二維磁微極流體方程一致吸引子的分形維數(shù)

吳 苑， 李曉軍

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

當(dāng)考慮二維不可壓流體的微觀結(jié)構(gòu)及電磁特性時(shí),本文研究如下磁微極流體方程組：

(1)

(2)

(3)

divu=0，divh=0,

(4)

u(x,τ)=uτ,ω(x,τ)=ωτ,h(x,τ)=hτ,x∈Ω,τ∈R,

(5)

u(x,t)=ω(x,t)=h(x,t)=0,(x,t)∈?Ω×[τ,∞),

(6)

并且非自治外力是概周期的.

流體力學(xué)是自然科學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,如流體力學(xué)Navier-Stokes方程，它能有效描述流體中的湍流現(xiàn)象,是牛頓第二定律在流體中的推廣,關(guān)于該方程的研究已取得許多進(jìn)展.但隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)大量的流體中含有微粒(如血液、液晶、懸浮液等)且這些微粒間存在相互作用.為了研究這些微粒間的作用對(duì)流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響,Eringen在文獻(xiàn)[1]中最早提出微極流體模型.它與經(jīng)典流體力學(xué)模型的區(qū)別在于在流體的每一點(diǎn)，除了普通速度u以外,還考慮了微旋轉(zhuǎn)速度ω.此后,微極流體方程得到了廣泛研究[2-4].文獻(xiàn)[5]最早介紹了磁微極流體模型.它可用來(lái)描述導(dǎo)電微極流體在磁場(chǎng)存在下的運(yùn)動(dòng),在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用,如航天航空科學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域.對(duì)磁微極流體的深入研究,有助于更好地理解與其相關(guān)的、應(yīng)用更廣泛的流體力學(xué)方程.

本文主要研究二維磁微極流體方程解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)的幾何刻畫(huà).無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)研究的基本問(wèn)題之一是找到一個(gè)約化系統(tǒng),使其表現(xiàn)出與原系統(tǒng)相同的漸近行為.吸引子可以用來(lái)描述方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為,但在無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中吸引子有時(shí)間和空間上的混沌現(xiàn)象,結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜.分形維數(shù)是描述物體占有空間規(guī)模和復(fù)雜程度的重要指標(biāo),可以用來(lái)簡(jiǎn)單刻畫(huà)吸引子的幾何性質(zhì).同時(shí),非自治動(dòng)力系統(tǒng)在一定條件下具有一些自治系統(tǒng)的特性,因而研究一致吸引子的存在性及其結(jié)構(gòu)是非自治系統(tǒng)的主要問(wèn)題之一.文獻(xiàn)[6]研究了微極流體模型中自治情形下全局吸引子的存在性及其有限維性.該結(jié)果只涵蓋了外力項(xiàng)是常數(shù)的情況.文獻(xiàn)[7-8]利用相空間H與V之間的光滑性以及V緊嵌入到H中的Kolmogorovε-熵,證明了二維Navier-Stokes方程一致吸引子的維數(shù)有限性.本文應(yīng)用該方法證明方程組(1)～(6)的一致吸引子具有有限的分形維數(shù).但是磁微極流體模型中需要考慮微旋轉(zhuǎn)場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的影響,在原方程中加入u·?ω和vr?·ω等項(xiàng),使得解的估計(jì)更加困難,比研究Navier-Stokes方程更復(fù)雜.由于有限的分形維數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)有限的幾何維數(shù)，故本文結(jié)果可為該方程的數(shù)值模擬與計(jì)算提供理論依據(jù).

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)與函數(shù)空間

1.2 一些算子的定義及性質(zhì)

定義三線性泛函:對(duì)所有的u,v,?∈V,定義

由分部積分公式可得

b(u,v,?)=-b(u,?,v),b(u,v,v)=0,?u,v,?∈V,

(7)

(8)

b1(u1,ω2,φω)+b(u1,h2,φh)-b(h1,u2,φh).

由(7)～(8)式可得

(9)

α(?ω,?φω)+γ(?h,?φh)+β(divω,?φω)，

由文獻(xiàn)[9-11]可知上述算子有下列性質(zhì).

引理2[10-11](ⅰ)存在常數(shù)δ=δ(vr,Ω),使得

-(R(w),Aw)≤

(10)

(11)

(ⅱ)存在常數(shù)α′>0,δ′>0，使得

(12)

(13)

(ⅲ)存在某個(gè)常數(shù)c1,c2>0,使得

(14)

(15)

R(w(t))=G(t),t>τ,τ∈R,

(16)

w(τ)=wτ=(uτ,ωτ,hτ),τ∈R,

(17)

其中G(t)為依賴(lài)于時(shí)間的函數(shù).

文獻(xiàn)[12-13]用Galerkin方法證明了問(wèn)題(16)～(17)解的存在唯一性，得到如下結(jié)果.

1.3 一致吸引子

設(shè)X是一個(gè)Banach空間,令{U(t,τ)}={U(t,τ)|t≥τ,τ∈R}是作用于X的雙參數(shù)映射,即U(t,τ):X→X,t≥τ,τ∈R.

定義1稱(chēng)雙參數(shù)映射{U(t,τ)}為X中的一個(gè)過(guò)程,若其滿(mǎn)足

U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ),?t≥s≥τ,τ∈R,U(τ,τ)=Id,τ∈R.

(18)

1.4 一致吸引子的分形維數(shù)

估計(jì)預(yù)緊集的分形維數(shù)對(duì)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的有限維約化有很重要的作用[14].令(M,dM)是一個(gè)度量空間,K?M是M的一個(gè)非空預(yù)緊集,K在M上的分形維數(shù)定義為

其中NM[K;ε]表示M中半徑為ε,覆蓋K的開(kāi)球的最小數(shù)目.

(H1)輔助Banach空間Y緊嵌入到Banach空間X;

(H4){UG(t,τ)}t≥τ在吸收集B上是一致(X,Y)-光滑的,即對(duì)任意的t>0,存在κ(t)>0,使得

?u,v∈B;

其中1≤L(t)≤c1eβ t,c1,β>0.

定義3對(duì)ε>0,度量空間M中的預(yù)緊集K的Kolmogorovε-熵為

Hε(K;M)=lnNM[K;ε].

Hε(Y;X)∶=Hε(BY(0,1);X)=lnNM[BY(0,1);ε].

下面給出Banach空間X、Y中一致吸引子分形維數(shù)有限性的抽象結(jié)果,其詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

利用將輔助Banach空間Y緊嵌入相空間X的方法能得到X中一致吸引子A的分形維數(shù)有限性.下面我們給出一致吸引子A在輔助Banach空間Y中分形維數(shù)的有限性.

2 解的一致估計(jì)

在本節(jié)中,我們推導(dǎo)問(wèn)題(16)～(17)的解的一些估計(jì),這對(duì)證明方程一致吸引子的分形維數(shù)有限性有重要作用.

(19)

(20)

其中c>0是一個(gè)常數(shù).

(B(w,w),w)+(R(w),w)=(G,w).

(21)

由(9)式知(B(w,w),w)=0.再根據(jù)(12)式可得

(22)

對(duì)(22)式右邊應(yīng)用Young不等式和Poincare不等式可得

(23)

由(22)～(23)式可得

(24)

(25)

再次考慮(21)式,應(yīng)用(13)式可得

由Young不等式和Poincare不等式可得

應(yīng)用Gronwall不等式,可得

從而

(26)

所以結(jié)論成立.

(27)

(B(w,w),Aw)+(R(w),Aw)=(G,Aw).

(G,Aw)-(B(w,w),Aw)-(R(w),Aw)≤

(28)

由上式可得

由Gronwall不等式知,對(duì)所有t≥s>τ,有

(29)

應(yīng)用(19)～(20)式可得

故由(29)式可得

所以結(jié)論成立.

(30)

根據(jù)Young不等式可得

對(duì)上式應(yīng)用Gronwall不等式可得

(31)

因?yàn)閠-τ≥ε,ε∈(0,1],由(20)式及(27)式可得

(32)

其中cR>0是僅與R有關(guān)的常數(shù).由(31)式可得

(33)

再根據(jù)引理6得證.

由(15)式可得

由Young不等式及(10)式可得

應(yīng)用引理1,由上式可得

對(duì)上式應(yīng)用Gronwall不等式可得

?t≥s>τ.

(34)

(35)

其中cR是一個(gè)只與R有關(guān)的常數(shù).由(34)～(35)式可得

再應(yīng)用(33)式可得

其中ε∈(0,1].所以結(jié)論成立.