一類拋物方程解的水平集的曲率估計

趙麗萍， 陳傳強

(寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，浙江 寧波 315211)

1 引 言

考慮在凸環(huán)上建立拋物方程，如下所示

(1)

(2)

如果時空水平集{(x,t)∈Ω×(0,T)|u(x,t)=c}對于每一個常數(shù)c∈(0,1)都是凸的，那么函數(shù)u(x,t)在Ω×(0,T)被稱為時空擬凹解.如果(空間)水平集{x∈Ω|u0(x)=c}對于每一個常數(shù)c∈(0,1)都凸的，在Ω上的函數(shù)u0(x)被叫做是擬凹的.

凸性是偏微分方程的一個基本的幾何性質(zhì)，已經(jīng)得到了廣泛的研究.例如，文獻[1]包含一個眾所周知的結(jié)果，即水平面上單連通凸域上的格林函數(shù)為凸Jordan曲線.1956年，文獻[2]研究了在3中的極小環(huán)，其邊界由平行平面P1,P2的兩條封閉凸曲線組成，并且在論文中證明了在P1和P2的任意平行平面P都是凸Jordan曲線.1957 年，文獻[3]證明了三維有界凸域上格林函數(shù)的水平集是嚴格凸的.1977年，文獻[4]將Gabriel的上述結(jié)果推廣到高維p階調(diào)和函數(shù).文獻[5]推廣文獻[4]結(jié)果到非線性橢圓偏微分方程.受到文獻[6]結(jié)果的啟發(fā)，文獻[7]利用p階調(diào)和函數(shù)凸水平集的第二基本形式的常秩定理給出了新的證明.文獻[8]關(guān)于這個問題還有更多研究(見參考文獻[9-12]).

關(guān)于橢圓偏微分方程解的水平集的曲率估計也有大量的文獻可以參考.對于具有凸水平曲線的二維調(diào)和函數(shù)和極小曲面，文獻[13-15]證明水平曲線的曲率在邊界處達到最小值(詳細的最新結(jié)果參考文獻[16]).文獻[15]還研究了凸水平曲線的曲率與二維最小曲面高度之間的關(guān)系.文獻[17]得到了高維調(diào)和函數(shù)在凸水平集的高斯曲率估計，并且函數(shù)包含了邊界的高斯曲率和邊界上梯度的范數(shù).對于高維主曲率估計，根據(jù)邊界的主曲率和邊界上的梯度范數(shù)，文獻[18]得到了高維調(diào)和函數(shù)的嚴格凸水平集的主曲率下界估計和非線性橢圓方程在一定條件下的界.最近，文獻[19]利用了文獻[6]提出的常秩定理的方法，得到了一般條件下凸域上完全非線性橢圓方程水平集解的主曲率下界[20].

在文獻[21]中, Borell利用布朗運動去研究在u0=0時熱方程的時空水平集的某些凸性.后來，文獻[22-23]對Borell的定理給出新的證明，并且將其推廣到更一般完全非線性橢圓方程拋物擬凹的概念.但他們?nèi)孕枰跏紨?shù)據(jù)恒等于零，這是一個非常嚴格的假設(shè).在1995年，文獻[24]給出了一類拋物方程解的穩(wěn)定性與唯一性.文獻[25]中研究了水平集的嚴格凸性并且給出了熱方程ut=Δu的時空擬凹解的空間水平集的常秩定理.文獻[26-27]中證明了具有初始數(shù)據(jù)的熱方程的強時間擬凹性并且對一般初始數(shù)據(jù)給出了一些例子.

本文將給出方程(1)解空間水平集的曲率估計，即如下定理.

在定理1的證明基礎(chǔ)上，還將進一步利用常秩定理，去研究拋物方程解的水平集的曲率估計, 即如下定理.

定理2假設(shè)在u∈C3,1(Ω×(0,T))是完全非線性拋物方程(1)的時空擬凹解并且滿足(2).那么將會存在一個常數(shù)A只依賴于存在對于n，u0，inf|?u|和‖u‖C2，使得

κu(x,t)≥min{κ0,κ1e-A}eAu(x,t)， (x,t)∈Ω×[0,T),

(3)

此時κu(x,t)是空間水平集的Σu(x,t)={y∈Ω|u(y,t)=u(x,t)}的最小主曲率.

注1 定理2可以看作是在文獻[19]中定理1.5的拋物版本，同時也是常秩定理的證明過程.更多最新的相關(guān)結(jié)果可以參考文獻[19],[28-29]以及[31-33].

本文的剩余內(nèi)容安排如下：在第二部分，做一些初步分析；在第三部分，給出定理1的證明；在第四部分，給出定理2的證明.

2 初步分析

在這一部分，將做出一些初步分析.

首先,標記?u=(u1,…,un)是u的空間梯度，Du=(u1,…,un,ut)是u的時空梯度.

2.1 空間水平集和第二基本形式

假設(shè)函數(shù)u(x,t)∈C2(Ω×(0,T))，并且對任意固定的(x,t)∈Ω×(0,T)有un≠0.對于空間水平集Σc={x∈Ω|u(x,t)=c}的內(nèi)法線向量滿足

(4)

其中?u=(u1,u2,…,un-1,un)是u的空間梯度.

函數(shù)u在法向(4)的空間水平集的第二基本形式Ⅱ是

(5)

設(shè)

則(5)可以表示成

如果Σc={x∈Ω|u(x,t)=c}是局部凸的，就可以知道Σc的第二基本形式在法線方向(4)是半正定的.現(xiàn)假設(shè)a(x,t)=(aij(x,t))是Σc={x∈Ω|u(x,t)=c}的Weingarten對稱矩陣，由此，可以得到(aij)是半正定的.就如同[11]中計算的那樣，若un≠0，那Weingarten 矩陣可以表示成

(6)

其中

上述表示符號中，在點(x,t)處有un(x,t)=|?u(x,t)|>0,ui(x,t)=0，i=1,…,n-1，aij,k是可交換的，這也就是說它們滿足 Codazzi 性質(zhì)aij,k=aik,j,?i,j≤n-1.

2.2 時空水平集和第二基本形式

(7)

其中Du=(u1,u2,…,un-1,un,ut)是u的時空梯度.

函數(shù)u在法向(8)的時空水平集的第二基本形式Ⅱ是

設(shè)

那么，對于上式就可以將其寫成

(8)

其中

上述的表示符號中，在點(x,t)處有

ut(x,t)>0,un(x,t)=|?u(x,t)|>0,ui(x,t)=0，i=1,…,n-1，

由此可以得到

所以

(9)

(10)

(11)

2.3 初等對稱函數(shù)

在這一部分，將重新回顧在文獻[35]中的初等對稱函數(shù)的定義和一些基本性質(zhì).

定義1對于任意k=1,2,…,n，定義

并且有σ0=1并且σk=0對于k>n.

用σk(λ|i)表示λi=0的對稱函數(shù)且用σk(λ|ij)表示λi=λj=0的對稱函數(shù).

易知，初等對稱函數(shù)有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)λ=(λ1,…,λn)∈n對k=0,1,…,n，有

σk(λ)=σk(λ|i)+λiσk-1(λ|i), ?1≤i≤n,

另外，對矩陣W可以定義σk(W)=σk(λ(W))，其中λ(W)=(λ1(W),λ2(W),…,λn(W))是對稱矩陣W的特征值.用σk(W|i)表示除掉i-行和i-列的對稱函數(shù)以及用σk(W|ij)表示除掉i,j-行和i,j-列的對稱函數(shù).然后就有下列的性質(zhì).

性質(zhì)2假設(shè)W=(Wij)是對角化的，并且m是正整數(shù)，有

(12)

和

(13)

2.4 輔助引理

類似于文獻[29]論文中的引理2.5，將給出下列引理

引理1假設(shè)對每一個x∈Ω?n有W(x)=(Wij(x))N×N≥0，且Wij(x)∈C1,1(Ω)，然后對于每一個O??Ω,都存在一個只依賴于dist{O,?Ω}和‖W‖C1,1(Ω)的正數(shù)C，使得

(14)

對于每一個x∈O, 1≤i,j≤N.

因為W(x)≥0,所以可選擇h(x)=Wii(x)≥0.從上面的論證中得到

(15)

因此(14)對i=j成立.

(16)

根據(jù)(15)和(16)，就可以得到

所以(14)對i≠j成立.

注2 若每一個(x,t)∈Ω×(0,T)有W(x,t)=(Wij(x,t))N×N≥0，且Wij(x,t)∈C1,1(Ω×(0,T))，然后就有對t0

對每一(x,t)∈O×(t0-δ,t0]且1≤i,j≤N，這會有DWij=(?xWij,?tWij).如果t0=T，它只成立

對于任一(x,t)∈O×(t0-δ,t0]且1≤i,j≤N.

3 定理1的證明

在這一部分，將根據(jù)文獻[25]和[34]中的計算，利用{aij}的常秩定理證明定理1.

現(xiàn)在主要任務(wù)就是去證明{aij}的常秩定理.假設(shè)在點(x0,t0)∈Ω×(0,T)處取得最小秩l.首先假設(shè)l≤n-2，否則結(jié)果就顯然成立了.接著假設(shè)u∈C4以及μ0>0.所以存在一個(x0,t0)的鄰域O×(t0-δ,t0]，使得(aij)有l(wèi)個被正數(shù)控制的“好的”特征值以及其他n-1-l個是(aij)的“壞的”特征值是非常小的.將用G來表示“好的”特征值的指標集并且用B來表示“壞的”特征值的指標集.對任意固定點(x,t)∈O×(t0-δ,t0]，可以用(7)形式表示(aij)，選擇e1,…,en-1，en使得un(x,t)=|?u(x,t)|>0并且(uij)1≤i,j≤n-1是對角化的.

不失一般性，假設(shè)u11≤u22≤…≤un-1，n-1.根據(jù)(4)-(5)，可以得到(aij)1≤i,j≤n-1是對角化的，并且u11≥u22≥…≥un-1，n-1.為了方便起見，用G={1,…,l}和B={l+1,…,n-1}分別表示“好的”和“壞的”指標集.如果沒有混淆的話，還將有下列表示

G={a11,…,all} 和B={al+1，l+1,…,an-1，n-1}.

這里對任何δ>0，可選擇O×(t0-δ,t0]是足夠小的，對所有(x,t)∈O×(t0-δ,t0]和j∈B有ajj<0.

設(shè)

φ(x,t)=σl+1(a),

對于(x,t)∈O×(t0-δ,t0]，若存在正數(shù)C使得|h(x,t)|≤Cf(x,t)，就用h=O(f)來表示.

根據(jù)φ的定義，可以得到

aii=O(φ),hii=O(φ),uii=O(φ).

求φ的一階導(dǎo)，會得到

(17)

因此

類似上述求導(dǎo)，可以得到

(18)

對于任意i∈B,j∈G有

除此之外，還有

接下來，求解出φ的二階導(dǎo)

(19)

(20)

假設(shè)u是時空擬凹解并且u的時空水平集是凸的，就會有

因此，可以得到

和

所以，若A足夠大有

Fααφαα-φt≤C(φ+|?φ|).

(21)

根據(jù)強極大值原理，就可以得到φ=0，即

Rank(aij)≡l(x,t)∈O×(t0-δ,t0].

由于閉凸超曲面必有嚴格凸點，那么Rank(aij)≡n-1，Ω×(0,T).通過連續(xù)性方法，使得定理1中的嚴格凸性得證.

4 定理 2的證明

在這一部分，將給出定理2的證明.實際上，這個證明類似于文獻[25]和[35]，但做出了一些修改.

如果沒有混淆的話，還將有下列表示

aii=η0eAu+O(φ),hii=η0eAuO(1)+O(φ),uii=η0eAuO(1)+O(φ).

求φ的一階導(dǎo)，將會得到

(22)

因此

類似上述求導(dǎo)

(23)

接下來求φ的二階導(dǎo)，

(24)

對于任意i∈B,j∈G，

除此之外，還有

(25)

假設(shè)u是時空擬凹解并且u的時空水平集是凸的，就會有

因此可以得到

和

若A足夠大，就有

(26)

κu(x,t)≥η0eAu=min{κ0,κ1e-A}eAu(x,t), (x,t)∈Ω×[0,T).

也就完成了定理2的證明.

5 結(jié) 論

利用常秩定理，研究了凸環(huán)上一類拋物方程的時空擬凹解的空間水平集的時空擬凹解，給出了空間水平集主曲率的正下界估計.論文完善了一類橢圓偏微分方程解的水平集的曲率估計，對于進一步完善拋物方程的幾何意義具有重要的幫助.

致謝感謝審稿人的仔細閱讀和修改意見.