劉 洋，劉宇鑫，鄭 巍

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

捕食關(guān)系是自然界中最基本的關(guān)系之一，捕食者通過捕食對(duì)食餌產(chǎn)生影響.許多學(xué)者研究了捕食者-食餌系統(tǒng)，并分析了其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[1-2].在捕食過程中捕食者不僅可以直接捕殺食餌，也可以對(duì)食餌產(chǎn)生間接影響，形成一種捕食者恐懼效應(yīng).文獻(xiàn)[3]提出了一個(gè)具食餌恐懼效應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)，研究了恐懼效應(yīng)對(duì)捕食者-食餌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的影響，指出恐懼效應(yīng)能夠穩(wěn)定捕食者-食餌系統(tǒng).在此基礎(chǔ)上，結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的具恐懼效應(yīng)的3種群系統(tǒng)被討論[4-6].種群空間結(jié)構(gòu)的存在能夠影響捕食者-食餌系統(tǒng)，使其產(chǎn)生更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，因而一些學(xué)者研究了具恐懼效應(yīng)的擴(kuò)散捕食者-食餌系統(tǒng)[7-10].

基于上述討論，本文將考慮如下一類具恐懼效應(yīng)與配偶相遇的擴(kuò)散捕食者-食餌系統(tǒng)：

(1)

其中Ω是n(n≥1)中帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，并且c∈[0，1).系統(tǒng)(1)中的變量、參數(shù)以及它們的生物意義見表1.本文的主要目的是研究系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 解的全局存在性與耗散性

dN/dt=r0N-dN-aN2，dP/dt=bP-mP-δP2+chNP，

?N/?t≤d1ΔN+r0N-dN-aN2，x∈Ω，t>0，

定理2 假設(shè)(N，P)是系統(tǒng)(1)的任意一個(gè)解.若r0>d且ch(r0-d)+a(b-m)>0，則

(2)

證明直接計(jì)算得

?N/?t≤N(r0-d-aN)，x∈Ω，t>0，

?P/?t≤d2ΔP+[b+ch(r0-d)/a+ε)-m-δP]P，x∈Ω，t≥T，

2 常值穩(wěn)態(tài)解

系統(tǒng)(1)的常值穩(wěn)態(tài)解有

其中：

(3)

(4)

令Λ∶={μi|0=μ0<μ1<…<μi<…}是齊次Neumann邊界條件的算子-Δ的特征值.定義

(5)

其中(φ，ψ)∈Y，并且

b21=chP，b22=b-m-2δP+chN.

λ2-Tiλ+Di=0，i∈0，

(6)

其中

定理3E0總是存在的，若b>m，則E0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明由(6)式知在E0處的特征方程為

λ2-(-(d1+d2)μi+d-(b-m))λ+(d1d2μi+(d1(m-b)+d2d)μi-(b-m)d)=0.

若b

在Ek，k=1，2處的特征方程為

定理5 若b>m，則E3存在且局部漸近穩(wěn)定的.

證明當(dāng)b>m時(shí)，則E3存在，且由(5)式可得

則系統(tǒng)(1)在E3處線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程為

(λ+d2μi+d+h(b-m)/δ)(λ+d1μi+b-m)=0.

對(duì)任意i∈0，特征值實(shí)部均為負(fù)的，因而E3是局部漸近穩(wěn)定的

設(shè)F(N)=c3N3+c2N2+c1N+c0，其中

c3=-ehc(hc+aδ)/δ2，

c2=-a-(ech(d+a)+ea(b-m)+ch2)/δ-h2ec(b-m)(2δ-ch)/δ2，

c1=r0-d-aθ-((b-m)(ed+ea+h+2h2eθc)+eθdch)/δ-h(b-m)[ch+e(b-m)]/δ2，

c0=-dθ-θ(b-m)(ed+h)/δ-heθ(b-m)2/δ2.

定理6 (ⅰ)系統(tǒng)(1)可能不存在或者存在1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)正平衡點(diǎn)，見表2；

表2 系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)存在條件

(7)

(8)

(2)若c0>0，即e(b-m)[h(b-m)+δd]<δ[h(b-m)+δd]，可得系統(tǒng)(1)有1個(gè)或者3個(gè)正平衡點(diǎn)；

綜上所述，結(jié)論(ⅰ)得證.

(9)

故得到Di>0，則結(jié)論(ⅲ)得證.

3 圖靈不穩(wěn)定性

(10)

證明(ⅰ)和(ⅱ)是顯然成立的.對(duì)于固定的d2>0，可得

利用Matlab對(duì)前面得到的圖靈不穩(wěn)定性結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬.令r0=0.7，e=0.1，θ=0.1，a=0.2，c=0.2，δ=0.55，b=0.3，d=0.25，h=0.4，m=0.1，d1=0.000 1，d2=3.5，b=0.2.圖1顯示由擴(kuò)散導(dǎo)致圖靈不穩(wěn)定性(見定理7)，表明捕食者與食餌共存于一個(gè)非常值穩(wěn)態(tài)解.

圖1 圖靈不穩(wěn)定性