實(shí)數(shù)集到時(shí)標(biāo)上的概念推廣的若干原則

趙莉莉

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 昆明 650091)

1 引 言

微分方程與差分方程在理論與實(shí)際應(yīng)用上具有相同的研究價(jià)值，探究微分方程與差分方程解的存在性與唯一性一直是研究熱點(diǎn)，取得了不少的研究成果[1-3], 但是分別研究這兩類方程又會(huì)在無形之中加大工作量，時(shí)標(biāo)理論很好地解決了這一問題，它能將兩者有機(jī)地統(tǒng)一起來，只需將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上，建立時(shí)標(biāo)上相應(yīng)的理論，當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集和整數(shù)集時(shí)，所得到的理論就分別是微分方程和差分方程中的理論.因此，將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上是有意義的.

2 遵循的原則

如果將定義在實(shí)數(shù)集上的某類函數(shù)推廣到了時(shí)標(biāo)上，但在時(shí)標(biāo)上卻找不到這種函數(shù)的例子，那該定義的推廣就是毫無意義的，所以，從實(shí)數(shù)集到時(shí)標(biāo)上的概念推廣，第一個(gè)應(yīng)該遵循的原則是—推廣后的概念是良定義.

2.1 良定義

在筆者的以前的論文中[4]已經(jīng)將加權(quán)偽概周期函數(shù)的概念推廣到了時(shí)標(biāo)上，并在時(shí)標(biāo)上討論了這類函數(shù)的一系列性質(zhì)，得到了時(shí)標(biāo)上一階動(dòng)力方程的加權(quán)偽概周期解的存在性定理，使得在時(shí)標(biāo)上探討動(dòng)力系統(tǒng)的加權(quán)偽概周期解的存在性成為了可能，為了佐證所推廣的定義是合理的，本文將給出時(shí)標(biāo)上加權(quán)偽概周期函數(shù)的例子.

定義1[5]實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)非空閉子集稱為一個(gè)時(shí)標(biāo).稱時(shí)標(biāo)T是一個(gè)概周期時(shí)標(biāo)，是指Π∶={r∈∶t±r∈T,?t∈T}≠{0}.

注1 容易看出0∈Π,即Π并非空集，故由定義1可得：稱時(shí)標(biāo)T是一個(gè)概周期時(shí)標(biāo)，是指?r≠0,使得對于每一個(gè)t∈T,都有t±r∈T成立.

定義2[4]稱u∶T→[0,+∞)是一個(gè)權(quán)函數(shù)，是指u在T上局部可積，且?guī)缀跆幪帪檎?用U表示時(shí)標(biāo)上全體權(quán)函數(shù)構(gòu)成的集合.

定義3[4]設(shè)u∈U∞.稱一個(gè)連續(xù)函數(shù)f∶T→n是加權(quán)偽概周期函數(shù)，是指：f可以表示為f=φ+ψ,其中φ∈AP(T,n)是一個(gè)概周期函數(shù)，而ψ∈PAP0(T,n,u).定義函數(shù)空間PAP0(T,n,u)如下：

從T映射到n的全體加權(quán)偽概周期函數(shù)構(gòu)成的集合用PAP(T,n,u)表示.定義3將加權(quán)偽概周期函數(shù)的概念從實(shí)數(shù)集上推廣到了時(shí)標(biāo)上.

令h(t)=sin(πt)e-|t|,則h(t)∈BC(T,).由

可得

從而

即h(t)=sin(πt)e-|t|∈PAP0(T,,u),再考慮到g(t)=cos(πt)是該時(shí)標(biāo)上的概周期函數(shù)，所以

f(t)=cos(πt)+sin(πt)e-|t|∈PAP(T,,u).

2.2 一致性

實(shí)數(shù)集是時(shí)標(biāo)的特例，將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上之后，當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí)，所得到的概念應(yīng)該與實(shí)數(shù)集上的概念一致.

在本小節(jié)中, 將以全局指數(shù)穩(wěn)定性為例進(jìn)行探討.在時(shí)標(biāo)上討論如下的一階微分方程組

(1)

其中系統(tǒng)(1)的初值為

近幾年來，關(guān)于時(shí)標(biāo)上各類微分系統(tǒng)的各類解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性的研究,已經(jīng)取得了不少的成果[6-8].若用這些文獻(xiàn)中所采用的方法, 定義系統(tǒng)(1)解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，其定義如下.

其中

當(dāng)時(shí)標(biāo)退化成實(shí)數(shù)集時(shí)，定義4相應(yīng)地退化為定義5.

其中

但是實(shí)數(shù)集上全局指數(shù)穩(wěn)定的定義[9-11], 應(yīng)是定義6.

其中

顯然，對于每一個(gè)δ∈[-s,0]，都有e-λ(t-δ)≤e-λt成立，反之卻不一定成立，即定義5比定義6強(qiáng)，這是不合理的，不妨修改定義4如下.

其中

當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí)，定義7也就退化成了定義6.采用定義7的方法，也可以定義時(shí)標(biāo)上其它微分系統(tǒng)解函數(shù)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.

3 繼承性

首先證明Π=.由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造，易得?Π.?r∈Π,因?yàn)?∈T,所以r∈T,即Π中的每一個(gè)常數(shù)都可以表示成的形式,其中k是一個(gè)整數(shù)，n是一個(gè)正整數(shù).現(xiàn)證明n只能取1，即Π?.若不然，因?yàn)?Π，且Π關(guān)于實(shí)數(shù)的加法與減法都是封閉的，所以?n0≥2,使得又考慮到從而再考慮到由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造，存在正整數(shù)n1,使得即又因?yàn)樗栽倏紤]到n1≠1,否則又因?yàn)樗杂蓵r(shí)標(biāo)的構(gòu)造，這是不可能的，從而再次由時(shí)標(biāo)的構(gòu)造可得存在正整數(shù)n2,n3,使得從而即n2+n3=n2n3,由上式可得n2,n3不能同為奇數(shù)，也不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，只可能同為偶數(shù).所以存在正整數(shù)k1,使得即但是矛盾，故n只能取1，即Π?，從而Π=.

若f(t)=sint為T上的周期函數(shù)，則?k0>0,k0∈=Π,使得?t∈T,有sin(t+k0)=sint成立.因?yàn)?-k0∈T,所以

sin1=sin(1-k0+k0)=sin(1-k0).

(2)

又因?yàn)?1-k0∈T,所以

-sin1=sin(-1)=sin(-1-k0+k0)=sin(-1-k0)=-sin(1+k0).

即

sin1=sin(1+k0).

(3)

由(2)式與(3)式可得：sin(1-k0)=sin(1+k0)，即cos1sink0=0,也就是sink0=0.又考慮到，找不到l0∈,使得k0=l0π，故sink0≠0，矛盾，從而f(t)=sint不是T上的周期函數(shù).

4 結(jié) 論

時(shí)標(biāo)理論不僅能將微分系統(tǒng)與差分系統(tǒng)有機(jī)地統(tǒng)一起來，它還能涵蓋許多混合型系統(tǒng)，在理論與實(shí)際應(yīng)用上都具有極強(qiáng)的價(jià)值，因此將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上，建立時(shí)標(biāo)上相應(yīng)的理論是有意義的.首先，將實(shí)數(shù)集上的概念推廣到時(shí)標(biāo)上，必須保證推廣后的定義是良定義，否則這樣的推廣是毫無意義的; 其次，推廣到時(shí)標(biāo)上的定義，當(dāng)時(shí)標(biāo)退化為實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)與實(shí)數(shù)集上的定義一致，只有這樣，在時(shí)標(biāo)上獲得的結(jié)論，才能涵蓋在實(shí)數(shù)集上已經(jīng)獲得的結(jié)論，推廣的定義才是有價(jià)值的.函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對象，而要深刻認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，必須了解它的幾何性質(zhì)，因此，考慮定義在實(shí)數(shù)集上函數(shù)的幾何性質(zhì)，能否被時(shí)標(biāo)繼承下來也是有意義的.實(shí)數(shù)集上函數(shù)的單調(diào)性、有界性都能被時(shí)標(biāo)繼承下來，但奇偶性與周期性卻不一定能被時(shí)標(biāo)繼承下來.

致謝作者非常感謝參考文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.