二次函數(shù)中不等關(guān)系的解法

文／丁旭東

對于一次函數(shù)中的不等關(guān)系，很多同學(xué)可以利用解一元一次不等式的方法來解決問題。而對于二次函數(shù)中的不等關(guān)系，同學(xué)們肯定也想通過類比之前的學(xué)習(xí)，用解一元二次不等式的方法來解決問題，但發(fā)現(xiàn)略顯困難，這便需要利用二次函數(shù)的“輔助功能”。

一、給定x或x的范圍，確定y的大小關(guān)系

1.兩點在對稱軸的同側(cè)時

當(dāng)兩點在對稱軸同側(cè)時，我們只需根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷函數(shù)值的大小。

例1已知拋物線y=-（x+2）2上的兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜-2，那么下列結(jié)論一定成立的是（ ）。

A.0＜y2＜y1B.y1＜y2＜0

C.0＜y1＜y2D.y2＜y1＜0

【解析】拋物線的對稱軸為直線x=-2，拋物線開口向下，函數(shù)在x＜-2時，y隨x的增大而增大，

∴y1＜y2，而y=-（x+2）2≤0，

∴y1＜y2＜0。故選B。

2.兩點在對稱軸的異側(cè)時

當(dāng)兩點在對稱軸異側(cè)時，我們可以利用二次函數(shù)的軸對稱性，把異側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為同側(cè)，也可以利用與對稱軸距離的遠(yuǎn)近來確定函數(shù)值的大小。特別要注意的是，當(dāng)頂點在區(qū)間內(nèi)，頂點的值就是最值。

例2已知二次函數(shù)y=（x-2）2-2，關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）。

A.有最大值-1，有最小值-2

B.有最大值0，有最小值-1

C.有最大值7，有最小值-1

D.有最大值7，有最小值-2

【解析】拋物線的對稱軸為直線x=2，且開口向上，所以當(dāng)x=2時，y有最小值-2。點（3，y1）的對稱點為（1，y1），根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=-1時，y有最大值7。我們還可以觀察圖像，發(fā)現(xiàn)在取值范圍內(nèi)，表示x=-1的點離對稱軸直線x=2最遠(yuǎn)，所以當(dāng)x=-1時，y有最大值7。故選D。

3.利用圖像與x軸的交點坐標(biāo)，確定交點兩側(cè)相應(yīng)y的大小

設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)為（x1，0）、（x2，0）（x1＜x2）。

若a＞0，則當(dāng)x＜x1或x＞x2時，y＞0，當(dāng)x1＜x＜x2時

若a＜0，則當(dāng)x＜x1或x＞x2時，y＜0，當(dāng)x1＜x＜x2時

例3對稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0），如圖1所示，某同學(xué)得出了以下結(jié)論：①4a+2b+c＞0；②9a+3b+c＞0；③a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)）。其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）。

圖1

A.0 B.1 C.2 D.3

二、給定y或y的范圍，確定x的大小關(guān)系

【解析】當(dāng)x=0時，y＜0。拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)圖像可知，拋物線與x軸的右邊交點橫坐標(biāo)x的范圍是2＜x＜3。

∴當(dāng)x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，結(jié)論①不正確；

當(dāng)x=3時，y＞0，即9a+3b+c＞0，結(jié)論②正確。

∵拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x=1時，y取得最小值，最小值為y=a+b+c。

∴對于任意實數(shù)m，有am2+bm+c≥a+b+c。

∴a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），結(jié)論③正確。

故選C。

我們可以利用二次函數(shù)圖像與x軸、直線、雙曲線等的交點坐標(biāo)，解決一元二次不等式問題。結(jié)合圖像，數(shù)形結(jié)合，通過交點坐標(biāo)（x0，y0）推斷x=x0時，y1=y2=y0，從而以x0為分界線，對比y1與y2的大小關(guān)系，確定x＜x0還是x＞x0，從而可以解決相關(guān)不等式ax2+bx+c＞0（或ax2+bx+c＜0），ax2+bx+c＞m（或ax2+bx+c＜m），ax2+bx+c＞kx+b（或ax2+bx+c＜kx+

b），ax2+bx+c＞（或ax2+bx+c＜）的解集問題。

例4如圖2，二次函數(shù)y1=x2+mx+1的圖像與y軸相交于點A，與反比例函數(shù)的圖像相交于點B（3，1）。當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1＜y2時，寫出x的取值范圍。

圖2

【解析】將點B（3，1）代入二次函數(shù)表達(dá)式，得m=-3，即y1=x2-3x+1，∴對稱軸為直線由圖像知，當(dāng)y1隨x的增大而增大且y1＜y2時

三、給定x在某范圍內(nèi)y的值，確定參數(shù)的值

此時要確定對稱軸的位置，針對對稱軸不同的位置，分類討論確定哪一個點的函數(shù)值是對應(yīng)y的值，得到關(guān)于參數(shù)的方程，從而求解。

例5已知二次函數(shù)y=x2+ax+3，當(dāng)-1≤x≤6時，函數(shù)y的最大值為8，求a的值是否存在。

【解析】∵二次函數(shù)y=x2+ax+3

∴二次函數(shù)的對稱軸為直線①當(dāng)，即a≤-12時，此時二次函數(shù)在-1≤x≤6范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，在x=-1處取最大值，即1-a+3=8，解得a=-4，與a≤-12不符；

②當(dāng)，即-12＜a≤-5時，此時x=-1離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn)，

∴二次函數(shù)在x=-1處取最大值，即1-a+3=8，解 得a=-4，與-12＜a≤-5不符；

③當(dāng)，即-5＜a≤2時，此時x=6離二次函數(shù)對稱軸更遠(yuǎn)，

∴二次函數(shù)在x=6處取最大值，即36+6a+3=8，解得，與-5＜a≤2不符；

④當(dāng)，即a＞2時，此時二次函數(shù)在-1≤x≤6范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，在x=6處取最大值，36+6a+3=8，解得，與a＞2不符。

綜上所述，不存在符合題意的a的值。