平面三角形的徑向平均體

印蕾欽, 陳艷妮

(1 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 重慶 400715; 2 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710119)

在凸幾何理論中, 研究凸體K的性質(zhì)時, 其差分體DK和極投影體Π*K是重要的幾何對象。差分體被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)物理的交叉學(xué)科和偏微分方程中,而投影體ΠK被廣泛應(yīng)用到Banach空間的局部理論、隨機幾何、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域。因此，差分體DK和極投影體Π*K吸引了諸多學(xué)者研究[1-10],得到了很多優(yōu)美的不等式。其中有兩個著名的仿射不等式，其一為Rogers-Shephard不等式,即

其中V(K)為K的體積, 當(dāng)且僅當(dāng)K為單形時等號成立；另一個為逆向Petty投影不等式,也稱為Zhang投影不等式,即

當(dāng)且僅當(dāng)K為單形時等號成立。

1998年,Gardner等[2]提出了凸體理論的新概念——p階徑向平均體(p>-1)。設(shè)K為Rn中的凸體,定義K的徑向平均體RpK(p>-1)為

?u∈Sn-1。

特別地,當(dāng)p=0時

在文獻[2]中,當(dāng)-1

nnV(K)nV(Π*K)，

文獻[3]建立了p階徑向平均體的Brunn-Minkowski不等式。隨后,倪建華等[4]得到在Rn中,單形K的p階徑向平均體與其差分體DK是位似的。2008年,文獻[5]運用積分幾何的方法研究了凸體K的p階徑向平均體的對偶均質(zhì)積分,得出其與K弦冪積分的關(guān)系。

JK?RpK。

特別地,JK內(nèi)切于R1K。

1 預(yù)備知識

給定歐氏空間Rn,設(shè)K為Rn中的凸體,包含在K內(nèi)部中體積最大的橢球稱為John橢球,記為JK；Rn中的原點和單位球面分別記作o、Sn-1；u⊥為Rn中法向量為u的過原點的超平面;K|u⊥為凸體K在超平面u⊥的正交投影；lu為與u平行且過原點的直線；V(K)表示凸體K的體積。

設(shè)K為Rn中的凸體,定義徑向函數(shù)

ρ(K,x,u)=max{λ≥0:x+λu∈K,x∈K,

u∈Sn-1},

也可簡記為ρK(x,u)。特別地，x為原點時，簡記為ρK(u)。

定義凸體K的p階徑向平均體[2]RpK(p>-1),

?u∈Sn-1，

(1)

其中

從而R∞K=DK,其中DK為K的差分體。特別地，當(dāng)p=0時，

由定義可知，RpK是中心對稱的。其中，當(dāng)p≥0時，RpK仍是凸體[2]。

設(shè)u∈Sn-1,y∈u⊥，則有

XuK(y)=V1(K∩(lu+y))。

由此，定義SpK體[2]。當(dāng)p≥-1,p≠0時,

當(dāng)p>-1，p≠0時,

(2)

若V(K)=1，則

R0K=e-1S0K。

由(1)和(2)式有，當(dāng)p>-1,p≠0時,

(3)

特別地，當(dāng)n=2時，V(K)=S(K)，其中S(K)為K的面積，以下簡稱為SK。

2 平面三角形的RpK

2.1 平面三角形的R1K

證明不妨設(shè)AB所在的直線為x軸,過C點作y軸, 如圖1所示建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)點A、B和C的坐標(biāo)分別為(a,0)、(b,0)、(0,c)。

圖1 建立直角坐標(biāo)系

由假設(shè)知,u與y軸平行。再由(3)式,則有

(4)

證明由文獻[7]可知△ABC作X-ray對稱化后仍為三角形。下令

△A′C′B′={x+tu:0≤t≤XuK(Q),

x∈K|u⊥,Q=(x+lu)∩直線BC}。

以B′C′所在的直線為x軸，過點A′作y軸，如圖2所示建立直角坐標(biāo)系。

圖2 K的X-ray對稱化

設(shè)△A′C′B′為K′，B′C′邊上的高為c，則由引理知

由K′的定義得

c=max{XuK(Q),Q=(x+lu)∩直線BC}=

XuK(A)，

為了證明平面三角形的一階徑向平均體為原點對稱六邊形,需要一些說明:設(shè)△ABC的AB所在的直線為x軸,過點C作y軸,建立直角坐標(biāo)系。則由引理2得

(5)

△ABC～△AA2A1。

(6)

圖3 在頂點處對應(yīng)的R1K

定理1平面三角形的一階徑向平均體為原點對稱的六邊形。

ρR1K(u)=|AA′|,A′=(A+lu)∩A1A2。

ρR1K(u)=|BB′|,B′=(B+lu)∩B1B2；

ρR1K(u)=|CC′|,C′=(C+lu)∩C1C2。

因此，分別將△AA1A2、△BB1B2、CC1C2(如圖3所示)中的點A、B和C平移至原點處后均為R1K的一部分,又由R1K是原點對稱的,故R1K為原點對稱的六邊形。如圖4所示, 即可得出結(jié)論。

圖4 平面三角形的一階徑向平均體

2.2 平面三角形的RpK

將上一節(jié)中平面三角形的R1K推廣到RpK,?p>-1的情形, 并討論相應(yīng)的結(jié)論。設(shè)以AB所在的直線為x軸,過點C作y軸, 建立直角坐標(biāo)系。

引理3設(shè)△ABC為平面上任意三角形,c為某一邊的高,且該高的方向為u,則

p∈(-1,0)∪(0,+∞)。

證明設(shè)點A、B和C的坐標(biāo)分別為(a,0)、(b,0)、(0,c)，由(3)式可得

(7)

特別地，當(dāng)p→∞時，

ρR∞K(u)=ρDK(u)=c。

(8)

p∈(-1,0)∪(0,+∞)。

引理5設(shè)任意三角形△ABC，當(dāng)p>-1,p≠0時，滿足

則有△ABC～△AA2A1。

△ABC～△B2BB1,△ABC～△C1C2C。

特別地，當(dāng)p=0時，三角形仍滿足

此時, 結(jié)論同樣成立。

定理2平面三角形K的RpK(p>-1)是原點對稱六邊形。

根據(jù)Gardner等[2]的研究，提出:設(shè)K為Rn中的凸體,已知p≥0時,RpK為原點對稱的凸體。當(dāng)p>-1時,RpK是否也是原點對稱的凸體?

由定理2得知,n=2時,三角形K的p階徑向平均體RpK(p>-1)仍是原點對稱的凸體。

3 平面三角形的RpK的單調(diào)性

定理3設(shè)K、L為R2的凸體，且K?L，則R1K?R1L未必成立。

圖5 凸體E、T

取定方向u與y軸平行。由(3)式得

且由引理1知

引理6設(shè)△ABC為K，SRpK為RpK的面積，則當(dāng)p>-1時，SRpK為p的增函數(shù)。

事實上，對f(p)求導(dǎo)。當(dāng)p≠0時，

而當(dāng)p>-1時，f′(p)≥0。

定理4設(shè)橢圓JK為△ABC的John橢球，則當(dāng)p≥1時,

JK?RpK。

特別地，p=1時，JK內(nèi)切于R1K。

證明只需證明p=1時，JK內(nèi)切于R1K，再由引理6即得證。

由文獻[8]可知,三角形的John橢球為Steiner內(nèi)切橢圓,且與三角形三邊的中點相切。取三角形重心H為原點,再由重心的性質(zhì)和三角形相似得R1K為六邊形A1A2B2B1C2C1(如圖6所示)。

圖6 在重心處的一階徑向平均體

為了便于計算,如圖7所示,建立直角坐標(biāo)系。由中線的性質(zhì),顯然可得

圖7 JK內(nèi)切于R1K

△AA1A2≌△HC2B1,△HC2B1≌△HA2A1。

(9)

不妨設(shè)A3=AD∩A1A2,D為BC邊上的中點，D關(guān)于H對稱的點為D′，由假設(shè)可知A3、D′共線。再由(9)式得，AA3=HD=HD′，則點A3與點D重合。從而，此橢圓與A1A2相切于A3。同理，橢圓與B1B2、C1C2相切，即JK內(nèi)切于R1K。再由引理6，得證。

由引理3可得

R0K?R1K?R∞K=DK。

4 結(jié)語

本文通過將平面三角形進行X-ray對稱化, 給出了其徑向平均體RpK為原點對稱的六邊形,并為解決相關(guān)文獻提出的猜想提供了平面的例子。此外，得到了平面三角形的RpK與其John橢球的包含條件。今后，我們將考慮高維空間中單形的徑向平均體與其John橢球間的包含關(guān)系。