橫向載荷作用下螺栓在緊固過(guò)程中的力分析

劉培生，程偉

(北京師范大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 射線束技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100875)

0 引言

國(guó)力之較量，乃國(guó)家之間科技水平之較量；科技水平之體現(xiàn)，在于國(guó)家重大工程。因此，工程科學(xué)的地位越來(lái)越重要[1-4]。無(wú)論是我國(guó)早期的兩彈一星工程，還是近些年的探月工程、火星探測(cè)工程、載人航天工程、FAST天眼工程、深海探測(cè)工程、高鐵工程、港珠澳大橋工程等重大工程的成功實(shí)現(xiàn)，都離不開工程力學(xué)設(shè)計(jì)的有效運(yùn)用[5-8]，因?yàn)檫@是工程結(jié)構(gòu)中最基本的設(shè)計(jì)。重大工程的力學(xué)設(shè)計(jì)需要建立在諸多細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，這些細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)看似貌不驚人，但作用至關(guān)重要[9-12]。緊固螺栓設(shè)計(jì)就是這樣一個(gè)例子。螺栓連接具有承載力高、裝配周期短、安裝方便快捷等優(yōu)點(diǎn)，在航空航天、建筑、船舶等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[13]。在鋼結(jié)構(gòu)建筑行業(yè)，高強(qiáng)螺栓連接已成為鋼結(jié)構(gòu)梁柱節(jié)點(diǎn)的主要連接方式之一[13-17]。螺栓作為連接結(jié)構(gòu)中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，承擔(dān)著各構(gòu)件之間的載荷傳遞，因此準(zhǔn)確地評(píng)估螺栓承載能力成為連接結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一[13]。在前期的一些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，人們更多關(guān)注的是撬力對(duì)螺栓軸向承載能力的作用[18-20]。但因影響撬力的因素較多，實(shí)際情況比較復(fù)雜，故而已有的撬力計(jì)算均具有一定的局限性[13]。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)外力作用下的軸力作用主導(dǎo)型螺栓的真實(shí)受力狀態(tài)為拉力和彎矩的共同作用[21-23]。但基于這種考慮的已有螺栓承載能力評(píng)估方法中大多通過(guò)數(shù)值擬合的方法得到彎矩的近似解，與螺栓真實(shí)受力狀態(tài)有一定的偏差[13]。鑒于這種情況，文獻(xiàn)[13]仔細(xì)研究了高強(qiáng)螺栓在受拉工況下因產(chǎn)生附加彎矩而削弱其承載能力的問(wèn)題，獲得了良好的設(shè)計(jì)效果。關(guān)于剪切螺栓的對(duì)應(yīng)工作則十分罕見，僅發(fā)現(xiàn)有少量的實(shí)驗(yàn)研究[24-25]。而關(guān)于外力作用下的剪力作用主導(dǎo)型螺栓在對(duì)應(yīng)工況下產(chǎn)生附加彎矩等問(wèn)題，則未見相關(guān)研究。本文運(yùn)用工程力學(xué)基本知識(shí)，通過(guò)討論緊固螺栓在承受橫向載荷狀態(tài)下的整體力平衡問(wèn)題，剖析其內(nèi)部產(chǎn)生的剪力和附加彎矩作用，獲悉螺桿的內(nèi)力分布狀態(tài)，以期更加有效地助力于螺栓的實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)。

1 問(wèn)題的提出

螺栓緊固是工程結(jié)構(gòu)上常用和有效的連接方式。圖1呈現(xiàn)的是關(guān)于常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)螺栓使用狀態(tài)下的代表性問(wèn)題[26]。該問(wèn)題通過(guò)不同緊固結(jié)構(gòu)形式的螺栓內(nèi)力分析，表現(xiàn)出拉伸和剪切這兩種螺栓的基本受力和變形方式。

圖1 緊固螺栓的基本受力和變形方式

通過(guò)更細(xì)致的分析可以發(fā)現(xiàn)，圖1的兩種受力結(jié)構(gòu)，除了關(guān)于構(gòu)件的基本受力和變形方式外，在關(guān)于構(gòu)件的內(nèi)力方程以及關(guān)于構(gòu)件內(nèi)部應(yīng)力的計(jì)算上更是飽含了大量的信息。通過(guò)挖掘整體結(jié)構(gòu)中各個(gè)部件之間的受力傳遞關(guān)系，可以找到常見緊固件豐富的受力平衡關(guān)系和多彩的力分布狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，可為螺栓設(shè)計(jì)構(gòu)建相關(guān)的內(nèi)力方程并進(jìn)行對(duì)應(yīng)計(jì)算。

圖1(a)的連接方式是一類應(yīng)用最多的典型連接結(jié)構(gòu)。在此類連接結(jié)構(gòu)中，主要是連接構(gòu)件對(duì)螺栓產(chǎn)生軸向作用力。這種情況在一般的對(duì)稱受力狀態(tài)下，螺栓的力平衡問(wèn)題和內(nèi)力分布都比較簡(jiǎn)單，因而其力學(xué)設(shè)計(jì)也比較簡(jiǎn)單。但在不少工程結(jié)構(gòu)中，此類螺栓連接不是簡(jiǎn)單的螺栓軸向受拉工況。例如，在航天飛行器結(jié)構(gòu)和建筑鋼結(jié)構(gòu)中，使用大直徑高強(qiáng)螺栓的典型連接結(jié)構(gòu)都存在被連接件的連接面剛度分布非對(duì)稱或單向?qū)ΨQ的問(wèn)題[13]。因此，螺栓內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生附加彎矩。文獻(xiàn)[13]在充分研究高強(qiáng)螺栓受拉工況下出現(xiàn)附加彎矩的基礎(chǔ)上，提出了有效降低螺栓附加彎矩的優(yōu)化設(shè)計(jì)。該工作基于最大應(yīng)力破壞準(zhǔn)則，開展了考慮附加彎矩和彎曲塑性影響的螺栓載荷失效判據(jù)研究，具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

為改善螺栓連接結(jié)構(gòu)的連接性能，文獻(xiàn)[27]研究了螺栓連接結(jié)合面的接觸壓力分布。其利用有限元數(shù)值分析方法建立了彈性接觸主動(dòng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并由此提出優(yōu)化連接性能的螺栓連接結(jié)合面形狀主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，從而改善其壓力分布狀態(tài)?？紤]螺紋的三維螺旋線形幾何特征和各組件結(jié)合面之間的摩擦接觸關(guān)系。文獻(xiàn)[28]利用有限元模型計(jì)算給出接頭軸向力與軸向變形之間的非線性關(guān)系曲線，以及殘余預(yù)緊力和螺紋段最大等效應(yīng)力隨被連接件所受軸向外力的變化關(guān)系曲線，基于這些曲線，提出確定螺栓接頭預(yù)緊力和允許外力的方法。為更好地設(shè)計(jì)承受強(qiáng)脈沖載荷的端蓋法蘭結(jié)構(gòu)的螺栓預(yù)緊力，文獻(xiàn)[29]利用霍普金森桿平臺(tái)，基于液壓原理設(shè)計(jì)了一套實(shí)驗(yàn)裝置，結(jié)合數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)強(qiáng)脈沖載荷下端蓋法蘭結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究。其研究發(fā)現(xiàn)由預(yù)緊力和脈沖載荷引起的螺栓總拉伸應(yīng)變隨載荷峰值變化的曲線上，有一個(gè)最小值，該值與載荷峰值、載荷脈寬的變化存在規(guī)律性的對(duì)應(yīng)。裝配式防屈曲支撐的外圍約束構(gòu)件主要通過(guò)高強(qiáng)螺栓連接形成整體，文獻(xiàn)[30]通過(guò)考慮外圍約束構(gòu)件的螺栓布置間距、內(nèi)核多波變形波長(zhǎng)以及因外圍約束構(gòu)件板件局部變形引起的撬力影響，來(lái)確定跨中螺栓內(nèi)力，此外還提出了端部螺栓的內(nèi)力計(jì)算公式及端部螺栓加強(qiáng)方案。

對(duì)于圖1(b)這類以螺栓受剪力作用為主的連接結(jié)構(gòu)，研究相對(duì)少見。例如，文獻(xiàn)[24]考察不同速度對(duì)SCM440H材料螺栓剪切性能的影響，并由此設(shè)計(jì)了用于機(jī)械過(guò)載保護(hù)裝置的安全螺栓。再如，現(xiàn)代高速列車設(shè)計(jì)均需要考慮列車的被動(dòng)安全防護(hù)?；诩羟新菟ǖ幕赝耸杰囥^設(shè)計(jì)可解決機(jī)車端部縱向空間不足的缺點(diǎn)，剪切螺栓在極限載荷下發(fā)生剪切失效，車鉤縱向回退為吸能防爬裝置提供額外的吸能行程，可顯著提高機(jī)車的被動(dòng)安全性[25]。文獻(xiàn)[25]即利用螺栓的剪切失效特性實(shí)現(xiàn)了機(jī)車新型回退式車鉤的功能設(shè)計(jì)。

在文獻(xiàn)[25]的工作中，通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)及落錘沖擊剪切試驗(yàn)，建立了用于電力機(jī)車回退式車鉤剪切螺栓的45號(hào)鋼Johnson-Cook (J-C)本構(gòu)斷裂失效模型。剪切螺栓屬于非標(biāo)準(zhǔn)件，該研究以具有凹槽結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的專用型剪切螺栓為試驗(yàn)對(duì)象，分析了不同螺栓直徑、凹槽直徑以及凹槽寬度對(duì)剪切螺栓最大剪切力的影響。在標(biāo)準(zhǔn)螺栓的基礎(chǔ)上鑿取有利于剪切的凹槽結(jié)構(gòu)，可使螺栓在預(yù)定剪切力范圍內(nèi)發(fā)揮剪切失效功能。研究發(fā)現(xiàn)螺栓剪切力隨剪切凹槽直徑增大而增大，且與凹槽的橫截面積呈正比，而其最大剪切力與自身直徑近似無(wú)關(guān)。

但是，對(duì)于圖1(b)情形中常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)螺栓的靜態(tài)承載方式，尚未發(fā)現(xiàn)對(duì)其橫向力導(dǎo)致彎矩效應(yīng)的研究。本文選擇此類情況下螺栓處于反向?qū)ΨQ載荷作用的狀態(tài)，進(jìn)行分析和討論。

分析可知，在圖1(b)中，不但存在剪切的問(wèn)題，其實(shí)也存在拉伸的問(wèn)題，同時(shí)還存在彎曲的問(wèn)題。而對(duì)彎曲問(wèn)題的分析對(duì)于提高實(shí)際設(shè)計(jì)質(zhì)量具有實(shí)質(zhì)性的參考和指導(dǎo)作用。當(dāng)然，如果僅用靜力學(xué)剛體模型來(lái)考慮，分析過(guò)程就會(huì)變得比較簡(jiǎn)單。但實(shí)際上螺栓一般是金屬材質(zhì)的微變形體，因此比剛體模型要考慮得更多。下文先對(duì)螺栓作彈性體受力分析(其中螺栓的螺桿與承載構(gòu)件圓孔之間為間隙配合)。為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，本文忽略螺栓、螺帽的自重，同時(shí)忽略承載構(gòu)件與螺栓、螺帽之間的摩擦力。

2 螺栓的受力分析

為了便于分析，下文中將圖1(b)左圖拉寬用于展示螺栓及構(gòu)件整體結(jié)構(gòu)和受力情況，將圖1(b)中螺栓、螺帽分別軸向拉長(zhǎng)以展示其具體的受力狀態(tài)。

首先，在總裝結(jié)構(gòu)中建立平面直角坐標(biāo)系Oxy如圖2：其中坐標(biāo)原點(diǎn)O為螺栓頭部臺(tái)階面的中點(diǎn)，即螺栓頭部的右側(cè)端面中點(diǎn)；橫軸為x軸，與螺栓的軸線重合；縱軸為y軸；A為左右兩個(gè)構(gòu)件(厚度均為b)貼合面與橫軸的交點(diǎn)，B為右側(cè)構(gòu)件的右側(cè)面與橫軸的交點(diǎn)。

圖2 螺栓緊固兩個(gè)豎向承載構(gòu)件的總裝結(jié)構(gòu)圖

2.1 開始承載狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的受力分析

過(guò)程的第一步，是兩個(gè)將要承載的構(gòu)件與螺栓都受到擰緊螺帽的預(yù)緊力作用，然后構(gòu)件接受集中力載荷并傳遞到螺桿處實(shí)現(xiàn)均勻化(圣維南原理)。圖3和圖4分別展示出了螺栓和螺帽的起始受力狀態(tài)，兩圖相互對(duì)應(yīng)。對(duì)于圖3的圖解如下：螺栓的頭部右側(cè)受到緊固力作用，其平臺(tái)形成向左的均布力q1(y)；螺桿中螺柱與螺帽接觸段受到螺帽的螺紋咬合緊固作用，形成繞其軸線而向右的均布力q0(x)；螺桿中的OA段(即靠左的圓柱部分)受到左邊構(gòu)件作用而在下側(cè)產(chǎn)生向上的均布力q1(x)(下側(cè)緊頂構(gòu)件，上側(cè)形成縫隙)，螺桿中的AB段(即靠右的圓柱部分和緊挨的螺柱部分)受到右邊構(gòu)件作用而在上側(cè)產(chǎn)生向下的均布力q2(x)(上側(cè)緊頂構(gòu)件，下側(cè)形成縫隙)。此時(shí)，設(shè)向上均布力為q1(x)=a，并設(shè)構(gòu)件厚度為b，則有

Fp=q1(x)b=ab

(1)

圖3 螺栓起始受力狀態(tài)

圖4 螺帽起始受力狀態(tài)

2.2 承載后結(jié)構(gòu)趨向穩(wěn)定的受力分析

過(guò)程的第二步是緊接著第一步而發(fā)生的，螺桿受橫向力后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，集中力載荷傳遞過(guò)來(lái)的均布力和螺栓頭部平臺(tái)開始均布的緊固力都逐漸變化為一側(cè)作用力最大的近似線性遞變非均布力，緊頂?shù)哪莻€(gè)點(diǎn)作用力最大(參見圖5中箭頭指向的位置)。

圖5 螺桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)后的作用力最大點(diǎn)位置

對(duì)應(yīng)上述的螺栓軸線偏轉(zhuǎn)，A點(diǎn)左側(cè)順次向上位移，A點(diǎn)右側(cè)順次向下位移。因此，螺栓水平上下兩個(gè)作用面的豎向力都可近似視為從外側(cè)0開始沿x軸(橫軸)線性增大到內(nèi)側(cè)為止的分布力q1(x)和q2(x)(參見圖6)，其中q1(x)和q2(x)為反向?qū)ΨQ(中心點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱)分布，形成豎向力平衡。注意實(shí)際螺栓為彈性體，此時(shí)不能作剛體受力位置簡(jiǎn)化處理，即為集中力處理，否則會(huì)改變彈性體受力狀態(tài)的變形效應(yīng)，從而影響內(nèi)力分析。而螺栓頭部?jī)?nèi)側(cè)豎向作用面的橫向預(yù)緊力，也在其軸線偏轉(zhuǎn)的過(guò)程中由圖3的均布力q1(y)，而逐漸變?yōu)榻剖艿阶髠?cè)構(gòu)件從最低點(diǎn)0開始線性增大到最高點(diǎn)為止的緊固分布力q1(y)，參見圖6。由力的平移原理可知，分布力q1(y)的作用不但形成橫向緊固力，并形成對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩。

圖6 構(gòu)件承載穩(wěn)定后螺栓的受力狀態(tài)

在圖6中：螺栓頭部右側(cè)受到緊固力作用，上端點(diǎn)緊頂，其平臺(tái)形成向左的近線性分布力q1(y)，從上至下遞減；螺桿中螺柱與螺帽接觸段仍受到螺帽的螺紋咬合的橫向緊固作用，保持其形成繞軸線而向右的橫向均布力q0(x)，但由于軸線偏轉(zhuǎn)，會(huì)增加一對(duì)橫向近線性分布力：上側(cè)左大右小并向下的q3(x)(左端點(diǎn)與螺帽在豎向緊頂)和下側(cè)右大左小并向上的q4(x)(右端點(diǎn)與螺帽在豎向緊頂)。螺桿中靠左的圓柱部受到左邊構(gòu)件作用而在下側(cè)產(chǎn)生向上的豎向近線性分布力q1(x)(下側(cè)右端點(diǎn)緊頂構(gòu)件，上側(cè)形成縫隙；若構(gòu)件之間以及構(gòu)件與螺栓之間配合不是很好，則所述偏轉(zhuǎn)量就可能稍大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的上側(cè)左端點(diǎn)也可能頂上構(gòu)件而產(chǎn)生較小的向下分布力，這一情況較復(fù)雜，暫不予討論，反方向亦然)，螺桿中靠右的圓柱部分和緊挨的螺柱部分受到右邊構(gòu)件作用而在上側(cè)產(chǎn)生向下的橫向近線性分布力q2(x)(上側(cè)左端點(diǎn)緊頂構(gòu)件，下側(cè)形成縫隙)。

接下來(lái)討論螺帽的情況。在第二步中，螺帽內(nèi)側(cè)豎向作用面也由圖4的預(yù)緊均布力q2(y)，逐漸變?yōu)榻剖艿接覀?cè)構(gòu)件從最高點(diǎn)0開始線性增大到最低點(diǎn)為止的緊固分布力q2(y)，參見圖7。該分布力進(jìn)而作用到螺桿的螺柱段。為分析方便，將分布力q2(y)由于非均勻化后作用到螺桿螺柱段的豎向作用力視為形成水平上下兩個(gè)作用面(其實(shí)是一個(gè)圓柱狀作用面)。于是，該段的橫向作用力仍保持預(yù)緊力q0(x)(近似為螺帽螺紋咬合段的橫向均布力)，與分布力q1(y)的作用形成橫向緊固力平衡；而在豎直方向上則增加兩個(gè)可近似視為從一側(cè)0開始線性增大到另一側(cè)為止的分布力q3(x)和q4(x)，這兩個(gè)分布力呈反向?qū)ΨQ分布，與分布力q1(y)的偏心作用形成偶矩平衡(參見圖6)。

圖7 構(gòu)件承載穩(wěn)定后螺帽的受力狀態(tài)

3 螺桿的內(nèi)力方程

由于螺帽的受力狀態(tài)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而緊固結(jié)構(gòu)的破壞往往發(fā)生在螺栓的螺桿部分，因此我們選擇與承載構(gòu)件接觸的螺桿OB段建立內(nèi)力方程并進(jìn)行橫截面正應(yīng)力的計(jì)算分析。首先重申如前建立的螺栓軸線位置坐標(biāo)x軸：以螺栓頭部右側(cè)端面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正方向的橫軸。下面分段進(jìn)行討論。

1)OA段：

設(shè)方向向上的橫向近線性分布力

q1(x) ≈kx

(2)

并設(shè)承載構(gòu)件厚度為b，則有

(3)

從上式得

k≈ 2Fp/b2

(4)

式(4)代入式(2)有

q1(x)≈(2Fp/b2)x(0

(5)

于是，螺桿中受到左邊承載構(gòu)件作用部分的剪力方程為(考慮左側(cè)的豎向力平衡)

(6)

設(shè)螺栓緊固力(此力表現(xiàn)為由q1(y)和q0(x)表征的橫向力平衡)對(duì)O點(diǎn)產(chǎn)生的力矩大小為M0，此即由q1(y)表征的偏心力向中點(diǎn)O平移所帶來(lái)的偶矩(參見圖6)，則考慮左側(cè)的矩平衡，螺桿中受到左邊構(gòu)件作用的圓柱部分彎矩方程為

(0

(7)

2)AB段：

按照與上述OA段類似的分析方法，同時(shí)參考兩段受力的反向?qū)ΨQ性，考慮右側(cè)的豎向力平衡，可得螺桿中受到右邊承載構(gòu)件作用部分的剪力方程為

FQ(x)=(F′P/b2)(2b-x)2(b

(8)

設(shè)螺帽對(duì)螺栓的緊固力(由q0(x)與q3(x)和q4(x)聯(lián)合表征)對(duì)螺栓軸線上任意一點(diǎn)產(chǎn)生的力矩大小為M′0，此即由q3(x)和q4(x)表征的分布力對(duì)應(yīng)帶來(lái)的偶矩(參見圖6)。按照與上述OA段類似的分析方法，同時(shí)參考兩段受力的反向?qū)ΨQ性，考慮右側(cè)的矩平衡，則螺桿中受到右邊構(gòu)件作用部分的彎矩方程為

(9)

根據(jù)螺栓緊固系統(tǒng)的外力平衡有Fp=F′p，因此q1(x)和q2(x)的分布形成反向?qū)ΨQ；又假定左、右承載構(gòu)件之一固定，由螺栓對(duì)A點(diǎn)的微幅自由轉(zhuǎn)動(dòng)矩平衡可得矩的大小有M0=M′0。因此，上述式(8)和(9)也可分別寫為

FQ(x)=(FP/b2)(2b-x)2(b

(10)

(11)

可見，螺栓在OA段和AB段的剪力圖為左右對(duì)稱(鏡面對(duì)稱，面對(duì)稱)分布，而在這兩段的彎矩圖為反向?qū)ΨQ(中心點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱)分布，對(duì)應(yīng)內(nèi)力圖如圖8和圖9所示。

圖8 螺栓在OB段的剪力圖

圖9 螺栓在OB段的彎矩圖

通過(guò)上述螺桿的內(nèi)力方程和內(nèi)力分布圖，可以看到被緊固的兩個(gè)構(gòu)件的交界面即是螺栓內(nèi)力最大之處。在此處，螺栓的剪力最大，最可能發(fā)生剪切破壞；同樣在此處，螺栓的彎矩也是最大的，因而也是附加彎矩所致螺栓最可能發(fā)生拉裂破壞之處。當(dāng)然，更容易發(fā)生的是剪切和拉裂這兩者的協(xié)同破壞作用。因此，螺栓的實(shí)際載荷能力，會(huì)低于單純以剪切強(qiáng)度為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)得出的結(jié)果。在構(gòu)件載荷較大的情況下，螺栓設(shè)計(jì)不但要考慮剪切作用，同時(shí)也要考慮附加彎矩的作用。

4 螺桿橫截面正應(yīng)力

對(duì)于如上螺栓內(nèi)力分布的情況，進(jìn)一步研究最大內(nèi)力處出現(xiàn)最大正應(yīng)力的具體分布位置。設(shè)螺桿的直徑(圓柱部分的直徑或螺柱部分的小徑)為d，則彎矩導(dǎo)致的螺桿內(nèi)部OA段最大正應(yīng)力位置處于A點(diǎn)即x=b處，其大小為

(12)

又設(shè)結(jié)構(gòu)在螺栓軸線方向上的緊固力為F0，則由該緊固力直接導(dǎo)致的螺桿橫截面正應(yīng)力(拉應(yīng)力)平均值為

(13)

于是，得到螺桿內(nèi)部OA段的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為

(14)

(15)

根據(jù)內(nèi)力符號(hào)法則或彎矩方向可知，上述最大拉應(yīng)力位于A點(diǎn)略偏左截面的最低點(diǎn)，最大壓應(yīng)力位于A點(diǎn)略偏左截面的最高點(diǎn)。這與圖9中的螺栓在OB段的彎矩圖相對(duì)應(yīng)。

同理，可得彎矩導(dǎo)致的螺桿AB段最大正應(yīng)力位置處于A點(diǎn)即x=b處，其大小為

(16)

于是，得到螺桿內(nèi)部AB段的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為

(17)

(18)

同樣地，根據(jù)內(nèi)力符號(hào)法則或彎矩方向可知，上述最大拉應(yīng)力位于A點(diǎn)略偏右截面的最高點(diǎn)，最大壓應(yīng)力位于A點(diǎn)略偏右截面的最低點(diǎn)。這也與圖9中的螺栓在OB段的彎矩圖相對(duì)應(yīng)。

通過(guò)上面的計(jì)算分析可知，螺桿內(nèi)部OA段和AB段分別從左右兩側(cè)逼近A點(diǎn)截面而取得最大拉壓應(yīng)力。其中從左側(cè)逼近A點(diǎn)截面時(shí)，在截面的最高點(diǎn)取得最大壓應(yīng)力，而在截面的最低點(diǎn)取得最大拉應(yīng)力；而從右側(cè)逼近A點(diǎn)截面時(shí)，在截面的最高點(diǎn)取得最大拉應(yīng)力，而在截面的最低點(diǎn)取得最大壓應(yīng)力?？梢?，OA段在中性層的上半部分略受壓縮即略向左收縮，而AB段則在中性層的上半部分略受拉伸即略向左擴(kuò)展，因此A點(diǎn)截面頂部將發(fā)生略偏右位置的拉裂，與A點(diǎn)截面從右側(cè)逼近時(shí)在最高點(diǎn)取得最大拉應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。相反，OA段在中性層的下半部分略受拉伸即略向右擴(kuò)展，而AB段則在中性層的下半部分略受壓縮即略向右收縮，因此A點(diǎn)截面底部將發(fā)生略偏左位置的拉裂，與A點(diǎn)截面從左側(cè)逼近時(shí)在最低點(diǎn)取得最大拉應(yīng)力相對(duì)應(yīng)。這一分析結(jié)果與A點(diǎn)截面發(fā)生剪切破壞的斷口呈現(xiàn)相一致。

通過(guò)上述推演得出的螺桿橫截面正應(yīng)力關(guān)系式及其分析，可以看到其中的最大拉應(yīng)力總是大于最大壓應(yīng)力，因此基于該彎矩作用的強(qiáng)度設(shè)計(jì)只需考慮拉伸破壞。最大拉應(yīng)力發(fā)生在被緊固的2個(gè)構(gòu)件的交界面所在之處，而由此造成拉裂的具體位置則對(duì)應(yīng)于螺桿與被緊固構(gòu)件的上下2個(gè)緊密接觸之處(參見圖5)。這2個(gè)具體位置分別對(duì)應(yīng)著2個(gè)被緊固構(gòu)件的交界面邊沿，因而此處是對(duì)螺栓進(jìn)行力學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。

順便指出，螺帽左側(cè)面受到了右邊構(gòu)件作用而產(chǎn)生向右的近線性分布力(下端點(diǎn)緊頂)。無(wú)論從其積分力矩還是從等效牛頓力平移附加偶矩的方式，都可計(jì)算出其對(duì)所在截面中心點(diǎn)的逆矩。該矩與上述豎向分布力q3(x)(左端點(diǎn)緊頂)和q4(x)(右端點(diǎn)緊頂)兩者的反作用力形成的順矩抗衡。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文是在不計(jì)螺栓、螺帽自重的條件下，對(duì)承受橫向力載荷的緊固螺栓進(jìn)行的力分析，符合一般情況下此類螺栓緊固作用的力平衡關(guān)系。根據(jù)得到的螺栓內(nèi)力方程和內(nèi)力分布圖可知，被緊固的兩個(gè)構(gòu)件的交界面既是螺栓最可能發(fā)生剪切破壞之處，也是附加彎矩所致螺栓最可能發(fā)生拉裂破壞之處，更是剪切和拉裂這兩者的協(xié)同破壞之處。因此在構(gòu)件載荷較大時(shí)，此類螺栓設(shè)計(jì)要同時(shí)考慮剪切作用和附加彎矩作用。由得出的螺桿橫截面正應(yīng)力關(guān)系式及其分析可知，基于該附加彎矩作用的強(qiáng)度設(shè)計(jì)只需考慮拉伸破壞，被緊固構(gòu)件交界面處是對(duì)螺栓進(jìn)行力學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。

若在螺栓各部分重力不可忽略的情況下，或在設(shè)計(jì)要求比較精密的情況下，需要在力分析時(shí)加入自重分布的作用。此外還需注意，重力的作用需要外加載荷的調(diào)整才能保持平衡。例如在圖1(b)中，豎向的力平衡要求向上的外加載荷FP需基于向下的外加載荷F′P再加上重力的作用(即FP和F′P在量值上不再相等，F(xiàn)P要大于F′P)。這必然也導(dǎo)致螺栓內(nèi)部剪力分布的變化以及內(nèi)部彎矩分布的變化，同時(shí)也必然造成對(duì)內(nèi)力分布原有對(duì)稱性的打破。因此，分析過(guò)程和分析結(jié)果都會(huì)更復(fù)雜，這些有待以后進(jìn)一步的工作。

(致謝：感謝本組研究生宋帥協(xié)助繪制文中圖2～7。)