培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的數(shù)學教學

［摘? 要］ 如何將培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)貫穿整個教學活動過程，是值得每個教育工作者思考與研究的問題. 文章以“異面直線”的概念教學為例，從“導引定義，培養(yǎng)抽象意識”“多元表征，培養(yǎng)想象能力”“合理分類，提升分析能力”等方面，具體談談如何在研究對象的獲取中，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ 概念教學；核心素養(yǎng)；異面直線

數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、模型、邏輯推理以及用數(shù)學的眼光或思維看待與思考世界，它是一種具備數(shù)學特征，且促進個人終生發(fā)展的一種思維品質(zhì)與能力［1］. 如何在數(shù)學教學中準確獲取研究對象，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處，是筆者近些年一直在實踐研究的問題.

“空間點、直線、平面之間的位置關系”這章節(jié)包括異面直線及表示、異面直線所成角等概念，涵蓋空間兩條直線的位置關系、平行公理4、分類、等角定理等內(nèi)容，其中等角定理與平行公理4為異面直線所成角的概念的形成服務. 因此，本章節(jié)的教學重點與難點在于“異面直線”的相關概念，其中異面直線、異面直線所成角等概念是研究空間點、直線、平面之間的位置關系的關鍵.

本文以“異面直線”的概念教學為例，就如何引導學生從整體到局部認識空間幾何的重點，逐步形成良好的空間想象力談一些看法；并結(jié)合教學實踐，在以發(fā)展學生各項數(shù)學能力為主導的方向下，精心設計教學過程，獲取研究對象，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

導引定義，培養(yǎng)抽象意識

想要培養(yǎng)學生的抽象意識，必須要有明確的研究對象與充分的抽象過程. 若研究對象不確定，無論研究活動的設計多么豐富，都無法達到真正意義上的數(shù)學抽象. 新課標明確提出，要學生在數(shù)學抽象中明確概念的關鍵要素與內(nèi)涵，并學會用數(shù)學語言進行表征與分類，以明確概念的內(nèi)涵與外延［2］.

“告知式”的傳統(tǒng)教學模式，使得學生無法確定研究對象，從而出現(xiàn)了學習障礙. 在獲取研究對象的過程中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，是時代賦予教師的任務，尤其是數(shù)學概念、定義與法則等的抽象過程，對培養(yǎng)學生的抽象能力具有深遠的影響.

教材在本章節(jié)對幾何圖形的特征進行了簡明扼要的描述，明確提出幾何圖形的本質(zhì)在于其形狀與位置關系. 學生若習慣性地以傳統(tǒng)思維去認識幾何圖形，則很難捕捉到其中的位置關系與主要形狀. 因此，教師設計教學時，應從學生的實際認知水平出發(fā)，根據(jù)學生建構(gòu)概念可能存在的困難，采取應對措施，如實物模型的使用、情境創(chuàng)設、實例分析等，為學生對概念的抽象與概括奠定堅實的基礎.

師：位于同一平面內(nèi)的兩根直線，存在哪些位置關系？

生（眾）：平行與相交的關系.

師：若將“同一平面”這個條件改為“空間”呢？

（學生沉默）

師：請大家拿兩支筆或兩根直尺，觀察它們的位置關系.

生1：將兩根直尺都放在桌面上，即同一平面上兩根直線有平行與相交的關系；而將一根直尺放在桌面上，將另一根直尺拿起來，則與桌面上的直尺相交或平行.

師：除了這兩種位置關系外，還存在其他位置關系嗎？

生2：有可能既不平行也不相交.

師：哦？這是一個新發(fā)現(xiàn)！大家觀察我們的教室，看看是否存在這種既不平行也不相交的兩根直線呢？

生3：如日關燈管和墻壁與地面的交線.

師：我能理解你的意思，但是表述不夠準確，應該是教室內(nèi)的日光燈管所在的那根直線和前墻與地板交線所在的直線，這兩者既不平行也不相交. 除了教室外，生活中還有很多這樣的例子，如橋梁所在的直線與水流所在的直線、旗桿所在的直線與跑道所在的直線等.

問題：如圖1所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB所在的直線與CC所在的直線，具有怎樣的位置關系？

生4：這兩根直線并不在一個平面上，它們之間既不平行也不相交.

師：的確，由以上生活實例和圖1，揭示了一個什么數(shù)學問題？

生5：兩根直線的位置關系，存在不平行也不相交的情況.

師：非常好！這就是我們今天本節(jié)課重點研究的對象. 現(xiàn)在請大家思考，在空間中既不平行也不相交的兩條直線是否能共面？為什么？

生6：我認為不共面，共面就涉及平行或相交的情況.

師：有道理，既然確定不共面，說明它們處于異面，我們能不能概括一下，什么叫異面直線？

生7：在空間內(nèi)既不平行也不相交的兩根直線，我們稱它們?yōu)楫惷嬷本€.

師：教材上，對異面直線的定義為“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”. 你們覺得哪種說法更精確一些？

生8：教材上的這種說法更突出“異面”這個特性，是從位置的關系來描述的，因此更精確一些.

設計意圖：對異面直線概念的抽象過程，讓學生明確研究對象，從中明確本節(jié)課的重點是對空間形式的研究. 教師先引導學生回顧直線在平面上的位置關系，再逐漸深入到直線在空間中的位置關系，并鼓勵學生從生活實例出發(fā)，對生活中一些事物所在的直線位置關系進行分析與研究，直觀圖形的應用，吸引了學生的注意力，學生從中自主抽象出了相應概念.

從該教學過程可見，數(shù)學抽象作為一種基本的數(shù)學思想，是幫助學生獲得理性思維的關鍵，它貫穿數(shù)學概念產(chǎn)生、發(fā)展與應用等過程. 教師若一味地引導學生從觀察、分析、歸納、演繹、類比、推理等角度詮釋數(shù)學對象，則遠遠達不到提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的. 只有從學生的認知發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導學生對研究對象進行深入分析，才能幫助學生建構(gòu)良好的抽象意識，讓學生明確該觀察什么，該分析、歸納與演繹什么，該如何進行類比、分析與推理，為形成良好的數(shù)學觀奠定基礎.

多元表征，培養(yǎng)想象能力

立體幾何除了用文字、符號或圖形語言進行表征外，還可以用模型等方式進行表征. 表征方法與學習者的觀察視角、認知水平和想象力等有著直接的聯(lián)系. 在教學設計時，教師應學會換位思考，盡可能站到學生的角度去分析、預設問題，通過觀察視角的切換來確定問題情境，以幫助學生建構(gòu)更加完整的認知體系，培養(yǎng)想象能力.

師：接下來，我們來探討一下異面直線繪制與表示的方法，請大家分組合作，看哪一組的答案又快又好.

組1：如圖2所示，添加一個平面來襯托.

師：這種想法不錯，你們是怎么想到這個方法的？

生9：根據(jù)前面的探究活動得以啟發(fā).

組2：如圖3所示，用兩個平面來表達.

師：這個想法很好，是否可以考慮用三個平面來襯托呢？

生10：我認為沒有這個必要，我們所研究的異面直線是兩條直線的位置關系，只要能表達清楚它們不在一個平面內(nèi)就可以了.

師：言之有理！通過對圖2與圖3的觀察，發(fā)現(xiàn)它們的共同點就是以平面襯托的方式，凸顯兩條直線既不平行也不相交的關系.

設計意圖：引導學生從文字、圖形與模型等角度，獲得“異面直線”這個研究主題，并在動手畫一畫中建構(gòu)新知，通過此過程有效發(fā)展學生的空間想象力.

直觀想象是核心素養(yǎng)重要組成部分之一，它主要是借助幾何直觀與空間想象，感知事物的空間形式、形態(tài)與變化等，從而在大腦中建構(gòu)明確的認識. 異面直線是建立在空間抽象基礎上，形成的一種直觀模型，屬于直觀想象的再抽象.

本課例緊扣異面直線的多元表征方式，從畫法、表達法等角度著手，鼓勵學生從多方面嘗試，從不同的角度觀察并建構(gòu)新的模型. 在教師適當?shù)狞c撥與引導下，學生的直觀想象能力得以有效發(fā)展，使得異面直線的表達方式烙印于學生的認知結(jié)構(gòu).

實踐證明，直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的基本手段，是形成論證思路，進行推理并抽象結(jié)構(gòu)的基礎，也是幫助學生建立空間想象力，突破立體幾何這個難題的關鍵. 但這種素養(yǎng)的形成也不是一蹴而就的，并非通過幾節(jié)課就能完成，它需要學生在實踐中不斷地自我建構(gòu)、反思，讓思維呈螺旋式上升.

作為教師，應提供更多動手、動腦的機會給學生，幫助學生多角度搭建對話平臺，鼓勵學生在實戰(zhàn)中，學會多視角分析與討論問題，訓練想象能力，以掌握畫圖的基本要領，把握各種表征方法，為建構(gòu)扎實的數(shù)學思維奠定基礎.

合理分類，提升分析能力

所謂的分類是指依照一定的標準，不重不漏地對研究對象按照種類、等級或性質(zhì)進行歸類. 于立體幾何而言，分類標準主要以要素特征或關系進行，這也是充分理解數(shù)學對象的一種常規(guī)方式. 學生受認知水平的限制，對立體幾何的分類意識不是很強，教師可引導學生從前后聯(lián)系與數(shù)學分析等角度順勢而為，幫助學生建立良好的分類意識，為學生核心素養(yǎng)的形成奠定基礎. 異面直線的位置關系，可通過模型的建立來理解分類對象，提升學生的數(shù)據(jù)分析能力與分類意識.

師：從以上探究過程來看，大家對異面直線已經(jīng)有了一定的認識，并能通過不同的方式突出“異面”的特征. 現(xiàn)在我們換一個角度來思考：異面直線是不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，且沒有公共點，那么在空間內(nèi)，沒有公共點的兩條直線一定是異面的嗎？

（學生陷入沉思）

為了激發(fā)學生思維，筆者引導學生進行以下實驗探究：

探究活動1：將一根直尺置于桌面，另一根直尺拿在手里，變化手中直尺的位置，觀察這兩根直尺是否一定處于異面的狀態(tài).

探究活動2：打開數(shù)學書，將兩根直尺分別放在存在一定角度的兩個面內(nèi)，判斷它們所在的直線是否一定為異面的關系.

（學生操作、探討、研究）

生11：從操作過程來看，存在圖2、圖3呈現(xiàn)的情況，也存在其他情況，空間沒有公共點的兩條直線平行或異面.

師：非常好！通過我們親自實踐、觀察，從直觀的角度感知幾何體的空間特征，為數(shù)學猜想與思考提供了明確的線索. 從以上探究過程來看，從正反不同角度分門別類地分析與猜想問題，能對研究對象產(chǎn)生更加深刻的理解. 由此，大家能總結(jié)出空間兩條直線存在哪些位置關系嗎？

生12：存在共面與異面兩種位置關系.

生13：我認為應該是相交、平行與異面三種位置關系.

師：看來大家還存在不同的意見，分類的原則是“不重不漏”，關鍵是抓住分類標準. 現(xiàn)在請大家以小組為單位，再次討論該怎么分類.

學生通過合作學習，獲得了以下結(jié)論：

數(shù)據(jù)分析主要是指應用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行分析、整理與推斷的過程，這種能力對數(shù)學核心素養(yǎng)的形成具有直接影響［3］. 空間直線位置關系，除了要弄清楚分類標準外，還要獲得數(shù)據(jù)提取、收集、整理等能力，為準確推斷奠定基礎.

抓住這個特征，筆者在本課教學中，從畫圖等簡單的方法出發(fā)，讓學生以圖2、圖3呈現(xiàn)的要素特征作為思維的切入點，再以反面問題啟發(fā)學生思維，讓學生帶著疑問進行活動探究，學生親歷實驗操作，進一步獲得從不同角度分析問題的能力.

盡管學生對分類方法產(chǎn)生了分歧，但這表現(xiàn)出了學生積極思考、勇于表達的良好品質(zhì). 教師根據(jù)學生存在的問題，給予適當?shù)狞c撥，并鼓勵學生以小組合作學習的模式，對問題重新進行思考，并獲得了完整的結(jié)論. 在此教學過程中，學生積累了一定的探究經(jīng)驗，獲得了合理的分類標準，充分發(fā)掘了數(shù)據(jù)的信息價值，有效地促進了數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

隨著時代的發(fā)展，數(shù)據(jù)分析應用的范圍越來越廣泛，不論是科學、工程、技術還是生活的方方面面，都離不開數(shù)據(jù)分析的支持. 因此，教師在教學中，應科學設計相應的探究活動，讓學生主動獲取數(shù)據(jù)信息，自主建構(gòu)依托現(xiàn)代社會應用數(shù)據(jù)的運行機制，形成用數(shù)學的眼光看待世界、用數(shù)學的思維思考問題的習慣.

總之，概念教學需要經(jīng)歷定義、表征與分類等過程，在就地取材的實物模型教學中，學生不僅能獲得多元表征的能力，還能形成從不同視角用數(shù)學的眼光分析問題的習慣. 尤其在教學的前后聯(lián)系與數(shù)據(jù)分析中，學生可深刻理解數(shù)學的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］? 章建躍. 核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)5）——《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學數(shù)學教學參考，2019（31）：9-14.

［2］? 核心素養(yǎng)研究課題組. 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)［J］. 中國教育學刊，2016（10）：1-3.

［3］? R·柯朗，H·羅賓. 什么是數(shù)學［M］.左平，張怡慈，譯. 上海：復旦大學出版社，2006.

作者簡介：徐婧婧（1983—），本科學歷，從事高中數(shù)學教學工作.