季節(jié)性時(shí)間序列建模的“教”與“思”

韓 苗， 周圣武， 金子龍

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

1 引 言

季節(jié)變動(dòng)，是指社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象隨著季節(jié)的變化而呈現(xiàn)的周期性變動(dòng).不分析研究、認(rèn)識(shí)掌握現(xiàn)象的季節(jié)變化規(guī)律，常常會(huì)使模型的預(yù)測(cè)作用減弱甚至喪失.針對(duì)季節(jié)性時(shí)間序列，一般在統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)課程教學(xué)中，可供選擇的方法較多，如溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型、季節(jié)性交乘趨向模型、含虛擬變量回歸模型、ARMA模型等方法[1-2].不同預(yù)測(cè)模型各具特點(diǎn)，在教學(xué)中為了綜合比較這幾種模型，本文從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，探討模型的應(yīng)用實(shí)踐.

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是衡量經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的重要指標(biāo)之一，研究GDP的預(yù)測(cè)分析問(wèn)題具有重要的實(shí)際意義.很多學(xué)者針對(duì)不同類型的數(shù)據(jù)，如季度GDP[3-5]、年度GDP[6]及地區(qū)GDP[7-9]等進(jìn)行分析，追求預(yù)測(cè)精度更高的模型及算法.由于本文考察的是季節(jié)性時(shí)間序列建模方法，因此選取我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值當(dāng)季值(億元)進(jìn)行研究，基于四種傳統(tǒng)的季節(jié)性時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，模型易于理解而且預(yù)測(cè)效果較優(yōu)，為我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)分析提供參考.在綜合建模分析的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化應(yīng)用實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合能力和高階思維.

2 預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

2.1 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型

溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型是描述既有線性趨勢(shì)又有季節(jié)變化序列的模型，一般有兩種形式，一種是線性趨勢(shì)與季節(jié)相乘形式；另一種是線性趨勢(shì)與季節(jié)相加形式.這里考慮相乘形式，即Holter-Winter 季節(jié)乘積模型，預(yù)測(cè)模型為

Ft+m=(St+btm)It-L+m，

(1)

式(1)中，m為預(yù)測(cè)的超前期數(shù)，且包含時(shí)序的三種成分：平穩(wěn)性(St)、趨勢(shì)性(bt)、季節(jié)性(It).它們都是建立在三個(gè)平滑值基礎(chǔ)上的，分別為

(2)

bt=β(St-St-1)+(1-β)bt-1， 0<β<1，

(3)

(4)

式中，L為季節(jié)周期長(zhǎng)度.I為季節(jié)調(diào)整因子，α，β，γ為三個(gè)平滑參數(shù).

2.2 季節(jié)性交乘趨向模型

季節(jié)性交乘趨向模型如下：

(5)

式中，Vt是時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)；fi是時(shí)間序列各季的季節(jié)指數(shù)，且

式中，F(xiàn)i是各期實(shí)際的季節(jié)指數(shù)，由當(dāng)期實(shí)際值除以趨勢(shì)值得到，T是季節(jié)周期的長(zhǎng)度，m是季節(jié)周期的個(gè)數(shù).

2.3 含虛擬變量回歸模型

在回歸模型中，一般解釋變量即自變量都是連續(xù)取值的，但實(shí)際問(wèn)題中，影響被解釋變量變化的可能還有一些屬性變量.如學(xué)歷、性別、職業(yè)對(duì)收入的影響；一些月度或季度數(shù)據(jù)可能會(huì)受季節(jié)的影響.為了量化這些因素，通常會(huì)根據(jù)因素的屬性類別，構(gòu)造只取“0”或“1”的虛擬變量.虛擬變量的引入通常有三種形式：加法形式、乘法形式、加乘同時(shí)引入形式.

對(duì)于一般的一元線性回歸模型

yt=β0+β1xt+εt，

(6)

εt滿足回歸模型基本假設(shè).加法形式是將虛擬變量直接加到上面模型中，即

yt=β0+β1xt+αDt+εt，

(7)

式中Dt是虛擬變量，只取“0”或“1”.乘法形式是將虛擬變量與解釋變量相乘后引入模型，即

yt=β0+β1xt+γDtxt+εt.

(8)

加法與乘法同時(shí)引入的形式(加乘形式)是將虛擬變量直接加到模型中，同時(shí)又將虛擬變量與解釋變量相乘后引入模型，即

yt=β0+β1xt+αDt+γDtxt+εt.

(9)

2.4 自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型

自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型是經(jīng)典的時(shí)間序列分析方法，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.該模型建模步驟主要包括平穩(wěn)性檢驗(yàn)、模型識(shí)別、模型建立與選擇和預(yù)測(cè).如果時(shí)間序列包含季節(jié)性和趨勢(shì)性特征，可以通過(guò)d階逐期差分和D階季節(jié)差分使其平穩(wěn)化，再建立ARMA模型.通常將模型記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s，具體形式如下：

φp(B)ΦP(Bs)(1-B)d(1-Bs)Dyt=θq(B)ΘQ(Bs)εt，

(10)

式中，p是自回歸階數(shù)；q是移動(dòng)平均階數(shù)；P是季節(jié)性自回歸階數(shù)；Q是季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù).其中

φp(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

是p階自回歸算子；

θq(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

是q階移動(dòng)平均算子；

ΦP(Bs)=1-Φ1Bs-Φ2B2s-…-ΦPBPs

是季節(jié)性P階自回歸算子；

ΘQ(Bs)=1-Θ1Bs-Θ2B2s-…-ΘQBQs

是季節(jié)性Q階移動(dòng)平均算子.

3 中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)分析

本文采用的數(shù)據(jù)為2000年第1季度至2020年第4季度中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值當(dāng)季值(億元)季度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源國(guó)家統(tǒng)計(jì)局，數(shù)據(jù)序列如圖1所示.從長(zhǎng)期來(lái)看，季度GDP序列總體呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，并且具有明顯的季節(jié)性特征.

圖1 中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)序圖

下面采用前面介紹的四種常用的季節(jié)性時(shí)間序列建模方法對(duì)我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.這里將2000年第1季度至2018年第4季度數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，用于建立模型，選取2019年第1季度至2020年第4季度數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)效果，最終預(yù)測(cè)2021年的季度GDP數(shù)據(jù).

3.1 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)結(jié)果

建立溫特線性季節(jié)性指數(shù)平滑模型，首先要給定初值，分別選取初值

初始季節(jié)指數(shù)可以通過(guò)下面公式計(jì)算

其中

其次，要選取平滑參數(shù)，這里通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，綜合比較最終選取平滑參數(shù)分別為α=0.5，β=0.5，γ=0.6，利用式(1)—(4)計(jì)算可得各期預(yù)測(cè)值.

最終得到預(yù)測(cè)結(jié)果2001年第2季度至2018年第4季度預(yù)測(cè)期內(nèi)的均方根誤差RMSE=1759.115404，平均絕對(duì)百分誤差MAPE=1.521%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的均方根誤差RMSE=13639.86425，平均絕對(duì)百分誤差MAPE=4.166%.

3.2 季節(jié)性交乘趨向模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)季度GDP時(shí)間序列的非線性變化特征，建立如下季節(jié)性交乘趨向模型：

式中，β0+β1t+β2t2是GDP時(shí)間序列非線性趨勢(shì)部分.

設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值當(dāng)季值序列的趨勢(shì)方程為

Vt=β0+β1t+β2t2，

采用最小二乘法，得到趨勢(shì)的估計(jì)方程(括號(hào)中的數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值)：

且可以得到R2=0.981975，接近1，擬合程度高.F檢驗(yàn)值為1988.43，顯然F檢驗(yàn)通過(guò).D.W=2.098135，表明隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在序列相關(guān)，趨勢(shì)方程整體擬合效果較好.

表1 季節(jié)指數(shù)與修正的季節(jié)指數(shù)

由上面結(jié)果可得

通過(guò)計(jì)算可得2000年第1季度至2018年第4季度預(yù)測(cè)期內(nèi)的均方根誤差RMSE=3697.749096，平均絕對(duì)百分誤差MAPE=4.276%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的均方根誤差RMSE=14767.88079，平均絕對(duì)百分誤差MAPE=4.716%.

3.3 含虛擬變量回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果

這里通過(guò)引入虛擬變量來(lái)刻畫季節(jié)性特征，同時(shí)因?yàn)闀r(shí)間序列具有遞增的非線性趨勢(shì)特征，在二次多項(xiàng)式函數(shù)趨勢(shì)基礎(chǔ)上，引入表示季節(jié)因素的虛擬變量，分別記作

由于引入虛擬變量，區(qū)分了不同季度的影響，更好的揭示了變量之間的關(guān)系，因此會(huì)提高預(yù)測(cè)精度.對(duì)于虛擬變量的引入，本文分別采用加法形式，乘法形式以及加乘同時(shí)引入形式模型.通過(guò)數(shù)值結(jié)果分析，模型優(yōu)化，最終采用乘法形式的虛擬變量回歸模型.具體模型如下：

yt=β0+β1t+β2t2+β3D1t×t+β4D2t×t+β5D3t×t+εt，

采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，估計(jì)結(jié)果見下表.

表2 含虛擬變量回歸模型參數(shù)估計(jì)

模型整體擬合效果較好，通過(guò)預(yù)測(cè)分析，可得2000年第1季度至2018年第4季度樣本期內(nèi)的均方根誤差RMSE=3714.049862，平均絕對(duì)百分誤差MAPE=4.441%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的RMSE=14027.03523，MAPE=3.921%.

3.4 ARMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果

3.4.1 時(shí)間序列特征分析

首先對(duì)GDP當(dāng)季值序列yt進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn).采用單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見表3，ADF=-1.221931，在顯著性水平(1%～10%)下，大于ADF 臨界值，且相伴概率為0.8979，充分說(shuō)明該序列是非平穩(wěn)的.

表3 我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

為了消除趨勢(shì)并減小序列的波動(dòng)性，對(duì)原序列取自然對(duì)數(shù)，并做逐期差分，通過(guò)分析比較最終選擇做1階逐期差分.從自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖來(lái)看，序列的趨勢(shì)基本消除，但當(dāng)k=4，k=8時(shí)，樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，表明季節(jié)性存在，繼續(xù)做一階季節(jié)差分.從表4的計(jì)算結(jié)果可以看出我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值取對(duì)數(shù)差分后的時(shí)間序列通過(guò)了平穩(wěn)性檢驗(yàn)，且序列通過(guò)0均值檢驗(yàn).說(shuō)明原始序列通過(guò)取對(duì)數(shù)，1階逐期差分和1階季節(jié)差分后可以建立ARMA模型，即可建立ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)4模型，模型階數(shù)需要綜合平穩(wěn)化序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖以及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)選擇.

表4 我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值取對(duì)數(shù)差分后時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

3.4.2 模型的識(shí)別

通過(guò)觀察平穩(wěn)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)結(jié)果來(lái)幫助選擇模型階數(shù)，建立合適的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，平穩(wěn)化序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)結(jié)果如圖2所示.

圖2 我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值平穩(wěn)化后自相關(guān)偏自相關(guān)圖

結(jié)合自相關(guān)和偏自相關(guān)分析，考慮模型形式分別為ARIMA(2,1,3)(1,1,1)4和ARIMA(2,1,3)(2,1,2)4，同時(shí)ARIMA(2,1,3)(2,1,2)4模型又具體考慮了兩種情況.

3.4.3 模型的建立與選擇

由計(jì)算結(jié)果可知，三個(gè)模型都滿足平穩(wěn)可逆條件.將三個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)和相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果匯總列入表5和表6.

表5 不同ARIMA模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表6 不同ARIMA模型檢驗(yàn)結(jié)果

另外，模型的殘差序列通過(guò)檢驗(yàn).比較表中各個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果，第三個(gè)模型的AIC和SC較小，不管是樣本期內(nèi)還是樣本期外的MAPE值顯示其預(yù)測(cè)精度最高.因此選擇第三個(gè)模型比較合適，其展開式為

(1+0.7609B4+0.1174B8)(1-0.3053B-0.6783B2)(1-B4)(1-B)ln(yt)

=(1-0.6302B+0.6432B2+0.9840B3)(1+0.0148B4+0.9447B8)εt.

3.4.4 預(yù)測(cè)

4 模型結(jié)果比較分析

為了比較四種模型的預(yù)測(cè)效果，筆者將真實(shí)值與四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果繪制成下面圖3，Y表示GDP時(shí)間序列，YF1表示溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)結(jié)果，YF2表示季節(jié)性交乘趨向模型預(yù)測(cè)結(jié)果，YF3表示含虛擬變量回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果，YF4表示ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果.從圖3來(lái)看，四個(gè)模型整體預(yù)測(cè)效果較優(yōu).對(duì)于樣本期外的預(yù)測(cè)，從圖形來(lái)看預(yù)測(cè)誤差較大的時(shí)間點(diǎn)是2020年第1季度，這由于新冠肺炎疫情突發(fā)事件的影響，導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差偏大.但同時(shí)也看到了，疫情雖然短期會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)造成重大沖擊，但是并不會(huì)改變中國(guó)經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)期向好的根本趨勢(shì).

從圖3中很難定量比較四個(gè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的差別，為了精確比較差異，將數(shù)值結(jié)果匯總至表7.由于不同的模型建模會(huì)存在初值問(wèn)題，差分問(wèn)題，因此會(huì)有部分樣本數(shù)據(jù)損失.這里為了方便比較，將樣本期內(nèi)時(shí)間段統(tǒng)一為2004年第1季度至2018年第4季度.樣本期外仍然統(tǒng)一為2019年第1季度至2020年第4季度.

圖3 我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果

從表7中的數(shù)據(jù)可以看出，從樣本期內(nèi)擬合效果來(lái)看，ARIMA模型最優(yōu)，溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型次之，季節(jié)交乘趨向模型和含虛擬變量回歸模型擬合效果相對(duì)差些.但是從樣本期外預(yù)測(cè)效果來(lái)看，含虛擬變量回歸模型預(yù)測(cè)效果最好，溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型次之.四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果存在差異，但整體效果較優(yōu).

表7 四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較分析

為了分析2021年各季度GDP的發(fā)展?fàn)顩r，進(jìn)一步對(duì)2021年四個(gè)季度GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，數(shù)值結(jié)果見表8，可以看出未來(lái)我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值仍然是保持穩(wěn)步增長(zhǎng)態(tài)勢(shì).

表8 2021年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值四種模型預(yù)測(cè)結(jié)果(億元)

5 結(jié) 論

本文以我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)間序列為研究對(duì)象，重點(diǎn)探究季節(jié)性時(shí)間序列的建模方法，從定量的角度分析我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的變化趨勢(shì)，以及對(duì)未來(lái)的發(fā)展預(yù)測(cè)分析.結(jié)果表明四種模型整體對(duì)我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的預(yù)測(cè)效果較好.但2020年第1季度預(yù)測(cè)結(jié)果偏差較大，這主要是因?yàn)樾鹿诜窝滓咔橥话l(fā)事件的影響，從而說(shuō)明對(duì)于突發(fā)事件預(yù)測(cè)也是無(wú)能為力.雖然疫情短期對(duì)經(jīng)濟(jì)造成重大沖擊，但并不影響中國(guó)經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)期向好的基本面.比如從ARIMA 預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看，2021年GDP將增長(zhǎng)8.1%.預(yù)測(cè)結(jié)果支持2021年3月5日李克強(qiáng)總理作政府工作報(bào)告中2021年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)6%以上的預(yù)期目標(biāo).在教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)開展思政教育[10]，引導(dǎo)學(xué)生用全面、辨證、科學(xué)、長(zhǎng)遠(yuǎn)的眼光看待我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，堅(jiān)定信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)以致用、科技報(bào)國(guó)的家國(guó)情懷和使命擔(dān)當(dāng).

通過(guò)綜合案例分析，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件在數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析等方面的操作技能.培養(yǎng)學(xué)生深入理解統(tǒng)計(jì)建模思想，提升統(tǒng)計(jì)思維.統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)建模是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，是通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的，因此教學(xué)過(guò)程中要教育學(xué)生樹立正確的統(tǒng)計(jì)責(zé)任意識(shí)，嚴(yán)肅認(rèn)真、實(shí)事求是.統(tǒng)計(jì)建模允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的預(yù)測(cè)方法，因此統(tǒng)計(jì)建模對(duì)結(jié)果的判斷原則不能是“對(duì)”或“錯(cuò)”，只能是“好”或“壞”，在教學(xué)過(guò)程中要強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法的選擇與優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生精益求精的工匠精神.

本文采用的是傳統(tǒng)的季節(jié)性時(shí)間序列建模方法，模型易于理解而且預(yù)測(cè)效果較優(yōu).在建模過(guò)程中也嘗試使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[9]，但是從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看，該方法對(duì)于樣本期內(nèi)預(yù)測(cè)效果較優(yōu)，但是樣本期外預(yù)測(cè)精度不高.在不斷探索優(yōu)化的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)嘗試創(chuàng)新組合預(yù)測(cè)模型[8-9,11]、周期ARMA模型[12]等，提高課程學(xué)習(xí)的創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.