信息非對稱下量子庫諾特博弈的復(fù)雜動力機制分析

孫小茹，胡世麒，張新立

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）

量子博弈論是一門新興學(xué)科，旨在利用量子信息理論來研究博弈論[1]，現(xiàn)已應(yīng)用到各個領(lǐng)域。近年來，關(guān)于量子寡頭博弈的相關(guān)研究越來越多，Li等首先提出了一種“最小”量子化方法[2]。此后，許多學(xué)者應(yīng)用此方案對庫諾特寡頭問題進行了大量研究。例如Frackiewicz 發(fā)現(xiàn)，在量子庫諾特模型中，當(dāng)量子糾纏趨于無窮大時，納什均衡會收斂到帕累托最優(yōu)解[3]；Shi等建立了具有等彈性需求函數(shù)的量子庫諾特博弈模型，并分析了量子糾纏與相對邊際成本對均衡利潤的影響[4]。

由于參與人認(rèn)知的局限性，只有在參與人有限理性的基礎(chǔ)上進行動態(tài)分析才能揭示博弈演化的本質(zhì)。常見的理性假設(shè)主要有：有限理性、天真預(yù)期、延遲有限理性以及局部壟斷近似等[5]。Agiza等構(gòu)建了具有異質(zhì)預(yù)期的庫諾特雙寡頭博弈模型，分析了均衡點的局部穩(wěn)定性及模型的動態(tài)復(fù)雜性[6]；Peng等建立了延遲有限理性條件下的庫諾特三寡頭博弈模型，分析了動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和復(fù)雜性特征[7]。

縱觀這些研究不難發(fā)現(xiàn)，均衡解不穩(wěn)定問題依舊存在，因此研究具有不同理性假設(shè)的動態(tài)量子庫諾特博弈非常有必要。Shi等建立了具有有限理性和天真預(yù)期的動態(tài)量子庫諾特雙寡頭博弈模型[8]；Zhang等研究了具有二次成本函數(shù)和異質(zhì)預(yù)期的動態(tài)量子庫諾特雙寡頭博弈[9]。此外，信息非對稱也是影響庫諾特寡頭博弈動態(tài)特征的一個重要因素，因此在進行產(chǎn)量決策時考慮信息非對稱性具有非常重要的現(xiàn)實意義。Du等首次對信息非對稱條件下的庫諾特雙寡頭博弈進行了量子化[10]；Guo等建立了具有有限理性的三寡頭博弈模型，分析了非對稱信息對市場競爭復(fù)雜性的影響[11]。

雖然已有很多學(xué)者對企業(yè)間存在的信息非對稱問題進行了研究，但是在具有非對稱信息的博弈中有限理性這一概念卻經(jīng)常被忽視，將非對稱信息與有限理性和量子博弈論結(jié)合起來將是一個值得深入研究的問題。鑒于此，本文建立了非對稱信息條件下的有限理性量子庫諾特雙寡頭模型，計算了量子均衡點的局部穩(wěn)定性條件，分析了糾纏度和企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對系統(tǒng)動態(tài)特征的影響，試圖為控制動態(tài)系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象提出有效的解決辦法。

1 量子庫諾特雙寡頭博弈模型

設(shè)兩寡頭企業(yè)共同控制著某一產(chǎn)品的市場，其產(chǎn)量分別為q1、q2。總產(chǎn)量Q=q1+q2，產(chǎn)品的價格由函數(shù)p=a-bQ確定，其中p表示產(chǎn)品價格，a表示產(chǎn)品在市場上最高價格。設(shè)兩寡頭企業(yè)的成本函數(shù)均為線性形式Ci(qi) =cqi，i= 1,2，其中c＞0表示企業(yè)的邊際成本。兩寡頭企業(yè)的利潤函數(shù)可表示為

因此兩企業(yè)的邊際利潤分別為

求解可得量子納什均衡產(chǎn)量為

2 信息非對稱下的量子庫諾特博弈動態(tài)模型

一方面，雙寡頭市場中的信息通常是不完全的，企業(yè)會使用更復(fù)雜的理性預(yù)期來更新產(chǎn)量；另一方面，企業(yè)間可能存在信息不對稱的現(xiàn)象。假定兩個企業(yè)都是有限理性的，且企業(yè)1在t+ 1時期的產(chǎn)量x1(t+ 1)是兩企業(yè)的共同知識，因此模型可表示成

3 動態(tài)系統(tǒng)的均衡解及其局部穩(wěn)定性

對于上述動態(tài)系統(tǒng)，令xi(t+ 1) =xi(t)=xi，得到4個量子均衡點：

由穩(wěn)定性條件可知，均衡解是穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)Jacobian 矩陣的特征值均小于1。因此，對于上述4個均衡點，有以下結(jié)論成立：

結(jié)論1 量子邊界均衡點E0、E1、E2不穩(wěn)定。

證明E0點處的Jacobian矩陣為J(E1)的特征值分別為λ1=b11,λ2=b22,顯然|λ1|＞1,|λ2|＜1，因此E1是不穩(wěn)定鞍點，同理，E2也是不穩(wěn)定鞍點。

結(jié)論2 量子納什均衡點E*是局部穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)

J(E*)的特征多項式為p(λ)=λ2- Tr(J)λ+ Det(J)，其中Tr(J)表示跡，Det(J)表示行列式，Tr(J)= 2 -(α+β)b(1 +e2γ)x*+αβb2e4γ(x*)2,Det(J)= 1 -(α+β)b(1 +e2γ)x*+αβb2(1 +e2γ)2(x*)2。

由于Tr(J)2- 4Det(J)＞0，所以J(E*)的特征根全為實的。根據(jù)Jury 穩(wěn)定性判據(jù)，量子納什均衡點E*局部穩(wěn)定的充要條件為

因此，得到量子納什均衡點E*局部穩(wěn)定的條件。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)運用Matlab 進行數(shù)值仿真，繪制了動態(tài)系統(tǒng)的單參數(shù)產(chǎn)量分岔圖、奇異吸引子圖以及對初始條件的敏感性圖，從而直觀地顯示了糾纏度與產(chǎn)量調(diào)整速度對動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及復(fù)雜性特征的影響。其中，各參數(shù)的取值分別為a= 10，b= 0.3，c= 3。

4.1 分岔與混沌

圖1 為β= 0.1 時兩企業(yè)產(chǎn)量隨企業(yè)1 的產(chǎn)量調(diào)整速度α變化的分叉圖。當(dāng)γ= 0 時，量子納什均衡點(7.821,7.821)在α＜0.465 時局部穩(wěn)定。伴隨α的繼續(xù)增大，均衡點可能會產(chǎn)生分岔、混沌現(xiàn)象。當(dāng)γ= 0.2時，量子納什均衡點(5.973,5.973)在α＜0.498時保持局部穩(wěn)定。由此可見，量子糾纏度越大，企業(yè)1的產(chǎn)量調(diào)整速度對兩企業(yè)產(chǎn)量的影響越小，系統(tǒng)（12）越穩(wěn)定，分岔和混沌出現(xiàn)的越晚，但兩企業(yè)的量子納什均衡產(chǎn)量卻減小了。

圖1 產(chǎn)量隨α變化分叉混沌圖Figure 1 Bifurcation diagram of output change with α

圖2為α= 0.1時兩企業(yè)產(chǎn)量隨企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度β變化的分叉圖。當(dāng)γ= 0時，隨著β的不斷增大量子納什均衡點由混沌、分岔逐步進入局部穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)β＞0.23后，量子納什均衡點(7.778,7.778)始終保持局部穩(wěn)定。當(dāng)γ= 0.2時，量子納什均衡點(5.974,5.974)在α＞0.19后就開始進入局部穩(wěn)定狀態(tài)。由此可見，量子糾纏度越大，系統(tǒng)（12）的穩(wěn)定性就越高，進入穩(wěn)定狀態(tài)越快，適當(dāng)增大企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度β能夠起到混沌控制的作用。

圖2 產(chǎn)量隨β變化分叉混沌圖Figure 2 Bifurcation diagram of output change with β

4.2 奇異吸引子

奇異吸引子是混沌系統(tǒng)的主要特征之一[12]。圖3（a）和圖3（b）分別顯示了α= 0.68、糾纏度取不同值時與圖1中的混沌相對應(yīng)的奇異吸引子。而圖4（a）和圖4（b）分別顯示了α= 0.66時，γ= 0和γ= 0.2所對應(yīng)的奇異吸引子。

圖3 α = 0.68時對應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇異吸引子Figure 3 Strange attractor corresponding to Figure 1 with α = 0.68

圖4 α = 0.66時對應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇異吸引子Figure 4 Strange attractor corresponding to Figure 1 with α = 0.66

4.3 對初始條件的敏感依賴性

對初始條件的敏感依賴性也是非線性動態(tài)系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的特點之一。為了分析糾纏度不同時混沌狀態(tài)對初始條件敏感性的影響，設(shè)兩企業(yè)產(chǎn)量的初值為(x1(0),x2(0)) =(5，8)，相對細(xì)微變動的初值為(x1(0) +0.001,x2(0))和(x1(0),x2(0) + 0.001)。圖5、圖6 分別為企業(yè)1 與企業(yè)2 的產(chǎn)量隨時間變化的情況。初值與細(xì)微變動的初值所對的2條曲線在動態(tài)演化初始階段沒有明顯差別，但是隨著時間的增加，產(chǎn)量變化呈現(xiàn)出了明顯的差別。在初值相同的條件下，企業(yè)1比企業(yè)2的產(chǎn)量變化幅度大。當(dāng)糾纏度增大時，每個變量兩軌道間的差異出現(xiàn)得更晚。因此，增大糾纏度可以降低對初始條件的敏感依賴性。

圖5 企業(yè)1的產(chǎn)量對初始條件的敏感依賴性Figure 5 Sensitive dependence of the output of firm 1 on the initial conditions

圖6 企業(yè)2的產(chǎn)量對初始條件的敏感依賴性Figure 6 Sensitive dependence of the output of firm 2 on the initial conditions

5 結(jié)論

本文建立了一個具有非對稱信息和有限理性的動態(tài)量子庫諾特博弈模型，分析了糾纏度、企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與復(fù)雜性的影響。結(jié)果表明，隨著糾纏度的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性會提高，當(dāng)企業(yè)1的產(chǎn)量調(diào)整速度過大時，系統(tǒng)會進入分岔、混沌狀態(tài)，而當(dāng)企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度超過某一值時，系統(tǒng)會由混沌狀態(tài)進入局部穩(wěn)定狀態(tài)。因此，適當(dāng)增大糾纏度與企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度可以抑制動態(tài)系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，從而使企業(yè)能夠選擇更加合理的產(chǎn)量。