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    一道導數(shù)多元變量不等式證明方法的深度融合

    2023-01-12 07:28:24江蘇省海門中學226100
    中學數(shù)學研究(江西) 2023年1期
    關(guān)鍵詞:切線數(shù)形單調(diào)

    江蘇省海門中學 (226100)

    渠懷蓮

    多元變量不等式證明問題是導數(shù)中常見的一種題型,我們需要深入剖析,把握題目的本質(zhì),并對題目進行探究歸納,證明方法統(tǒng)一整合,與導數(shù)中單調(diào)性、極值、最值,切線基本問題融合考查.解決函數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合,正如著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.”本文主要采用指對數(shù)的切割線放縮“以直代曲”思想方法論證不等式,并通過“數(shù)”進行邏輯推理,弱化條件或加強條件證明,化零為整統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式,化整為零分而治之,構(gòu)造新目標函數(shù)論證不等式.

    一、題目呈現(xiàn)

    已知函數(shù)f(x)=x(1-alnx)+1(a∈R).

    (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(略)

    (2)若關(guān)于t的方程lnt-(m-1)t+1=0有兩個不相等的實數(shù)根t1,t2,試證明:

    二、解法探究

    首先,將方程調(diào)整至原函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式,利用已知結(jié)論解決問題,優(yōu)化解題路徑.

    從而原問題轉(zhuǎn)化為證明:

    問題1:x1+x2>2;

    問題2:x1+x2

    圖1

    其次,如圖1,各參數(shù)的取值范圍,1

    最后,我們采用數(shù)形結(jié)合,先用“形”找出證明的突破口,再用“數(shù)”去論證推理.

    問題1 (方法一)增量換元法,即將兩個變量的和差積商作為一個變量,起到減元效果.

    (方法二)極值點偏移,由單調(diào)性重構(gòu)函數(shù)證明不等式.

    因為f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且02,只要證x2>2-x1>1,即證f(x2)0.令φ(x)=f(2-x)-f(x),0φ(1)=0,所以f(2-x1)-f(x1)>0,即得x1+x2>2.

    問題2 以直代曲,切割線放縮.

    圖2

    如圖2以形助數(shù),f(x)在(0,1)上考慮割線y=x+1,f(x)在(1,e)上考慮切線y=-x+e+1.首先,對?x∈(0,1),都有f(x)>x+1.要證x(1-lnx)+1>x+1,即證xlnx<0,只需證lnx<0,成立.所以f(x1)>x1+1①.其次,對?x∈(1,e),都有f(x)<-x+e+1,要證x(1-lnx)+1<-x+e+1,即證2x-xlnx-e<0.令φ(x)=2x-xlnx-e,10,因而φ(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,所以φ(x)<φ(e)=0成立.所以f(x2)<-x2+e+1,即得-f(x2)>x2-e-1②.又f(x1)=f(x2)=m,以上兩結(jié)論①,②不等式相加可得x1+x2

    問題3 (方法一)調(diào)整切線放縮,在區(qū)間內(nèi)恰當選擇切點.

    (方法二)弱化條件,嘗試分而治之,重構(gòu)函數(shù)證明不等式.

    問題4 割線放縮,調(diào)整參數(shù)前的系數(shù).

    圖3

    三、證后反思

    此題的問題3是考查核心,其它幾問是為了證明方法之間的融合而添加的設(shè)問.在證明過程中,我們采用了數(shù)形結(jié)合切割線放縮,其中尋找恰當?shù)那悬c是關(guān)鍵,我們可以通過斜率去發(fā)現(xiàn),也可以通過目標不等式中需要的量發(fā)現(xiàn).方法一簡潔明了,以形助數(shù),“以直代曲”的思想方法,并且以數(shù)論形嚴密的邏輯推理.方法二技巧性要求很高,敢于把相關(guān)變量視作獨立變量去處理,兩個變量各重構(gòu)一個新的目標函數(shù)分而治之.由此我們在處理數(shù)學問題時需要在“本手”的基礎(chǔ)上,使出一招“巧手”,規(guī)避“俗手”解決問題的途徑,做到知識與模塊的整合,解決路徑證明方法的融合,提升學生的直覺思維與邏輯思維.

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