基于函數(shù)本質(zhì)實現(xiàn)糾錯提升

文／張俊

二次函數(shù)這一章要求我們能從二次函數(shù)的常見表達式中看出頂點坐標(biāo)、對稱軸等信息，能依據(jù)二次函數(shù)圖像認(rèn)識函數(shù)的特征與性質(zhì)，能利用二次函數(shù)解決實際問題。其中，二次函數(shù)的對稱性、增減性及含參型函數(shù)等更是每年中考考查的重點和難點。不過，在實際運用中，我們總會出現(xiàn)各種錯誤。本文列舉一些典型錯誤并分析出錯的原因，希望同學(xué)們能明確錯誤之處，做到舉一反三。

一、正確把握拋物線的對稱性特征

例1二次函數(shù)y=x2+bx+c中，當(dāng)x＜-2時，y隨著x的增大而減小，則b的范圍為___。

【錯解】由題意可知，對稱軸為直線，解得b=4。

【錯因分析】由于a=1＞0，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)時，y隨x的增大而減小。這里直線x=-2不一定是對稱軸，例如直線x=-1、x=0、x=1都可以作為對稱軸，所以只需即可。

【正解】∵對稱軸為直線，且a=1＞0，

∴當(dāng)時，y隨 著x的 增 大 而減小。

∵當(dāng)x＜-2時，y隨著x的增大而減小，

二、充分理解銷售問題中的二次函數(shù)問題

【總結(jié)】對稱性是二次函數(shù)圖像拋物線的重要特征，當(dāng)圖像的開口方向和對稱軸確定時，便可得出函數(shù)值隨自變量變化的情況。反之，當(dāng)對稱軸不確定時，則需要逆向思考，此時的對稱軸可能不唯一，所在位置可能是一個范圍。分析過程中，我們可以舉幾個符合條件的特值驗證，再確定范圍。

例2某超市經(jīng)銷一種商品，每件進價為60元。經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件售價為80元時，月銷售量為1200件，售價每提高1元，銷量將減少20件。規(guī)定每件售價不低于進價且利潤不允許超過每件進價的50%。那么售價定為多少元時，每個月銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【錯解1】設(shè)售價定為x元，每月最大利潤為y元……

【錯因分析】由于每月利潤不是一個定值，所以函數(shù)表達式中的y是一個變量，而最大利潤只是其中的一個值，所以不能設(shè)成最大利潤為y元。

【錯解2】設(shè)售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）（1200-20x）……

【錯因分析】錯將售價定為x元理解成售價提高x元。

【錯解3】設(shè)售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000，所以當(dāng)售價定為100元時，每月利潤最大，為32000元。

【錯因分析】沒有考慮題中“規(guī)定每件利潤不允許超過每件進價的50%”的要求。

【正解】設(shè)售價定為x元，每月利潤y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000。

∵規(guī)定每件售價不低于進價且利潤不允許超過每件進價的50%，

∴0≤x-60≤60×50%，得60≤x≤90。

∵-20＜0，對稱軸為直線x=100，

∴當(dāng)60≤x≤90時，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=90時，y有最大值，y最大值=-20×（90-100）2+32000=30000。

答：當(dāng)售價定為90元時，每月利潤最大，最大利潤為30000元。

【總結(jié)】二次函數(shù)可以揭示實際問題中變量之間的關(guān)系，如銷售問題。在此類問題中，常常需要根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)的最值，此時一定要注意函數(shù)的頂點是否在此范圍內(nèi)。若在，則可根據(jù)頂點得出最值；若不在，則需要根據(jù)函數(shù)增減性確定何時有最值。另外，根據(jù)不同的取值范圍，可能會得到不同的函數(shù)表達式，我們可以根據(jù)實際需要選擇合適的函數(shù)表達式進行分析。

三、全面考慮二次函數(shù)中的含參問題

例3已知二次函數(shù)y=x2-2mx-1（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點。

【錯解】由該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點可知b2-4ac＞0……

【錯因分析】將“該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點”看成條件，造成錯誤。

【正解】當(dāng)y=0時，得x2-2mx-1=0，b2-4ac=4m2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵4m2≥0，∴4m2+4＞0。

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

因此，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點。

（2）當(dāng)-1≤m≤2時，求該函數(shù)圖像的頂點縱坐標(biāo)z的取值范圍。

【錯解】-5≤z≤-2。

【錯因分析】忽略了z=-m2-1是一個二次函數(shù)，沒有考慮頂點的情況，只計算了當(dāng)m=-1和m=2時z的值。

【正解】∵y=x2-2mx-1=（x-m）2-m2-1，

∴頂點縱坐標(biāo)z=-m2-1，畫出函數(shù)示意圖，如圖1。

由圖1可知，在-1≤m≤2范圍內(nèi)，圖像最高點為頂點（0，-1），最低點為（2，-5），

圖1

∴-5≤z≤-1。

（3）當(dāng)-1≤x≤2時，該函數(shù)y的最小值為-2，求m的值。

【錯解】當(dāng)x=-1時，y=2m=-2，得m=-1；當(dāng)x=2時，y=3-4m=-2，得

【錯因分析】沒有分類討論的意識。因為對稱軸不確定，所以要判斷函數(shù)y的最小值，需要根據(jù)對稱軸直線x=m的不同情況進行分類討論。

【正解】當(dāng)x=-1時，y=2m；當(dāng)x=2時，y=3-4m。函數(shù)頂點為（m，-m2-1）。

當(dāng)m＜-1時，函數(shù)y的最小值為2m，即2m=-2，則m=-1（舍去）；

當(dāng)-1≤m≤2時，函數(shù)y的最小值為-m2-1，即-m2-1=-2，則m=±1；

當(dāng)m＞2時，函數(shù)y的最小值為3-4m，即3-4m=-2，則（舍去）。

綜上所述，m的值為±1。

【總結(jié)】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）中的含參問題是一個難點。拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點以及函數(shù)的最值都會隨著a、b、c的相應(yīng)變化而變化。我們在思考時，可以畫出草圖進行分析，同時還需有分類討論的意識，只有這樣，才能完整得解。