圓錐曲線焦點(diǎn)三角形角平分線性質(zhì)的探究

［摘? 要］ 解析幾何的魅力在于其在運(yùn)動(dòng)變化中的不變性，這為數(shù)學(xué)命題提供了大量素材，為落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開(kāi)發(fā)了一片沃土. 文章對(duì)一道解析幾何試題進(jìn)行解法研究和延伸探索，從多角度尋求解決途徑，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的深入分析挖掘數(shù)據(jù)背后的本質(zhì)，呈現(xiàn)深度研究解析幾何問(wèn)題的一般思路.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；焦點(diǎn)三角形；角平分線；性質(zhì)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)常規(guī)活動(dòng)，我們?cè)诮忸}的過(guò)程中落實(shí)基本知識(shí)、基本技能的同時(shí)，更重要的是以題目為載體落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，體現(xiàn)在多角度解決原問(wèn)題的同時(shí)提出新的問(wèn)題上，讓動(dòng)態(tài)生成成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)，使發(fā)現(xiàn)問(wèn)題成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的. 著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說(shuō)過(guò)，“沒(méi)有一道題目是徹底完成的，總還會(huì)有些事情可以做.”下面以一道昆明三中高三文科模擬試題為例，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多元表征，探究得到六種解答方式.從結(jié)果入手，進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、推理，得到橢圓和雙曲線焦點(diǎn)三角形角平分線的一條性質(zhì).

試題呈現(xiàn)

（昆明三中高三文科模擬試題）已知橢圓C：+=1（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），離心率為，F(xiàn)，F(xiàn)為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M.

（1）求橢圓的方程；

（2）求和的值.

[?]解法研究

第（1）問(wèn)的答案：+=1.

第（2）問(wèn)的解法研究：

解法1：由（1）知F（-2，0），F(xiàn)（2，0），所以

PF=5，

PF=3.

設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），由三角形角平分線定理可知=，得=，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==. （或者由=可知==）

解法2：由（1）知F（-2，0），F(xiàn)（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3），所以+=

-，-

+（0，-1）=

-，-

，所以∠FPF的平分線l的斜率為k=

-

÷

-

=2，所以l：y=2x-1，故M

，0

. 所以==，==.

解法3：由題意知F（-2，0），F(xiàn)（2，0），又P（2，3），可得直線PF的方程為3x-4y+6=0，直線PF的方程為x-2=0. 設(shè)點(diǎn)Q（x，y）是∠FPF的平分線l上的任意一點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)Q（x，y）到角兩邊的距離相等，即=x-2，得3x-4y+6=5（x-2），即x+2y-8=0（舍去），或3x-4y+6=-5（x-2），即2x-y-1=0，所以M

，0

. 所以==，==.

解法4：由（1）知F（-2，0），F(xiàn)（2，0），所以

PF=5，

PF=3. 由余弦定理可得cos∠MPF=，又Rt△PFM中cos∠MPF=，根據(jù)題意得=. 設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），則=3，解得m=，所以M

，0

. 所以==，==.

解法5：由cos∠PMF+cos∠PMF=0和余弦定理得+=0，同解法4可得m=.

解法6：由三角形角平分線的性質(zhì)可得PM2=

PF·

PF-

MF·

MF，設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），將

PF=5，

PF=3和M（m，0）代入上式解得m=.

評(píng)析：解法1從一般三角形的角平分線定理出發(fā)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段的比值；解法2從向量的角度考慮，先求出角平分線的方向向量，進(jìn)而求出角平分線的斜率，再求出角平分線的方程，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；解法3用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等這個(gè)性質(zhì)求出角平分線的方程；解法4從平分角出發(fā)，用余弦定理建立起等量關(guān)系，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；解法5從兩個(gè)角互補(bǔ)出發(fā)，用余弦定理建立起方程；解法6用三角形角平分線的一條性質(zhì)（庫(kù)斯頓定理）建立方程，解出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出線段的比值.上述六個(gè)解法從六個(gè)角度多元表征角平分線，得到六種解決途徑. 實(shí)際上，本題還可以從內(nèi)切圓、相似、三角形面積等角度探索更多解法.

延伸探索

1. 延伸探索一

問(wèn)題1：此題第（2）問(wèn)的結(jié)果為==，這個(gè)結(jié)果與橢圓的離心率相等，這是偶然嗎？當(dāng)點(diǎn)P發(fā)生變化時(shí)，結(jié)果是否還是？當(dāng)橢圓發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)比值與其離心率是否還是相等的呢？下面借助數(shù)學(xué)軟件GeoGebra設(shè)定參數(shù)來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題（如圖2所示）.

通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，=，且與橢圓的離心率一直保持一致，那么能否證明這個(gè)結(jié)論呢？

定理1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)，F(xiàn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M，則==e（e為橢圓的離心率）.

證明：設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），在△PFF中，由角平分線定理=，得=，整理得（a+ex）（c-m）=（a-ex）（m+c），即ac-am+cex-mex=am+ac-mex-cex，得am=cex，即x=. 所以=====e.

推論1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）上任意點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)，F(xiàn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），則=e2（e為橢圓的離心率）.

（由定理1的證明知x===，所以=e2）

2. 延伸探索二

問(wèn)題2：雙曲線是否具有這個(gè)結(jié)論？

猜想：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)，F(xiàn)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M，則==e（e為雙曲線的離心率）.

再次借助數(shù)學(xué)軟件GeoGebra設(shè)定參數(shù)來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題（如圖3所示）.

通過(guò)探索，我們失望地看到，不等于雙曲線的離心率，但這并不影響我們對(duì)真理的渴望！既然這個(gè)比值不等于雙曲線的離心率，那么它等于什么呢？這個(gè)結(jié)果難以猜想，但我們通過(guò)軟件探索發(fā)現(xiàn)，這個(gè)比值雖然不會(huì)隨a，b的變化而變化，但會(huì)隨P點(diǎn)的變化而變化.

用代數(shù)法探索：

類比橢圓的研究方式，設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），在△PFF中，由角平分線定理=，可得=，即（ex+a）·（c-m）=（ex-a）（m+c），即ac-am+cex-mex=-am-ac+mex+cex，得mex=ac，即x=. 所以=====. 同理=. 所以====.

定理2：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)，F(xiàn)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M，則==.

推論2：已知雙曲線C：-=1（a，b>0）上任意點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)，F(xiàn)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠FPF的平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），則mx=a2.

（從定理2的探索中可知x===，所以mx=a2）

結(jié)束語(yǔ)

解析幾何試題為師生提供了研究載體以及深度學(xué)習(xí)與思考的空間. 一方面需要提取認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)信息，對(duì)問(wèn)題多元表征，探索解決問(wèn)題的多條路徑，豐富運(yùn)算手段，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程；另一方面需要深度研究試題所承載的內(nèi)涵性質(zhì)和思維延伸，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì). 從幾何角度來(lái)看，解析幾何的定值實(shí)際上是運(yùn)動(dòng)變化中的不變量；從代數(shù)角度來(lái)看，定值與參數(shù)的取值沒(méi)有關(guān)系.

從相關(guān)的解析幾何試題可以看出，題目中的幾何關(guān)系和代數(shù)運(yùn)算是一類一般問(wèn)題的特殊化研究，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察、猜測(cè)、抽象、概括和證明，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的遷移、組合和融會(huì)，最終挖掘出題目背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)價(jià)值和育人功能，做到直觀感知和邏輯論證相結(jié)合，幫助學(xué)生從感性認(rèn)知進(jìn)階理性認(rèn)知，對(duì)問(wèn)題延伸拓展、遷移類比、創(chuàng)新再造，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，讓我們一直走在問(wèn)題探索和思維生成的大路上.

作者簡(jiǎn)介：周躍佳（1986—），在職研究生，中學(xué)一級(jí)教師，昆明三中副校長(zhǎng)，呈貢區(qū)學(xué)科帶頭人，市級(jí)名師，昆明市首屆名班主任，省級(jí)優(yōu)課名師. 獲昆明市命題比賽一等獎(jiǎng)，獲賽課國(guó)家級(jí)一等獎(jiǎng)、省級(jí)一等獎(jiǎng)、市級(jí)一等獎(jiǎng).