發(fā)現(xiàn)探究 揭示本質(zhì)*
——對一道拋物線試題的研究性學(xué)習(xí)

福建省漳州實驗中學(xué) (363007)

王麗清

福建省漳州第一中學(xué) (363000)

林志展

1 解法探究

析解：(1)該題題干簡捷明了，直接給出了拋物線的方程，第(1)問考查直線與拋物線的位置關(guān)系，求解時易漏掉考慮斜率不存在及斜率為0兩種情況.其實，從數(shù)形結(jié)合，不難發(fā)現(xiàn)使得l與C有且只有一個公共點的直線有三條.

當(dāng)直線l斜率不存在時，其方程為x=0，符合題意；

(2)第(2)問要求點Q的軌跡方程，點Q為什么會變化，是隨著哪個變量的變化而變化？

思路一：隨著直線l的斜率k的變化而變化.為此設(shè)點Q(x,y)，把x，y表示成k的函數(shù)關(guān)系式.

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長公式、求軌跡方程的方法等，考查運算求解能力和函數(shù)與方程思想，考查邏輯思維的嚴(yán)密性，直觀想象，數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

2 變式探究

由第(1)問，不難發(fā)現(xiàn)直線y=2x就是過點P所作拋物線兩條切線的切點所在的直線，那么這樣的性質(zhì)是否對任意的拋物線及在它之外的一點P(x0,y0)都成立呢？又若過P(x0,y0)可作拋物線y2=2px的兩條切線，切點分別為P1、P2，則切點所在的直線P1P2方程為y0y=p(x+x0).為此，我們得到如下的命題.

從上面的證明過程不難發(fā)現(xiàn)，點P在拋物線外部，改為點P不在拋物線，該命題仍成立.因此，我們得到如下的性質(zhì).

類似的性質(zhì)對橢圓、雙曲線成立嗎？不難通過證明，發(fā)現(xiàn)也是成立的.因此，我們得到如下的性質(zhì).

經(jīng)過探究可以得到如下更一般的性質(zhì)：

至此，感受到了圓錐曲線和諧統(tǒng)一的性質(zhì)之美.

3 研后反思

以上通過對一道質(zhì)檢試題的探究，得出圓錐曲線有關(guān)的性質(zhì)，揭示了問題的本質(zhì)，經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)的眼光(數(shù)學(xué)抽象)去發(fā)現(xiàn)問題、使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言、模型描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的全過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.就目前的教學(xué)而言，首先教師要鉆到題海例去，深入研究，由表及里，對考題進行充分、本質(zhì)的認(rèn)識，其次還要有意識地去引導(dǎo)學(xué)生進行有益的探究，這樣，才能充分調(diào)動學(xué)生的思維，形成學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新意識.