變系數(shù)多孔介質(zhì)單相流方程弱解的存在性

王 璇,郭真華,程變?nèi)?/p>

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，非線性研究中心, 陜西 西安 710127)

流體力學(xué)是研究流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科, 而滲透力學(xué)作為流體力學(xué)的一個(gè)重要分支, 主要研究流體在多孔介質(zhì)中力學(xué)運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律, 它不僅在科技發(fā)展中具有重要的價(jià)值, 而且也是非線性偏微分方程的重要研究方向之一。多孔介質(zhì)滲流問題的研究是一門既有較長歷史又年輕活躍的學(xué)科, 尤其是其數(shù)學(xué)模型的研究對(duì)解決許多實(shí)際問題具有至關(guān)重要的價(jià)值[1-24]。

根據(jù)多孔介質(zhì)中流體等溫滲流運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律,建立一般形式的多孔介質(zhì)單相流模型[1]：

(1)

其中:p和u分別表示壓力和速度變量;D是介質(zhì)的絕對(duì)滲透率張量;φ是介質(zhì)孔隙度;ρ是流體密度;μ是流體粘度;g表示重力加速度;z是深度。

對(duì)于上述方程(1),當(dāng)滲透率是定常函數(shù)時(shí), 相關(guān)解的結(jié)果可參考文獻(xiàn)[2];當(dāng)滲透率是定常常數(shù)時(shí), 已有許多學(xué)者得到解的相關(guān)結(jié)果。從文獻(xiàn)[3]中可以看出，單相不可壓流體的滲流問題可歸結(jié)于模型Laplace方程。同理, 單相輕微可壓流體的滲流模型可歸結(jié)于拋物型方程。Vázquez[4]對(duì)多孔介質(zhì)方程的解進(jìn)行了詳細(xì)的總結(jié)。近期,Kim等[5]利用加權(quán)空間的定義及其線性化方程的Schauder估計(jì)和退化性, 研究了多孔介質(zhì)方程在光滑區(qū)域上具有零邊界條件的短時(shí)間光滑解的存在性。隨后,文獻(xiàn)[6]通過短時(shí)間光滑解的存在性和散度型退化方程的H?lder估計(jì)等研究了多孔介質(zhì)方程在具有零邊值條件的有界區(qū)域上長時(shí)間光滑解的存在性。對(duì)于多孔介質(zhì)方程解的正則性的結(jié)果,Dahlberg等[7]證明了在有界區(qū)域中,若弱解是非負(fù)且具有局部Lm條件,那么該弱解在有界區(qū)域上是局部H?lder連續(xù)。接著,Dahlberg等[8]研究了多孔介質(zhì)方程在有界區(qū)域上弱解的存在性。文獻(xiàn)[9]對(duì)多孔介質(zhì)方程Dirichlet問題在有界區(qū)域上的長時(shí)間行為進(jìn)行了研究, 同時(shí)Ander等[10]利用上拋物函數(shù)和下拋物函數(shù)的一種比較原理給出了多孔介質(zhì)方程邊界的研究,得到了Dirichlet問題邊界的正則性。接著Zhan等[11]研究了具有對(duì)流項(xiàng)多孔介質(zhì)方程解的穩(wěn)定性。事實(shí)上，包括多孔介質(zhì)方程演變來的拋物方程也有許多的結(jié)果[2,12-18],此處不再贅述。。雖然單相流的理論研究已經(jīng)相當(dāng)成熟, 但是在實(shí)際滲流過程中, 多孔介質(zhì)模型的重要參數(shù)孔隙度和滲透率都是隨時(shí)間的變化而變化的, 所以上述模型中的靜態(tài)參數(shù)都難以模擬實(shí)際的滲流過程。

為了實(shí)現(xiàn)滲透參數(shù)孔隙度和滲透率的動(dòng)態(tài)預(yù)測, 我們利用一種在應(yīng)用中被廣泛接受的Kozeny-Carman非線性模型[19]來刻畫滲透率和孔隙度之間的關(guān)系。若忽略重力影響,那么可得到以下各向同性多孔介質(zhì)變系數(shù)單相流模型：

(2)

單相流多孔介質(zhì)模型可以將質(zhì)量守恒方程作為基礎(chǔ)方程,變形得到與其等價(jià)的描述滲流過程的微分方程。將連續(xù)性方程(2)作為基礎(chǔ)方程,可得以下與模型(2)等價(jià)的描述滲透過程物理現(xiàn)象的擬拋物型偏微分方程組：

(3)

1 粘性解的存在性

1.1 粘性解的定義

首先介紹粘性解的具體定義。

定義1考慮如下初邊值問題：

1)對(duì)于任意(t0,x0)∈ΩT,不等式

p(t,x)≥p(t0,x0)+m(t-t0)+p(x-x0)+

o(t0-t+|x-x0|2)。

這里,Nr(t0,x0)={(t,x):0≤|t0-t|

1.2 粘性解的存在性

本節(jié)主要證明方程組(3)粘性解的存在性, 首先給出如下光滑性假設(shè)：

1)φ(0)=0;

可知方程在φ(0)=0處是退化的，因此可以構(gòu)造如下逼近問題：

(4)

其中:ε>0是常數(shù);φε是光滑函數(shù)且滿足

(5)

對(duì)于上述逼近問題, 可得以下引理。

In this section,the CRLB for the 2-D central DOAs estimation of ID sources can be derived to measure the quality of the proposed estimator.We can rewrite the array steering vector of the whole array as follows:

引理1在上述假設(shè)下,存在Tε>0使得逼近方程組(4)在ΩTε上具有唯一的經(jīng)典解pε,這里ΩTε=(0,Tε)×Ω。

pt-Lp=0,

這里

接下來,給出pε的一些相關(guān)性質(zhì), 這些性質(zhì)在證明方程組粘性解存在性的過程中起著重要的作用。

引理2?ε>0,解pε具有下列性質(zhì):

1)在ΩTε中,pε≥ε;

2)解pε關(guān)于ε單調(diào)遞增，即當(dāng)0<δ<ε時(shí)，在ΩT′中pδ

F(t,x,u)=0。

2)為了證明pε的單調(diào)性,只需比較當(dāng)δ<ε時(shí)，pδ≤pε即可。設(shè)pε和pδ是方程組(4)的任意兩個(gè)解,且令ε>δ,z(t,x)=pε(t,x)-pδ(t,x)。由性質(zhì)1)可知，在ΩTε上，pε≥ε,pδ≥δ，那么φε(pε)=φ(pε),φδ(pδ)=φ(pδ)。因此，在ΩT′上有

(c1(φm-1(θ))′△pδ+

這里T′=min{Tε,Tδ},θ處于pε和pδ之間。同時(shí)由于在ST′上有z(t,x)=ε-δ>0，且在Ω上有z(0,x)=ε-δ>0，進(jìn)而根據(jù)線性拋物方程初邊值問題的比較原理有z≥0,從而證明pε≥pδ。

注2?ε>0,利用引理2中的性質(zhì)1)，φε(pε)=φ(pε),因此(4)式中的φε可以換成φ。

接下來,若令ε0>0固定，通過引理2，?ε<ε0，在ΩT0上，有ε≤pε≤pε0,這里T0=Tε0。同時(shí)由于p0是有界的，那么利用線性拋物方程的最大值原理可得pε在ΩT0上有界，ε≤pε≤M，且{pε}是一致有界的，其中{pε}表示{pε∶ε≤ε0}。根據(jù)pε的性質(zhì)2)，那么

(6)

在ΩT0上逐點(diǎn)存在。

(7)

這里β(v)=Φ-1(v)。易驗(yàn)證p是(4)式的解當(dāng)且僅當(dāng)v=Φ(p)是(7)式的解。

引理3在假設(shè)條件下,序列{vε}在ΩT0上有界并等度連續(xù),且在[0,T0]×Ω′上，{vε}是等度連續(xù)的,其中Ω′?Ω。

最后,根據(jù)已知條件,存在δ0>0,?0δ0，有Φ′(u)≤Φ′(δ0)≤Φ′(w)，根據(jù)β的單調(diào)性,?s≥β-1(δ0)≥r>0,則

這就驗(yàn)證了關(guān)于β的所有條件。

文獻(xiàn)[23]中其余的假設(shè)條件[A2]～[A3]通過方程(7)直接得到。因此，{vε}在QT0上等度連續(xù)。同時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[23]的定理6.1,可得{vε}在Ω′×[0,T0]上等度連續(xù)。由此，完成引理的證明。

其中Φ′(p)=φm-1(p),且Φ(0)=0。

將方程(4)改寫成其等價(jià)形式：

(β(v))t-(c1v)+[c1(m-1)CR-c2]·

(8)

這里β(v)=Φ-1(v)。

引理4在假設(shè)條件下,p在邊界ST0上連續(xù)且p(t,x)=0。

Nγ,δ=(t0-γ′,t0+γ″)×(BR+δ(y0)∩Ω),

其中:γ>0;這里γ′=min{t0,γ};γ″=min{γ,T0-t0},那么wε滿足以下方程:

(9)

下面需要在區(qū)域Nγ,δ上構(gòu)造上述方程組(9)的一個(gè)上解Wε。結(jié)合文獻(xiàn)[24],給定Wε的一種可能形式

(10)

這里的k和Ai,i=1,2,是確定的常數(shù), 使其滿足以下要求。

a)內(nèi)部條件:

b)初值條件：

x∈BR+δ(y0)∩Ω。

c)原始邊界的要求：

d)新邊界的要求：

t∈(t0-γ′,t0+γ″)。

|p0(x)-p0(x0)|≤K|x-x0|α。

(11)

?x∈Ω,選擇Ai(i=1,2)充分大,使得

(12)

同時(shí)必要時(shí)增加A1和A2,可以假設(shè)

t0>0。

(13)

利用Ai的選擇,首先證明函數(shù)Wε滿足初邊值條件b)～d)。

為了驗(yàn)證b),當(dāng)t0>0,γ′>0，因此通過(10)式和(13)式的第二個(gè)不等式可得

若t0=0，根據(jù)p0(x0)=0，利用(10)式并結(jié)合文獻(xiàn)[24]的引理3.3，可得

同時(shí)利用不等式(12)，

(14)

驗(yàn)證邊界條件c),根據(jù)(10)式和Φ的單調(diào)性

驗(yàn)證d)時(shí),由于0

x∈?BR+δ∩Ω。

下面需選擇適當(dāng)?shù)膋使得Wε滿足a),由于φ(0)≥0,若k是正整數(shù),則Wε是可微的,首先關(guān)于t求導(dǎo)：

因此，存在一個(gè)常數(shù)K0>0，使得

同樣，對(duì)Wε關(guān)于x微分

|x-y0|-2k-2(x-y0),

|x-y0|-2k-2(3-2k-2)。

為了證明不等式a),選擇適當(dāng)?shù)膋,使得2k-1≥0,同時(shí)有2c1CR(m-1)-c2α>0,適當(dāng)增加A1,使其滿足

對(duì)于上述k和A1的選擇，當(dāng)(t,x)∈Nγ,δ,則有

由此,完成了該引理的證明。

(s,y)∈Nr(t,x))},

(s,y)∈Nr(t,x))},

(s,z,p(s,z),m,p,X)。

根據(jù)粘性解的定義1有

由于φ是連續(xù)函數(shù),給以上等式取極限可得

m-c1φm-1(p(s,z))Tr(X)-

c2φm-1(p(s,z))|p|2=0。

由此證明了p是粘性下解,進(jìn)而完成了定理的證明。

2 弱解的存在性

前文證明了pε的極限p是方程組(3)的粘性解, 驗(yàn)證了粘性解的存在性。本節(jié)將在上述粘性解存在性的基礎(chǔ)上, 驗(yàn)證該粘性解p是方程組(3)的弱解, 進(jìn)而給出方程弱解的存在性證明。首先給出弱解的具體定義。

(c2-c1(m-1)CR)?ΩTφm-1(p)·

(15)

引理5若pε是方程組(4)的經(jīng)典解,?ε>0,當(dāng)m>2+δ時(shí),

?ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C

證明由于0<φ(ε)≤φ(pε),那么先對(duì)方程組(4)的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以φm-1(pε),可得

(φm-1(pε))t=c1φm-1(pε)△φm-1(pε)+

令v=φm-1(pε),則上述等式變?yōu)?/p>

(16)

對(duì)(16)式在ΩT上積分可得

?ΩTvtdxdt=c1?ΩT(vv)+

即

由于m>2+δ，且pε(t,x)≤M,則v(t,x)≤M′，因此

?ΩT|v|2dxdt≤C,

即

?ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C,

其中C與ε無關(guān)。

證明方便起見,記pε為p。對(duì)(4)式第一個(gè)方程兩邊同時(shí)關(guān)于t求導(dǎo),那么

ptt=c1φm-1(p)△pt+c1(m-1)·

CRφm-1(p)ptΔp+2c2φm-1(p)ppt+

c2(m-1)CRφm-1(p)pt|p|2。

(17)

vt=c1φm-1(p)△v+2c2φm-1(p)p·v+

(m-1)CRv2,(t,x)∈(τ,T-τ)×Ω。

令

L(v)=vt-c1φm-1(p)△v-2c2φm-1(p)p·

在?Ω上，有v=0，而在t=τ時(shí)，存在足夠大的Mε>0，?M≥Mε，有v≥-M。因此,用拋物方程的比較原理,?M≥Mε,在(τ,T-τ)×Ω上，有v≥vM(t)，這里的vM(t)是以下方程的解:

上述方程的解為

引理7在引理5的假設(shè)下,令pε是方程組(4)的經(jīng)典解,那么pεt在L2(ΩT)中一致有界。

給方程組(4)第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以ψ(t,x),并在ΩT上積分可得

令

則

φm-1(p)pt|p|2dxdt-

I1+I2+I3。

為處理I2項(xiàng),

所以

2?ΩTφm(p)φ2φ2t|p|2dxdt,

因此

對(duì)于I3項(xiàng)，

從而

由于2c2-c1CR(m-1)>0，利用引理6，則

利用引理5和引理2的1),有

ce(2m-2)CR(ε-p0)?ΩT|pε|2dxdt≤

?ΩTφ2m-2(pε)|pε|2dxdt≤C,

則

?ΩT|pε|2dxdt≤C。

又由于0<φ(pε)≤M,m-1>0，結(jié)合上式得到不等式右邊是有界的,所以I是有界的, 那么有

從而pεt在L2(ΩT)是一致有界的。

引理8在引理5的假設(shè)下,若pε是方程組(4)的經(jīng)典解,在L2(ΩT)中，當(dāng)ε→0時(shí)，有

證明由于pε是方程組(4)的經(jīng)典解,令ψ=φm-1(pε)-φm-1(p)-εm-1。當(dāng)ε→0時(shí)，由于pε→p,那么由初等函數(shù)的收斂性,則φm-1(pε)→φm-1(p),那么ψ→0。然后給方程組(4)的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以ψ,再在ΩT上積分,有

?ΩTpεtψdxdt=c1?ΩTφm-1(pε)△pεψdxdt+

c2?ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt,

應(yīng)用散度定理,

?ΩTpεtψdxdt=c1?ΩT(φm-1(pε)ψpε)dxdt-

c1?ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt-c1(m-1)·

CR?ΩTφm-1(pε)ψ|pε|2dxdt+

c2?ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt。

由引理7有pεt在L2(ΩT)中一致有界，又當(dāng)ε→0時(shí)，ψ→0，那么上式兩邊同時(shí)令ε→0可得

[c2-c1CR(m-1)]?ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt-

c1?ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt→0。

同時(shí)根據(jù)引理5有,當(dāng)ε→0,

?ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt→0,

從而

c1?ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt→0。

(18)

然后將ψ=φm-1(pε)-φm-1(p)-εm-1代入(18)式,

c1?ΩTφm-1(pε)(φm-1(pε)-

φm-1(p))pεdxdt→0,

那么

?ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt+

?ΩT(φm-1(pε)-φm-1(p))·

根據(jù)引理5,

?ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C,

根據(jù)弱收斂, 則

?ΩTφm-1(p)(φm-1(pε)-φm-1(p))dxdt→0。

綜上,

?ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt→0，

從而在L2(ΩT)中有φm-1(pε)→φm-1(p)。

引理9在引理5的假設(shè)下,設(shè)pε是方程組(4)的經(jīng)典解,在L1(ΩT)中，當(dāng)ε→0時(shí)，有

φm-1(pε)|pε|2→φm-1(p)|p|2。

對(duì)于I1，

φm-1(p)|p|2χδdxdt，

同樣根據(jù)引理5和引理2的1),則

同理，

?ΩTφm-1(p)|p|2χδdxdt≤Cδm-1,

接下來，利用等式

和

(a+b)p≤22ap+2pbp(a,b>0,p≥1)，

推導(dǎo)可得

?ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt+

從而,當(dāng)ε→0時(shí)，I3→0。

綜上,當(dāng)ε→0,δ→0時(shí),有

?ΩT|φm-1(pε)|pε|2-

φm-1(p)|p|2dxdt→0。

證明要證明p是方程組(3)的弱解, 即需證明p滿足弱解的定義,由于pε是方程組(4)的經(jīng)典解, 那么

(c2-c1(m-1)CR)?ΩTφm-1(pε)·

3 結(jié)語

本文主要證明變系數(shù)多孔介質(zhì)單相流方程弱解的存在性。由于變系數(shù)的非線性性, 我們首先構(gòu)造了與原方程等價(jià)的擬拋物方程,然后利用粘性法及上下解方法得到方程粘性解的存在性, 最終通過先驗(yàn)估計(jì)證明了方程的粘性解就是其弱解, 進(jìn)而得到了原方程弱解的存在性。