壓軸主力：二次函數

文／吳琨

縱觀每年各地中考試卷，二次函數一直是壓軸題的主力軍。那么，為什么二次函數在壓軸題中占比很大呢？中考壓軸題一般考查大家綜合運用的能力，而二次函數具有知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活等特點。下面以2022年江蘇省鹽城市中考壓軸題為例加以說明。

【發(fā)現問題】小明在練習簿的橫線上取點O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現這些點的位置有一定的規(guī)律。

圖1

【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖像上。

【分析問題】小明利用已學知識和經驗，以圓心O為原點，過點O的橫線所在直線為x軸，過點O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示。當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為 。

圖2

【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立。

【深度思考】小明繼續(xù)思考：設點P（0，m），m為正整數，以OP為直徑畫⊙M，是否存在所描的點在⊙M上。若存在，求m的值；若不存在，說明理由。

【解析】

【分析問題】根據題意，可知所描的點在半徑為5的同心圓上時，其縱坐標y=5-1=4。

所以點坐標為（-3，4）或（3，4）。

【解決問題】小明的猜想成立。

解法1：設半徑為n的圓與直線y=n-1的交點為P（x，n-1）。

因為OP=n，

所以x2+（n-1）2=n2，即x2=2n-1。

所以點P在拋物線上。小明的猜想成立。

解法2：設半徑為n的圓與直線y=n-1交點為P（x，n-1）。

因為OP=n，

所以x2+（n-1）2=n2，

所以點P在拋物線上。小明的猜想成立。

解法3：根據圖中點的位置，猜想拋物線的對稱軸是y軸，所以設拋物線的表達式為y=ax2+c。

所 以P（2n-1，n-1）在 拋 物線上。

同理，P（-2n-1，n-1）也在拋物線上。

所以點P在拋物線上。小明的猜想成立。

【深度思考】

存在所描的點在⊙M上。理由：

又因為m、n都是正整數，

所以n-1=1。

所以m=1+2+1=4。

所以存在所描的點在⊙M上，m的值是4。

【點評】本題考查了勾股定理、二次函數圖像上點的坐標特征以及與圓有關的位置關系。解題的關鍵是：【分析問題】利用勾股定理，求出該點的橫坐標；【解決問題】根據點的橫、縱坐標的關系，找出點在二次函數的圖像上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代數式表示出m的值。

任何一個數學問題的解決都離不開轉換思想。初中數學中的轉換思想主要包括由未知轉向已知，由復雜轉向簡單。而作為中考壓軸題，其更注重不同知識之間的聯系與轉換。一道中考壓軸題一般是融多種知識點于一體的綜合性問題，轉換思路在其中的運用顯得更為重要。

同時，我們在做壓軸題時，如果解不出來，無從下手，首先要消除恐懼感，將整道題目的解題思路轉化為相應的得分點。中考數學壓軸題一般會設置兩至三個小題，難易程度是第1小題較易，大部分同學都能拿到分數；第2小題中等，起到承上啟下的作用；第3小題偏難，不過也是建立在1、2兩小題的基礎之上。因此，我們在解答時要確保第1小題的分數，力爭第2小題的分數，竭盡全力拿到第3小題的分數，這樣就能大大提高獲得中考數學高分的可能性。對于數學中考壓軸題，我們應最大限度地發(fā)揮出自己的水平，勇攀高“分”。