.28.圖24為最小尺寸控制下的柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果和輪廓圖.由圖24 可知,隨著組件最小厚度變量的不斷增大,結(jié)構(gòu)中的最小厚度尺寸也在不斷的變大,有效避免了優(yōu)化結(jié)果中的單鉸鏈弱連接現(xiàn)象.

圖24 不同最小尺寸約束下柔性機(jī)構(gòu)混合拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.24 Hybrid topology optimization results of the compliant mechanism with different minimum length scales

圖25和圖26 分別為TsSC 法和ECS 法對(duì)柔性機(jī)構(gòu)的最小尺寸拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果.對(duì)比圖24、圖25和圖26 可知,3 種方法優(yōu)化結(jié)果基本相同,但圖25和圖26 因組件間的重疊或不完全連接,以及初始組件布局的依賴性,導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在浮島、結(jié)構(gòu)邊界不完整和不光滑等現(xiàn)象.圖25 中隨著對(duì)結(jié)構(gòu)最小尺寸的控制,其結(jié)構(gòu)邊界裂縫并沒(méi)有明顯變化.本文方法在構(gòu)建的組件末端完全連接約束下,通過(guò)簡(jiǎn)單的厚度變量調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)了對(duì)整個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)最小尺寸精確控制,并形成了較為完整和光滑的可制造拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)邊界.該算例也進(jìn)一步驗(yàn)證了所提方法的可行性與有效性.

圖25 不同最小尺寸約束下的柔性機(jī)構(gòu)TsSC 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.25 TsSC topology optimization results of the compliant mechanism with different minimum length scales

圖26 最小尺寸 dmin=0.02 的柔性機(jī)構(gòu)ECS 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.26 ECS topology optimization result of the compliant mechanism with minimum length scales dmin=0.02

6 結(jié)論

在本文中,提出一種考慮最小尺寸精確控制的SIMP和MMC 混合拓?fù)鋬?yōu)化方法.該方法將SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果映射為MMC 組件初始布局,并提出半圓形末端形狀多變的組件函數(shù)模型和組件完全連接的最小尺寸約束拓?fù)鋬?yōu)化模型,通過(guò)控制組件的最小厚度變量實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)最小尺寸的精確控制.采用最小柔度和柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性.與其他方法相比,該方法具有以下優(yōu)點(diǎn):(1) 提升了組件構(gòu)建拓?fù)錁?gòu)型的能力;(2) 克服了SIMP 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界難提取的問(wèn)題;(3) 克服了MMC 對(duì)初始組件布局強(qiáng)烈依賴問(wèn)題;(4) 僅利用組件的厚度變量便可實(shí)現(xiàn)整個(gè)結(jié)構(gòu)的最小尺寸的精確控制;(5) 形成了整體結(jié)構(gòu)相對(duì)完整和光滑的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)邊界.在本文方法的基礎(chǔ)上通過(guò)設(shè)置組件厚度變量的最大和最小約束,也可同時(shí)實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)的最大和最小尺寸精確控制.當(dāng)前的工作僅對(duì)2 維拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行了研究,在后續(xù)工作中將針對(duì)復(fù)雜幾何形狀和三維結(jié)構(gòu)構(gòu)型提出一種更高效的混合拓?fù)鋬?yōu)化方法.