關(guān)于g-框架與交錯對偶g-框架穩(wěn)定性的研究

張艷，張建平

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

框架理論是小波分析的主要研究內(nèi)容之一?？蚣芫哂蓄愃朴诨男再|(zhì)，它比基有更好的靈活性。Hilbert空間H中的框架{?j}可以將H中的任意元素表示成的形式，但其系數(shù)cj一般不是唯一的?？蚣芨拍钍紫扔蒁UFFIN等［1］在1952年為解決非調(diào)和Fourier級數(shù)的深層次問題而提出的，直到1986年，DAUBECHIES等［2］取得突破性研究?？蚣芾碚摫粦?yīng)用到許多領(lǐng)域，如濾波器理論［3］、信號處理［4］、量子計(jì)算［5］等，從而開創(chuàng)了框架理論研究的新時代。之后，國內(nèi)外許多學(xué)者對框架進(jìn)行了深入研究，得到了大量有價(jià)值的研究成果［6-7］。2006年，SUN通過研究斜框架［8］、偽框架［9］、子空間框架［10］等概念，從中提煉出了g-框架的概念［11］，并對g-Bessel序列、g-框架、g-Riesz基等相關(guān)概念及g-框架穩(wěn)定性進(jìn)行了研究［12］。算子是研究g-框架理論的一個重要工具，ZHU引入預(yù)框架算子的定義，使g-框架理論更加完善［13］。

文獻(xiàn)［14］研究了Hilbert空間中g(shù)-框架在Sα(α∈R)作用下的穩(wěn)定性及在可逆算子作用下的穩(wěn)定性。本文第二部分在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，研究g-框架在余等距算子、有界算子、滿射算子作用下的穩(wěn)定性，給出了g-Bessel序列成為g-框架的條件以及兩個g-框架的直和仍為g-框架的條件。文獻(xiàn)［15］通過有界算子與g-框架相結(jié)合，給出g-框架對在算子擾動下為g-框架的幾個結(jié)果。受其啟發(fā)，本文第三部分給出交錯對偶g-框架的定義，研究兩個g-Bessel序列成為交錯對偶g-框架的充要條件，證明了互為交錯對偶的兩個g-框架的和是g-框架，并給出互為交錯對偶的兩個g-框架分別在可逆算子作用下仍互為交錯對偶g-框架的充要條件。

1 預(yù)備知識

本文用U和V表示兩個Hilbert空間，{Vj：j∈J}是V中的一列閉子空間，J是可數(shù)的指標(biāo)集，用L(U，Vj)表示所有從U到Vj的有界線性算子的集合。若Vj=U，記L(U，Vj)=L(U)，此時稱IU為U上的恒等算子，

定義1［14］設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是Hilbert空間U中的一個算子列，如果存在兩個正常數(shù)0

定義2［16］設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架當(dāng)且僅當(dāng)TΛ：l2({Vj：j∈J})→U，是可定義的有界線性算子，就稱TΛ為{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子。它的共軛算子TΛ*：U→l2({Vj：j∈J})，TΛ*f={Λj(f)：j∈J}稱作是{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的分析算子。對于g-框 架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}稱有界算子SΛ：Λj f為{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的框架算子，SΛ是一個線性、有界、自伴、正的可逆算子［17］。

定義3［18］設(shè)H是Hilbert空間，Q是H上的線性有界算子，如果對?f∈H，‖Q*f‖=f，那么算子Q稱為余等距算子（其中Q*為算子Q的共軛算子）。

2 g-框架的穩(wěn)定性

引 理1［16］設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān) 于{Vj：j∈J}的g-框架，令T：U→U是U的可逆算子，則{ΛjT∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

引理2［19］設(shè)T：U→K為有界滿算子，存在有界算子T+：K→U，使得TT+：K→K，TT+f=f，則稱T+為T的偽逆。

引理1說明g-框架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}在可逆算子作用下仍為g-框架，下面定理1表明它在余等距算子的作用下仍然是g-框架。

定理1設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架，且它的下、上框架界分別為A、B，Q：U→U是余等距算子，若Γj=ΛjQ，則{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架，且框架界分別為A、B。

證明由g-框架的定義知，對?f∈U有

成立，由此可以得到

又因?yàn)?/p>

根據(jù)余等距算子的定義有‖Q*f‖=f，所以

接下來討論g-框架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}在有界算子的作用下仍為g-框架的充分必要條件。

定理2設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框 架，S：U→U是有界算子，則{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是g-框架的充分必要條件為，其中α為正常數(shù)。

證明必要性：設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分別為A、B，則對于?f∈U，有

若g-框架{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}的框架界為M、N，根據(jù)g-框架的定義知對?f∈U，有

成立，同時可得

因此結(jié)合式(2)和式(3)得

故對?f∈U，取結(jié)論成立。

充分性：假設(shè)存在α>0，對?f∈U，滿 足，則有

所以{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架且其框架界為Aα和B‖S‖2。

推論1設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架且它的下、上框架界為A和B，若S∈L(U)，則{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān) 于{Vj：j∈J}的g-框架當(dāng)且僅當(dāng)S是有界滿射算子，此時{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}的框架界為和。

證明若S是有界滿射算子，由引理2得知，存在偽逆算子S+使得SS+=IU，故對?f∈U，有，取，由定理2知結(jié)論成立。

定理3設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的兩個g-框架，TΛ、TΓ分別為其前框架算子，設(shè)S1、S2∈L(U)，若TΛTΓ*=0且S1或S2是滿射算子，則{ΛjS1+ΓjS2∈L()U，Vj：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

證明因?yàn)閧Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的兩個g-框架，故存在正常數(shù)0

成立，又因?yàn)門ΛTΓ*=0，根據(jù)前框架算子的定義，對?f∈U，有

不失一般性，假設(shè)S1是滿射算子，由推論1證明過程可知存在常數(shù)α，使得對?f∈U，有，由此可得

所 以{ΛjS1+ΓjS2∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān) 于{Vj：j∈J}的g-框架。

推論2設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的兩個Parserval g-框架，且TΛTΓ

*=0，則{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān) 于{Vj：j∈J}的框架界為2的Parserval g-框架。

定理4設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-Bessel序列，且滿足f=Λj f，?f∈U，則{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}都是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

證明設(shè)正數(shù)B、D分別為{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的Bessel界，則對?f∈U，

設(shè)U和X都是Hilbert空間，若，則我們稱U⊕X為兩個Hilbert空間的直和，此時U⊕X也是Hilbert空間。且定義內(nèi)積為

設(shè)U和X都 是Hilbert空 間，Λj∈L(U，Vj)，Γj∈L(X，Wj)，?f∈U，?g∈X，

定理5設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分別為A和B，{Γj∈L(X，Wj)：j∈J}是X關(guān) 于{Wj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分別為C和D，則{Λj⊕Γj∈L(U⊕X，Vj⊕Wj)：j∈J}是g-框架且其框架界為min{A，C}和max{B，D}。當(dāng)SΛ、SΓ、SΛ⊕Γ分別是Λ、Γ、Λ⊕Γ的框架算子，則SΛ⊕Γ=SΛ⊕SΓ。

證明對?f∈U，?g∈X，由式(4)得

由于對?f∈U，?g∈X，

3 交錯對偶g-框架的穩(wěn)定性

定義4設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列，當(dāng)滿足對?f∈U，有

成立，則稱{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架。

由交錯對偶g-框架的定義，給出g-Bessel序列為交錯對偶g-框架的充要條件。

定理6設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列，TΛ、TΓ分別為其前框架算子，則{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}為交錯對偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)TΓTΛ*=I=TΛTΓ*。

證明必要性：設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}為交錯對偶g-框架，根據(jù)交錯對 偶g-框架的定義，可知對?f∈U，有f=成立。

根據(jù)g-框架的前框架算子和分析算子的定義，可以得到

充分性：設(shè)TΓTΛ*=I=TΛTΓ*，因?yàn)?f，所 以 根 據(jù)交錯對偶g-框架的定義，{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}為交錯對偶g-框架。

定理7設(shè)TΓ是{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架 算 子，{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}都是{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的交錯對偶g-框架，若TΓ*TΓ=I，則 {Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}為交錯對偶g-框架。

證明設(shè)TΛ、TΦ分別是{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子，則

根據(jù)定理6知

又因?yàn)門Γ*TΓ=I，所以有

即TΦTΛ*=I=TΛTΦ*。

從而，由定理6可得{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}為交錯對偶g-框架。

定理8設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架，則{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

證明一方面，設(shè)AΛ、BΛ為{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的g-框架界，AΓ、BΓ為{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的g-框架界，TΛ、TΓ分別為其前框架算子，因?yàn)閧Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架，由定理6得TΓTΛ*=I，所以對?f∈U，

即證得{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列。

另一方面，設(shè){Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子為T，則

從而有T=TΛ+TΓ，又因?yàn)閧Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架，根據(jù)定理6知TΓTΛ*=I=TΛTΓ*，故對?f∈U，

顯然AΛ+AΓ+2>0，所以{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

推論3設(shè){ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}為交錯對偶g-框架，其中T1、T2∈L(U)都為可逆算子，則{ΛjT1+ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}是U關(guān)于{Vj：j∈J}的g-框架。

定理9設(shè){Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架，T1、T2∈L(U)都為可逆算子，則{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}為交錯對偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)T1*T2=I=T2*T1。

證明根據(jù)引理1可知，{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}都為g-框架。

必要性：設(shè){ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}為交錯對偶g-框架，因?yàn)閧Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交

錯對偶g-框架，根據(jù)定理6可知對?f∈U，

即得T2*T1=I；

充分性：設(shè)T1*T2=I=T2*T1，則

因?yàn)閧Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交錯對偶g-框架，所以，從而

同理，對?f∈U，

根據(jù)交錯對偶g-框架的定義，可知所證結(jié)論成立。