再入飛行器中制導段微分對策式主動機動方法研究

趙亮博，徐 瑋，朱廣生，陳 旸，莊 凌，

（1. 北京航天長征飛行器研究所，北京，100076；2. 火箭軍重大專項中心，北京，100096； 3. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

再入飛行器的機動策略問題，一直是再入飛行器制導控制領域的研究熱點[1]。同時，隨著防御一方技術水平的不斷提高，對進攻方的機動策略也提出了更高的要求[2]。飛行器主動機動過程具有非線性、時變性和不確定性等特點，其制導策略除了需要滿足各項飛行約束外，還需要能夠針對攔截器的飛行信息實時做出有效的機動動作，并形成有利的飛行態(tài)勢。

現(xiàn)今，再入飛行器機動形式主要有程序式機動和主動式機動兩類[3]。程序式機動包括正弦機動、方波機動等平面機動，以及螺旋機動等各種復雜空間機動。此類機動方法不考慮攻防對抗雙方的相對運動關系，一般按提前裝訂的飛行規(guī)律實施規(guī)避機動。

隨著飛行器性能的不斷提升，主動式機動策略由于具有更好的規(guī)避效果逐漸受到人們重視。此種方法源于制導系統(tǒng)設計中的最壞目標機動問題和飛機機動中的追蹤逃逸問題[4]。最壞目標機動問題最早由Shinar提出，并用最優(yōu)控制的方法加以解決：對象對運動線性化得到了脫靶量的解析表達式。同時，他給出一種Bang-Bang控制的最優(yōu)機動策略，一方在相遇過程中不斷變換自己橫向加速度符號，變換的周期與攔截器的比例導引系數(shù)有關。與最壞目標機動相比，追蹤逃逸問題基于雙方均可以獲得當前相對運動信息的情況下，研究對自己最為有利的機動策略，在體現(xiàn)對抗性方面具有獨特的優(yōu)勢，且在模型上不需要做過多的簡化。

微分對策理論最早由Isaacs提出[5]，美國科學家Fridman于1971年嚴格證明了微分對策值與鞍點的存在形式[6]，從而奠定了微分對策堅實的理論基礎。隨著微分對策理論日趨成熟，其應用范圍也逐步擴大。Jarmark等考慮飛機的機動能力限制，采用微分對策理論解決空戰(zhàn)雙方對抗問題[7]。張秋華在此背景下，以軌道數(shù)量為狀態(tài)變量，在雙方均為徑向連續(xù)可變小推力的假設條件下，研究推導出可變推力的最優(yōu)控制量[8]。王雨琪[9]等針對飛行器設計了微分對策制導律，對比例導引攔截器實現(xiàn)了有效機動，但是未考慮飛行器的動力學特性。

一方面微分對策數(shù)值解對計算能力要求高，難以實現(xiàn)在線應用，另一方面隨著傳感技術的發(fā)展實時獲取雙方位姿信息逐漸變得可能，研究基于實時信息的機動反攔截策略逐漸變得具有實際意義。因此本研究針對再入飛行器滑翔中制導段的主動機動策略，設計了一種基于微分對策解析解的主動機動反攔截制導方法。在對相對運動建模分析的基礎上，以能量消耗和相對距離為基礎構建性能指標，求解微分對策的解析解，并針對一階慣性環(huán)節(jié)特性的比例導引攔截器，設計博弈場景進行仿真校驗。將所設計制導方法通過與無機動、正弦機動等形式進行對比分析，檢驗該算法的有效性，為該算法的工程應用奠定理論基礎。

1 問題描述與建模

1.1 主動機動場景描述

隨著精確探測制導技術的發(fā)展，不僅是防御一方的能力得到了迅速提升，進攻方對攔截器的實時探測也逐漸變得可能。主動式機動策略就是在進攻飛行器已被敵方發(fā)現(xiàn)，且攔截一方已經(jīng)實施攔截時，進攻方可以根據(jù)探測到的雙方相對運動信息，進行實時的博弈機動，并最終實現(xiàn)反攔截的目的。

本研究中涉及的交戰(zhàn)場景是再入飛行器在滑翔中制導飛行段，探測到有敵方攔截器的抵近，再入飛行器為了規(guī)避攔截進行了相應的反攔截機動。攔截器采用逆軌前置攔截法，制導律為比例導引，具體飛行參數(shù)見仿真校驗章節(jié)。同時，為了求得基于微分對策解析解的機動制導策略，本研究進行了以下合理假設：

a）攔截方為采用比例導引攔截器的質點模型，自帶駕駛儀近似為一階慣性環(huán)節(jié)；

b）攻防對抗雙方均能夠準確獲得對方的位置、速度信息，不考慮狀態(tài)估計誤差。

1.2 飛行器與攔截器數(shù)學模型

本文研究的飛行器采用無動力平衡滑翔的方式再入，對中制導段的機動反攔截制導策略進行設計。為描述飛行器運動，忽略地球曲率和自轉的情況下建立飛行器的運動方程如下：

式中 （x,y ,z）為飛行器在慣性坐標系中的位置；V為飛行器速度；（γ ,ψ ,σ）分別為航跡傾角、航跡偏角和傾側角；g為重力加速度；m為飛行器質量；L，D分別為升力和阻力，具體表達式如下：

式中 ρ為大氣密度；refS為參考面積；LC，DC分別為升力和阻力系數(shù)，為馬赫數(shù)Ma和攻角α的函數(shù)。

攔截器視為慣性空間中的質點，其法向過載的響應特性近似為一階慣性環(huán)節(jié)，形式如下：

式中 τ為時間常數(shù)；a為實際過載；ca為過載指令。此外，在整個飛行過程中認為攔截器軸向不具有加速度能力。

1.3 相對運動關系建模

為描述攻防對抗雙方的相對運動關系，便于微分對策理論的推導，建立相對運動模型，如圖1所示。

圖1 飛行器與攔截器相對運動關系 Fig.1 Relative Motion between Vehicle and Interceptor

在慣性坐標系下描述相對運動關系為

式中 (xj,yj,zj)，(vxj,vyj,vzj)，(axj,ayj,azj)分別為飛行器的位置、速度、加速度，變量j相關狀態(tài)為飛行器狀態(tài)； (xi,yi,zi)，(vxi,vyi,vzi)，(axi,ayi,azi)分別為攔截器的位置、速度和加速度；(xij,yij,zij)，(vxij,vyij,vzij)，(axij,ayij,azij)分別為飛行器和攔截器的相對位置、相對速度和相對加速度。

此時，選?。籂顟B(tài)變量 X =[xij,vij]，控制變量ui=[axi, ,ayi,azi]T，uj=[axj,,ayj,azj]T。則可以改寫為如下形式：

此種形式的微分方程，便于微分對策制導律解析解的推導。

2 微分對策制導策略

2.1 微分對策性能指標的構建

本研究中將飛行器與攔截器的攻防博弈問題視為兩方零和博弈問題進行求解，即在攻防對抗的過程中飛行器要擺脫攔截器的追擊，使自己盡可能的遠離攔截器，而攔截器一方則盡可能的靠近飛行器。此時，飛行器一方的收益增量即為攔截器一方的損失量，反之亦然。此外，在博弈的過程中還應考慮能量的消耗，即盡可能使己方的能量消耗小，而使對方的能量消耗大。在中制導階段，影響最終攔截成敗的主因是雙方的加速度，相對位置和相對速度影響較小，因此設計性能指標為Lagrange型與Mayer型的復合。綜上，建立性能指標形式如下：

對于兩方零和博弈問題，若式（6）中的Q和R矩陣滿足非負定與正定要求，那么存在一鞍點。在該鞍點 (下，飛行器的控制策略uj和攔截器的控制策略iu，對于一切的控制策略，都有：

2.2 微分對策問題的解析解

為求解鞍點，結合式（6）構造哈密頓函數(shù)：

式中 λ ∈ R6為協(xié)態(tài)向量。此時，求解minH (…)的必要條件，即鞍點條件為

對應的充分條件為

將必要條件代入哈密頓函數(shù)可得：

根據(jù)式（10）、式（11）可得：

制導指令是與系統(tǒng)狀態(tài)相關的函數(shù)，在沒有干擾項的情況下可以將λ假設為如下形式：

式中 Ri-1BTP為飛行器反饋增益； R-

j

1BTP為攔截器反饋增益。由必要條件式（9）和哈密頓函數(shù)式（8），并代入狀態(tài)方程可得：

結合式（16）：

由于式（17）的解必須滿足所有的狀態(tài)X，因此得到矩陣黎卡提微分方程：

一般情況下，式（17）代表的矩陣黎卡提方程很難直接獲得解析解。而數(shù)值類解法大多數(shù)情況下計算效率低，難以實現(xiàn)飛行器在線應用。因此是否能夠獲得計算效率更高的解析解，是基于微分對策的制導律能否實際應用的關鍵。為此，在忽略制導律性能次要影響因素的情況下，對整個過程涉及的變量進行適當形式的化簡，最終得到適用的解析解，其中簡化包括：

a）忽略中制導階段各個方向上狀態(tài)的相互耦合，即只保留矩陣Q中的對角項；

b）飛行器做無動力飛行，軸向不做機動動作，橫側向機動過載可解耦；

c）攔截器也具有三自由度解耦的機動能力。

因此代表加速度性能的矩陣 iR和 jR可以化簡為只有對角項的矩陣形式。此時：

式中 qi(i= 1,2,…,9)代表了末端狀態(tài)的權重，根據(jù)不同的需求可以設置不同的參數(shù)。

求解矩陣黎卡提微分方程涉及逆矩陣，即首先求解矩陣黎卡提微分方程逆矩陣的解，然后將得到的解進行求逆，最終得到黎卡提矩陣。

定義剩余飛行時間 T=tf-t，此時，設置 權 重 參 數(shù)： q1=q2=q3=q1′， q4=q5=q6= q2′，，而且r1=r2=r3=r。

對于矩陣P的詳細推導過程見參考文獻[10]，在此不做贅述。最終得到矩陣黎卡提方程的解：

將該解代入式（15）可以得到基于微分對策解析解的機動制導算法。在該制導指令的基礎上，將慣性系下的過載指令轉換至彈體系下[11]，并通過氣動系數(shù)的反插值可以求得攻角指令cα、傾側角指令cσ：

式中ya，za分別為彈體系下的y向和z向加速度指令。

3 仿真校驗及分析

3.1 仿真條件

本研究中采用CAV-H的數(shù)學模型行仿真驗證[12]，根據(jù)工程經(jīng)驗，在慣性系中飛行器的y向和z向加速度限定在2.2g以內。微分對策制導律參數(shù)設置中：Rj= 0.0008I 。表1為飛行器的初始點參數(shù)設計.

表1 飛行器初始點參數(shù) Tab.1 Vehicle Initial Point Parameters

針對特殊飛行環(huán)境，攔截器的各項性能均受到不同程度的限制，考慮攔截器的自動駕駛儀為一階慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)為0.5 s，25 km高度以上時最大可用過載為6g。攔截器采用逆軌前置攔截法，制導律為比例導引制導律，導引比為4。仿真初始條件設置見表2。

表2 攔截器初始點參數(shù) Tab.2 Interceptor Initial Point Parameters

3.2 對比分析

分別在飛行器不進行機動、采用正弦機動以及微分對策機動3種情況下，進行機動能力的對比仿真。其中飛行器做正弦擺動式機動時，加速度指令形式為

飛行器和攔截器飛行軌跡如圖2～4所示，無機動以及正弦機動情況下，攔截器脫靶量均在20 m以內。采用微分對策制導律時，飛行器為了躲避攔截器首先進行了偏下和偏右的空間機動，這與探測到的攔截器起始位置和速度有關。飛行器雖然進行了有效的機動，造成了149.07 m的脫靶量，但是飛行器過程中飛行高度變化較大，見表3。

表3 不同機動形式對比 Tab.3 Comparison of Results of Different Maneuver Forms

圖2 三維飛行軌跡 Fig.2 3D Flight Path

圖3 x-z平面軌跡 Fig.3 x-z Plane Flight Path

圖4 x-y平面軌跡 Fig.4 x-y Plane Flight Path

飛行器過載以及對應的攻角和傾側角指令，如圖5和圖6所示。飛行器在不機動情況下過載幾乎為零，攻角穩(wěn)定在6.4°附近；正弦機動時，攻角達到30°的最大值，傾側角也被限定在60°以內。由于傾側過程中攻角也進行了相應的調整，y向和z向過載存在相互耦合影響，因此得出的并不是完美正弦波形。在微分對策機動中，過載指令波動較小，兩個過載通道也存在耦合。

圖5 飛行器y向和z向過載 Fig.5 Overload in y and z Directions

圖6 飛行器攻角和傾側角 Fig.6 Attack Angle and Bank Angle

攔截器過載如圖7所示，在微分對策制導策略下，攔截器更早的達到了過載能力最大值，即為攔截微分對策式機動的飛行器，攔截器需要更強的機動能力。

圖7 攔截器y向與z向過載 Fig.7 y and z Overload of Interceptor

3.3 微分對策機動能力分析

該對抗場景下，微分對策制導律可以使飛行器實現(xiàn)有效機動，效果優(yōu)于正弦機動，但是也存在高度波動大、末速低等不利于飛行的因素。為分析不同過載限制下飛行器的機動能力及高度、速度、過載等飛行參數(shù)的變化，在上述對抗場景不變的情況下，分別針對不同過載限制，對飛行狀態(tài)進行仿真校驗。表4為不同過載限制下飛行狀態(tài)對比。隨著過載限制的增加，飛行器的側向機動距離增加，脫靶量也相應增大，如圖8所示。

圖8 不同過載限制下三維軌跡 Fig.8 3D Trajectory under Different Overload Limits

表4 不同過載限制下飛行狀態(tài)對比 Tab.4 Flight State Comparison under Different Overload Limits

當過載系數(shù)超過2.2時，脫靶量達到149 m以上，此時飛行器的高度、過載波動大，而且末段高度和速度也隨之降低（如圖9～11所示）。

圖9 不同過載限制下飛行器過載變化 Fig.9 Overload of Vehicle under Different Overload Limits

圖10 不同過載限制下攻角和傾側角變化 Fig.10 Attack and Bank Angle under Different Overload Limits

當最大過載限制較小時，整個飛行過程攻角和傾側角都低于最大限制值，且變化平緩。當過載限制達到2.2g以上時，由于高度的降低以及攻角和傾側角的耦合，在一定時間內實際過載值超過了規(guī)定值。例如：當過載限制為2.7g時，在21～31 s期間z向過載一直在限幅內，但是y向過載卻超過了最大限幅，而且飛行器在從右傾變左傾的過程中過載也出現(xiàn)了較大幅度的波動。

圖11中，在當前的對抗場景下，隨著過載限制的增加，飛行器末段的高度和速度逐漸降低，在主動機動過程中消耗的能量相應增加。能量的消耗直接決定了飛行器能否完成既定任務，當過載限制較小時能耗雖然較低，但脫靶量也小，機動效果不佳。因此在實際工程應用中，飛行器的最大過載限制應綜合考慮飛行器承受能力、能量消耗及機動效果。

圖11 不同過載限制下高度和速度變化 Fig.11 Height and Velocity under Different Overload Limits

4 結 論

針對再入飛行器滑翔中制導段的主動機動反攔截問題，設計了一種基于微分對策解析解的主動機動制導方法，建立了攻防博弈雙方相對運動的數(shù)學模型，構建了脫靶量和能量消耗相關的對策性能指標，并基于合理假設推導出了微分對策理論的解析解。以比例導引攔截器為博弈對象設計雙方博弈場景，將無機動、正弦機動、微分對策機動方法進行對比仿真分析，得出了基于微分對策的制導算法具有更強的機動性能，而且造成的最終脫靶量大、反攔截一方制導指令波動小，算法結構簡單，易于工程實現(xiàn)。同時，針對微分對策制導律在不同過載限制下的飛行狀態(tài)進行了仿真分析，在實際工程應用中應綜合考慮飛行器最大過載承受能力、能量消耗以及機動反攔截效果，限定需用過載幅值，實現(xiàn)有效機動反攔截的同時最大限度保留射程能力。