• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一類 ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性

    2023-01-16 11:37:04李曉艷
    關(guān)鍵詞:不動點(diǎn)常數(shù)導(dǎo)數(shù)

    李曉艷,任 瑋,謝 地,蔣 威

    (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

    分?jǐn)?shù)階微積分由于在方程理論和實(shí)際應(yīng)用中都有極大的發(fā)展?jié)摿?,得到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注[1-2].分?jǐn)?shù)階微積分不僅在數(shù)值分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)中有著不可或缺的地位,而且在物理、化學(xué)、生物、工程和其他領(lǐng)域也發(fā)揮著顯著的作用[3-6].

    自從1695年分?jǐn)?shù)階微積分的概念被提出以來,分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)便衍生出了各種不同類型的定義.隨著研究的不斷深入,分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)涌現(xiàn)出了更多新的形式.這些分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)都有一個(gè)相同的內(nèi)核,可以在此基礎(chǔ)上使定義范圍[1-2,7-10]更加廣泛.因此,Almeida[11]利用與Caputo相關(guān)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念,提出了ψ-Caputo導(dǎo)數(shù)的定義(它是對關(guān)于函數(shù)ψ的一類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣)及一種處理此類算子的數(shù)值方法,包括用依賴于一階導(dǎo)數(shù)的和來近似分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù),且通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和適用性.通過考慮人口增長模型,給出了該分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)應(yīng)用,表明可以使用分?jǐn)?shù)算子的不同核來更精確地建模.

    論文的主要研究對象是探究一類特殊的Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題,利用相互轉(zhuǎn)化的思想,將Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮.接下來便可以在研究此分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在唯一性上尋找突破口,沒有直接從ψ-Caputo導(dǎo)數(shù)的定義入手,以免帶來更多煩瑣的計(jì)算.最后,考慮到對分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和穩(wěn)定性的研究一直受到極高的關(guān)注[12-15],作者進(jìn)一步探討了Ulam-Hyers-Rassias,Ulam-Hyers,Semi-Ulam-Hyers-Rassias與分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性涉及的相關(guān)問題[16-18].

    首先,作者在一個(gè)實(shí)Banach空間X上考慮以下關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程

    (1)

    定義1[1]若α∈,Re(α)>0,-∞≤a0.關(guān)于函數(shù)ψ的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

    (2)

    定義2[1]若α∈,n-10.關(guān)于函數(shù)ψ的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

    (3)

    若n-1<α

    (4)

    作者將利用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來考慮關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1),則首先需要構(gòu)造一個(gè)既定的空間

    X={x|x(t)∈C[a,b]},

    其中

    可以很容易證明(X,‖·‖X)是一個(gè)Banach空間.

    1 預(yù)備知識

    引理1[2]若α>0,β>0,有

    (5)

    引理2[19]若0≤t1

    (6)

    引理3若f∈C[a,b],n-1<α

    (7)

    證明由Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分和Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義,有

    對等式右側(cè)重復(fù)進(jìn)行分部積分,可得

    引理4若f∈C[a,b],n-1<β<α

    (8)

    證明由Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,有

    (9)

    將上面的等式代入到(9)中,由引理2可以推導(dǎo)出

    注特別地,若f∈C[a,b],0<α<1,有

    定義3[20]已知X是一個(gè)非空集,則d:X×X→[0,∞]是一個(gè)在X上的廣義度量,若

    (1)d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

    (2)d(x,y)=d(y,x),對任意x,y∈X;

    (3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),對任意x,y,z∈X.

    定理1[20](X,d)是一個(gè)廣義上的完備度量空間,假設(shè)T:X→X是一個(gè)Lipschitz常數(shù)L<1的壓縮算子.若存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,使得對于x∈X,d(Tk+1x,Tkx)<∞,那么以下3個(gè)命題成立:

    (1)序列Tk收斂于T中的一個(gè)不動點(diǎn)x*;

    (2)x*是T在X*={y∈X|d(Tkx,y)<∞}上的唯一不動點(diǎn);

    定理2[21]已知K為Banach空間X上的非空有界閉凸子集,A,B:K→X滿足:

    (1)對任意x,y∈K,都有Ax+By∈K;

    (2)算子A是壓縮的,其中Lipschitz常數(shù)L<1;

    (3)B是K上的連續(xù)緊算子.

    2 主要結(jié)果

    作者利用 Krasnoselskii不動點(diǎn)定理來證明關(guān)于函數(shù)ψ的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題解的存在唯一性,在有限區(qū)間[a,b]上分析了關(guān)于Ulam-Hyers-Rassias和Semi-Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的相關(guān)定理.

    2.1 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

    需要做出以下假設(shè):

    (H1)L0和M為給定的正常數(shù).假設(shè)f:J×X→X是分別滿足以下條件的連續(xù)可微函數(shù)

    ‖f(t,x1(t))-f(t,x2(t))‖≤L0‖x1(t)-x2(t)‖,?t∈J,

    以及

    ‖f(t,x(t))‖≤M,?t∈J.

    (H2)給定的正常數(shù)L,其中0

    引理5假設(shè)函數(shù)x:J→X是連續(xù)可微的,則初值問題(1)等價(jià)于積分方程

    (10)

    根據(jù)初值條件x(a)=0,則進(jìn)一步可得

    基于上述論證可知,一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)滿足初值問題(1),當(dāng)且僅當(dāng)該函數(shù)滿足積分方程(10).

    定理3假設(shè)條件(H1)和(H2)均成立,則初值問題(1)存在唯一解.

    證明根據(jù)引理1,可知初值問題(1)等價(jià)于積分方程(10).因此,可以將尋求初值問題(1)的解轉(zhuǎn)化為探討算子A和B的不動點(diǎn)問題,其中算子A和B的定義如下

    (11)

    (12)

    通過引用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理,將證明方程(1)有唯一解.因此首先需要找到一個(gè)非空的有界閉凸子集K,其中

    K={x(t)∈C[a,b]:‖x(t)‖≤R},

    且常數(shù)R滿足

    由算子A的定義可知,對于任意x∈K,都有Ax∈K,即算子A:K→K.

    接下來證明算子A在K上是嚴(yán)格壓縮的.對于任意x1,x2∈K,鑒于假設(shè)條件(H1)和(H2),從而可以推導(dǎo)得

    因此,對于任意x1,x2∈K,有

    ‖Ax1(t)-Ax2(t)‖

    這表明A是一個(gè)嚴(yán)格的壓縮映射.

    其次,顯然可知算子B在Banach空間X中是連續(xù)的,還需要證明B(K)為列緊集.根據(jù)Arzela-Ascoli定理,只需推導(dǎo)出B(K)是一致有界且等度連續(xù)的即可.

    一方面,對于?x(t)∈K,有

    所以,B(K)是一致有界的.

    另一方面,對?t1,t2∈J,若t1

    因此,當(dāng)t2→t1時(shí),有‖Bx(t2)-Bx(t1)‖→0,從而B(K)是等度連續(xù)的,證明了B是K上的連續(xù)緊算子.

    最后,對于?x,y∈K,有

    所以Ax+By∈K.綜上所述,算子A+B在Banach空間X的有界閉凸子集中有一個(gè)不動點(diǎn)x,滿足(A+B)x=x.因此,初值問題(1)存在唯一解.

    例考慮關(guān)于Caputo微分方程的初值問題

    這里取ψ(t)=lnt,α=0.8,β1=0.5,β2=0.2,其中t∈[1,2],f(t,x(t))=0.1sinx(t).通過驗(yàn)證給出的假設(shè)(H1)和(H2),即對于?x1,x2∈X,有

    ‖sinx1(t)-sinx2(t)‖≤‖x1(t)-x2(t)‖,

    可以得出該初值問題在t∈[1,2]上存在唯一解.

    2.2 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性

    該節(jié)介紹閉區(qū)間[a,b]上有關(guān)Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性和半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的基本概念,從而給出與系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性相關(guān)的定理.為了研究穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論,需要在Banach空間X上建立適當(dāng)?shù)亩攘?

    Banach空間X上的度量d1(·)定義如下

    d1(x,y)=inf{C∈[0,+∞)|‖x(t)-y(t)‖≤CΦ(t),t∈[a,b]},

    (13)

    其中:C是一個(gè)常數(shù),Φ(t)是一個(gè)恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù).

    Banach空間X上的度量d2(·)定義如下

    (14)

    定義4[22]對于每個(gè)連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

    (15)

    其中:Φ(t)為恒正單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù).

    若存在初值問題(1)的一個(gè)解x0以及一個(gè)常數(shù)C>0,使得

    ‖x(t)-x0(t)‖≤CΦ(t),?t∈J,

    則稱系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.如果Φ(t)在上述不等式中為一個(gè)常值函數(shù),則稱系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers穩(wěn)定性.

    定義5[22]對于每個(gè)連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

    (16)

    其中:常數(shù)θ≥0.

    若存在初值問題(1)的一個(gè)解x0以及一個(gè)常數(shù)C>0,對于恒正單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù)Φ(t),使得

    ‖x(t)-x0(t)‖≤CΦ(t),?t∈J,

    則稱初值問題(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

    定理4若假設(shè)(H1)和(H2)成立,Φ(t)是一個(gè)定義在[a,b]上恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù), 以及連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

    則存在初值問題(1)的唯一解x0∈X,使得

    (17)

    且系統(tǒng)(1)具有Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

    證明考慮算子T:X→X,有

    根據(jù)Banach空間X上的度量d1(·)以及假設(shè)(H1)與(H2)可知,對于?x,y∈X,有

    LCΦ(t),?t∈J,L∈(0,1),

    從而進(jìn)一步可知

    d1(Tx,Ty)≤LC=Ld1(x,y),L∈(0,1).

    此外由條件(17)知

    因此可以證實(shí)

    由定理1可知,存在系統(tǒng)(1)的唯一不動點(diǎn)x0,使得Tx0=x0,且可以推導(dǎo)出

    綜上,作者完成了關(guān)于Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1)的Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性的證明.

    定理5若假設(shè)(H1)和(H2)成立,Φ(t)是一個(gè)定義在[a,b]上恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù), 以及連續(xù)可微函數(shù)x:J→X,滿足

    其中:常數(shù)θ>0,則存在初值問題(1)的唯一解x0∈X以及常數(shù)M>0,使得

    (18)

    且系統(tǒng)(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

    證明考慮算子T:X→X,有

    與定理4的證明類似,根據(jù)Banach空間上的度量d2(·)以及假設(shè)(H1)與(H2)可知,對于?x,y∈X,有

    進(jìn)一步可以得出

    LC,?t∈J,L∈(0,1),

    d2(Tx,Ty)≤LC=Ld2(x,y),L∈(0,1).

    由于Φ(t)是一個(gè)恒正的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù),可以找到一個(gè)常數(shù)M>0,滿足

    此外由條件(18)知

    從而可以證實(shí)

    由定理1可知,存在系統(tǒng)(1)的唯一不動點(diǎn)x0,使得Tx0=x0,且可以推導(dǎo)出

    基于以上分析,作者論證出Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程(1)具有半U(xiǎn)lam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性.

    猜你喜歡
    不動點(diǎn)常數(shù)導(dǎo)數(shù)
    解導(dǎo)數(shù)題的幾種構(gòu)造妙招
    關(guān)于Landau常數(shù)和Euler-Mascheroni常數(shù)的漸近展開式以及Stirling級數(shù)的系數(shù)
    一類抽象二元非線性算子的不動點(diǎn)的存在性與唯一性
    活用“不動點(diǎn)”解決幾類數(shù)學(xué)問題
    關(guān)于導(dǎo)數(shù)解法
    幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和
    萬有引力常數(shù)的測量
    導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用
    不動點(diǎn)集HP1(2m)∪HP2(2m)∪HP(2n+1) 的對合
    函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
    黄色片一级片一级黄色片| 亚洲精品国产一区二区精华液| 国产人伦9x9x在线观看| 一级黄色大片毛片| 国产高清激情床上av| 90打野战视频偷拍视频| 这个男人来自地球电影免费观看| 亚洲avbb在线观看| 99国产精品一区二区三区| 日韩免费av在线播放| 亚洲男人天堂网一区| a级毛片在线看网站| 欧美一级毛片孕妇| 超碰成人久久| 欧美成人午夜精品| 激情在线观看视频在线高清 | 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 香蕉国产在线看| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 国产熟女午夜一区二区三区| 久久久国产成人免费| 免费在线观看黄色视频的| 免费在线观看亚洲国产| 夜夜夜夜夜久久久久| 精品久久蜜臀av无| 午夜久久久在线观看| av天堂久久9| 午夜91福利影院| 日韩免费av在线播放| 日韩三级视频一区二区三区| 一区在线观看完整版| 国产亚洲欧美精品永久| 国产单亲对白刺激| 午夜福利,免费看| 丁香欧美五月| 日本五十路高清| 新久久久久国产一级毛片| 免费少妇av软件| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 国产欧美日韩一区二区三| 日本精品一区二区三区蜜桃| 亚洲av电影在线进入| 满18在线观看网站| 后天国语完整版免费观看| 亚洲成国产人片在线观看| 亚洲国产欧美网| 悠悠久久av| 天堂动漫精品| 视频区图区小说| 在线观看免费高清a一片| 飞空精品影院首页| 成人免费观看视频高清| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 啦啦啦在线免费观看视频4| 国产精品综合久久久久久久免费 | 悠悠久久av| 免费在线观看完整版高清| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 亚洲熟女毛片儿| 老熟妇仑乱视频hdxx| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 激情在线观看视频在线高清 | 国产亚洲精品一区二区www | 免费高清在线观看日韩| 国产国语露脸激情在线看| 国精品久久久久久国模美| 日韩免费av在线播放| 女人久久www免费人成看片| 一级作爱视频免费观看| 丝袜美足系列| 一级a爱片免费观看的视频| 18禁美女被吸乳视频| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | av中文乱码字幕在线| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 99久久国产精品久久久| 无限看片的www在线观看| 色在线成人网| 欧美日韩乱码在线| 色综合欧美亚洲国产小说| 欧美国产精品va在线观看不卡| 搡老岳熟女国产| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 久久天堂一区二区三区四区| 一区二区三区精品91| 久久人妻av系列| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 深夜精品福利| 免费在线观看黄色视频的| 精品卡一卡二卡四卡免费| 成人av一区二区三区在线看| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 久久香蕉激情| 美国免费a级毛片| 在线视频色国产色| 黄频高清免费视频| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 大片电影免费在线观看免费| 久久热在线av| 午夜福利影视在线免费观看| 亚洲色图av天堂| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 亚洲国产精品sss在线观看 | 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 久久精品国产清高在天天线| 国产午夜精品久久久久久| 最近最新中文字幕大全免费视频| av网站在线播放免费| 曰老女人黄片| 黄片小视频在线播放| 欧美色视频一区免费| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 国产精品综合久久久久久久免费 | 精品卡一卡二卡四卡免费| 国产熟女午夜一区二区三区| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 亚洲熟女毛片儿| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 亚洲国产看品久久| 两个人免费观看高清视频| 大香蕉久久网| 国产精品久久视频播放| 亚洲欧美激情综合另类| 91老司机精品| 成年人午夜在线观看视频| 日韩欧美国产一区二区入口| 国产主播在线观看一区二区| 国产亚洲欧美在线一区二区| 高清毛片免费观看视频网站 | 91麻豆av在线| 日本wwww免费看| 国产成人啪精品午夜网站| 国产激情欧美一区二区| 国产免费男女视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 99re在线观看精品视频| 在线天堂中文资源库| 交换朋友夫妻互换小说| 久9热在线精品视频| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 一区二区三区国产精品乱码| 一二三四在线观看免费中文在| 欧美日韩黄片免| 亚洲片人在线观看| 俄罗斯特黄特色一大片| 操出白浆在线播放| 国产精品永久免费网站| 超碰成人久久| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 香蕉国产在线看| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 美女福利国产在线| 亚洲一区中文字幕在线| 12—13女人毛片做爰片一| 久久狼人影院| 色94色欧美一区二区| 免费看十八禁软件| 欧美一级毛片孕妇| 色播在线永久视频| 热re99久久精品国产66热6| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 免费高清在线观看日韩| 在线观看日韩欧美| av一本久久久久| 欧美人与性动交α欧美软件| 飞空精品影院首页| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 日韩有码中文字幕| 欧美不卡视频在线免费观看 | 99精国产麻豆久久婷婷| 久久人妻av系列| 乱人伦中国视频| 免费观看人在逋| 久久ye,这里只有精品| 男人舔女人的私密视频| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 久久热在线av| 日韩精品免费视频一区二区三区| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产精品免费一区二区三区在线 | 777久久人妻少妇嫩草av网站| 涩涩av久久男人的天堂| 国产深夜福利视频在线观看| 看免费av毛片| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 精品人妻在线不人妻| 亚洲av第一区精品v没综合| 中出人妻视频一区二区| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 亚洲熟女毛片儿| 免费少妇av软件| 五月开心婷婷网| 黄频高清免费视频| 欧美日韩乱码在线| 亚洲成a人片在线一区二区| 欧美乱码精品一区二区三区| 午夜免费成人在线视频| 国产精品一区二区在线观看99| 人人妻人人澡人人看| 中文字幕精品免费在线观看视频| 久久精品国产亚洲av香蕉五月 | 最新美女视频免费是黄的| 手机成人av网站| 午夜福利一区二区在线看| 国产黄色免费在线视频| 两人在一起打扑克的视频| 午夜日韩欧美国产| 国产一区在线观看成人免费| 90打野战视频偷拍视频| 两人在一起打扑克的视频| 亚洲专区字幕在线| 午夜免费成人在线视频| 久久亚洲真实| 国产在线精品亚洲第一网站| 悠悠久久av| 精品一区二区三卡| 高清视频免费观看一区二区| 国产成人av教育| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 一进一出抽搐gif免费好疼 | cao死你这个sao货| 亚洲精品国产色婷婷电影| 亚洲专区国产一区二区| 精品一品国产午夜福利视频| 午夜福利在线免费观看网站| 电影成人av| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 老司机深夜福利视频在线观看| 99国产极品粉嫩在线观看| 极品教师在线免费播放| 久久久久国产一级毛片高清牌| 午夜激情av网站| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产精品成人在线| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 一级片'在线观看视频| 国产视频一区二区在线看| 欧美激情 高清一区二区三区| www.熟女人妻精品国产| 国产极品粉嫩免费观看在线| 欧美日韩成人在线一区二区| 欧美性长视频在线观看| av视频免费观看在线观看| 成人黄色视频免费在线看| 国产一区有黄有色的免费视频| 国精品久久久久久国模美| 中文字幕人妻熟女乱码| 国产亚洲欧美在线一区二区| 欧美不卡视频在线免费观看 | 老司机靠b影院| 国产成人免费无遮挡视频| 人妻久久中文字幕网| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲全国av大片| 黄色a级毛片大全视频| 在线看a的网站| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 99久久精品国产亚洲精品| 国产精品免费大片| 精品国产一区二区三区四区第35| 男男h啪啪无遮挡| 日本vs欧美在线观看视频| 久久中文字幕人妻熟女| 亚洲九九香蕉| 在线观看免费日韩欧美大片| 操美女的视频在线观看| 成人影院久久| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 国产免费男女视频| 亚洲国产欧美网| 欧美精品啪啪一区二区三区| 国产精品1区2区在线观看. | 老熟女久久久| 亚洲欧美色中文字幕在线| 99re6热这里在线精品视频| 91成年电影在线观看| 久久中文字幕一级| 69av精品久久久久久| 亚洲七黄色美女视频| 99国产精品一区二区蜜桃av | 咕卡用的链子| 国产精品久久久久成人av| 91在线观看av| 人人澡人人妻人| 老汉色av国产亚洲站长工具| 久久天堂一区二区三区四区| 午夜免费成人在线视频| 香蕉久久夜色| 欧美成人午夜精品| 精品久久久久久,| 涩涩av久久男人的天堂| 黄片小视频在线播放| 久久中文字幕一级| 香蕉国产在线看| 夜夜夜夜夜久久久久| 一级毛片精品| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| av线在线观看网站| 在线天堂中文资源库| 久久久久久久久久久久大奶| aaaaa片日本免费| 在线播放国产精品三级| 美女福利国产在线| 水蜜桃什么品种好| 精品电影一区二区在线| 国产精品亚洲一级av第二区| 九色亚洲精品在线播放| 久久 成人 亚洲| 欧美精品av麻豆av| 黑人欧美特级aaaaaa片| 777米奇影视久久| 很黄的视频免费| 午夜精品在线福利| 波多野结衣一区麻豆| 成人免费观看视频高清| 久久精品人人爽人人爽视色| 99riav亚洲国产免费| 大码成人一级视频| 丁香六月欧美| 手机成人av网站| 精品人妻1区二区| 国产精品综合久久久久久久免费 | 亚洲精品成人av观看孕妇| 免费看a级黄色片| 色94色欧美一区二区| 免费观看a级毛片全部| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 色在线成人网| 亚洲五月天丁香| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 一区二区三区激情视频| 精品人妻在线不人妻| 麻豆av在线久日| 在线国产一区二区在线| 国产主播在线观看一区二区| 久久久国产成人免费| 夫妻午夜视频| 热re99久久国产66热| 丰满的人妻完整版| 91国产中文字幕| 亚洲成人手机| 在线观看免费视频网站a站| 大香蕉久久成人网| 亚洲av成人一区二区三| 一区福利在线观看| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 丁香六月欧美| 国产在线观看jvid| 嫁个100分男人电影在线观看| 欧美大码av| 国产精品久久久久久精品古装| 黑丝袜美女国产一区| 成人国语在线视频| 看黄色毛片网站| 乱人伦中国视频| 男女之事视频高清在线观看| 很黄的视频免费| 美女国产高潮福利片在线看| 亚洲视频免费观看视频| 99精品久久久久人妻精品| 国产在视频线精品| 国产又爽黄色视频| 久久久久视频综合| 啦啦啦免费观看视频1| 中出人妻视频一区二区| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 亚洲欧美色中文字幕在线| 成年女人毛片免费观看观看9 | 久久中文字幕人妻熟女| 国产欧美日韩一区二区精品| 亚洲欧美激情在线| 欧美日韩成人在线一区二区| 国产成人欧美| 一进一出抽搐动态| 久久精品国产a三级三级三级| 国产国语露脸激情在线看| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 亚洲一区高清亚洲精品| 国产在线观看jvid| 免费av中文字幕在线| 国产不卡一卡二| 人妻久久中文字幕网| av欧美777| √禁漫天堂资源中文www| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 午夜成年电影在线免费观看| 亚洲,欧美精品.| 制服人妻中文乱码| 99在线人妻在线中文字幕 | 欧美日韩乱码在线| 色老头精品视频在线观看| 精品福利永久在线观看| 午夜激情av网站| а√天堂www在线а√下载 | 国产成人av教育| 在线观看免费视频日本深夜| 99精国产麻豆久久婷婷| 国产人伦9x9x在线观看| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 久久中文字幕一级| 久久热在线av| 欧美日韩黄片免| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 精品免费久久久久久久清纯 | 久久久精品区二区三区| 午夜福利欧美成人| 日本a在线网址| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 国产精品一区二区在线不卡| 色老头精品视频在线观看| 无遮挡黄片免费观看| 天天添夜夜摸| 久久这里只有精品19| 亚洲精品久久午夜乱码| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 一区二区日韩欧美中文字幕| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲欧美激情综合另类| 成人精品一区二区免费| 成人av一区二区三区在线看| 国产91精品成人一区二区三区| 午夜福利在线观看吧| 国产成人啪精品午夜网站| 成年人午夜在线观看视频| 日本欧美视频一区| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| aaaaa片日本免费| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 亚洲熟妇熟女久久| 99精品久久久久人妻精品| 一级毛片精品| 好男人电影高清在线观看| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 后天国语完整版免费观看| 淫妇啪啪啪对白视频| 国产高清激情床上av| 老司机午夜十八禁免费视频| 久热爱精品视频在线9| 久久中文字幕人妻熟女| 亚洲情色 制服丝袜| 国产野战对白在线观看| 99在线人妻在线中文字幕 | 久久ye,这里只有精品| 午夜视频精品福利| 亚洲精品自拍成人| 美女福利国产在线| 亚洲综合色网址| 午夜两性在线视频| 国产精品.久久久| 老司机福利观看| 国产成人欧美| 亚洲一码二码三码区别大吗| 亚洲在线自拍视频| 波多野结衣av一区二区av| 亚洲av欧美aⅴ国产| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 久久久久国内视频| 脱女人内裤的视频| 亚洲国产看品久久| 69精品国产乱码久久久| 色老头精品视频在线观看| 久久久水蜜桃国产精品网| 99久久综合精品五月天人人| 欧美 日韩 精品 国产| 亚洲国产欧美一区二区综合| 咕卡用的链子| 久久久久精品人妻al黑| 久久影院123| 亚洲片人在线观看| 婷婷丁香在线五月| 国产日韩欧美亚洲二区| 99热网站在线观看| 国产成人欧美| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 欧美激情高清一区二区三区| 黄色丝袜av网址大全| 啦啦啦免费观看视频1| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 午夜视频精品福利| 亚洲人成电影免费在线| 飞空精品影院首页| 一区二区三区精品91| 一边摸一边做爽爽视频免费| 最近最新中文字幕大全免费视频| 一本大道久久a久久精品| 99国产精品免费福利视频| 久久精品91无色码中文字幕| 日韩人妻精品一区2区三区| 黑人操中国人逼视频| 久久久久久久午夜电影 | 久久国产亚洲av麻豆专区| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 中文字幕高清在线视频| 久久国产精品大桥未久av| 国产成+人综合+亚洲专区| а√天堂www在线а√下载 | 亚洲av欧美aⅴ国产| 在线观看66精品国产| 超色免费av| 欧美日韩黄片免| 女警被强在线播放| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲欧美激情综合另类| 亚洲成人免费av在线播放| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 亚洲精品成人av观看孕妇| 久久精品91无色码中文字幕| 亚洲熟女毛片儿| 中文欧美无线码| 久久久久久人人人人人| 99热国产这里只有精品6| 午夜影院日韩av| 99久久综合精品五月天人人| 久热这里只有精品99| 成人影院久久| 欧美黄色片欧美黄色片| 国产成人av激情在线播放| 十八禁网站免费在线| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 国产免费现黄频在线看| 亚洲av片天天在线观看| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 国精品久久久久久国模美| 露出奶头的视频| 亚洲专区字幕在线| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲一区中文字幕在线| 麻豆av在线久日| 黄色 视频免费看| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲精品在线观看二区| 久久久国产成人精品二区 | 国产一区二区三区综合在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 久久精品人人爽人人爽视色| 中文字幕精品免费在线观看视频| 最近最新中文字幕大全免费视频| 一级黄色大片毛片| 成人黄色视频免费在线看| 亚洲 国产 在线| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 欧美在线黄色| av网站在线播放免费| 两个人免费观看高清视频| 欧美另类亚洲清纯唯美| 欧美黑人精品巨大| 最新美女视频免费是黄的| 大香蕉久久网| 欧美乱色亚洲激情| 精品国产乱码久久久久久男人| 无限看片的www在线观看| 国产成人精品无人区| 国产精品久久久久成人av| 久久久久久久精品吃奶| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 最新的欧美精品一区二区| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 亚洲av日韩在线播放| 亚洲一区中文字幕在线| 天堂中文最新版在线下载| 一二三四在线观看免费中文在| 黄片大片在线免费观看| 动漫黄色视频在线观看| 亚洲熟女精品中文字幕| 丝袜在线中文字幕| bbb黄色大片| 免费看a级黄色片| 中出人妻视频一区二区| 搡老岳熟女国产| 精品欧美一区二区三区在线| 日韩欧美一区视频在线观看| 淫妇啪啪啪对白视频| 91成年电影在线观看| 黑人操中国人逼视频| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 欧美人与性动交α欧美软件| 久久久久久久久久久久大奶| 精品国产亚洲在线| 久久99一区二区三区| 欧美精品亚洲一区二区| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 午夜视频精品福利| 精品国产一区二区久久| 无遮挡黄片免费观看| 一级片'在线观看视频| 黄片小视频在线播放| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 久久中文看片网| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 99精品欧美一区二区三区四区| 久久国产亚洲av麻豆专区| 俄罗斯特黄特色一大片| 色婷婷久久久亚洲欧美| 久久99一区二区三区| 97人妻天天添夜夜摸| 麻豆av在线久日| 一级黄色大片毛片| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 91成人精品电影| 久久ye,这里只有精品| 国产一区二区激情短视频| 咕卡用的链子| 麻豆av在线久日| 午夜精品国产一区二区电影| 两人在一起打扑克的视频|