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    等腰三角形中不確定性問(wèn)題解決思路探究

    2023-01-11 00:25:56甘肅省慶陽(yáng)市寧縣第五中學(xué)陳秀蓮
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年16期
    關(guān)鍵詞:頂角定式鈍角

    ?甘肅省慶陽(yáng)市寧縣第五中學(xué) 陳秀蓮

    1 引言

    結(jié)合二十余年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),等腰三角形中不確定性問(wèn)題的解決,困擾了很多學(xué)生,學(xué)生在此問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)解、漏解.其實(shí),歸根結(jié)底這是邏輯思維能力弱的表現(xiàn).那么,如何借助等腰三角形中不確定性問(wèn)題解決思路的探究培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力呢?本研究從兩道易錯(cuò)題出發(fā),通過(guò)糾錯(cuò)辨析為這類問(wèn)題探尋正確解決方法奠定基礎(chǔ).

    2 易錯(cuò)題及其糾錯(cuò)評(píng)析

    例1若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則頂角的度數(shù)為.

    錯(cuò)解:因?yàn)榈妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為40°,所以這條高和另一腰之間的夾角與這個(gè)頂角之間一定互余,因此頂角的度數(shù)為90°-40°=50°.

    糾錯(cuò):該生解題時(shí),由于出現(xiàn)了思維定式,習(xí)慣性地認(rèn)為這個(gè)等腰三角形是銳角三角形.事實(shí)上,等腰三角形分為三種,它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角.在本題中,根據(jù)題意可以排除頂角為直角的情況,因此剩下頂角為銳角、鈍角兩種情況,需要分類討論.具體過(guò)程如下:

    解:在△ABC中,AB=AC.本題有兩種不同情況:

    當(dāng)頂點(diǎn)A為銳角時(shí),如圖1所示,作BD⊥AC,垂足為D.因?yàn)椤螦BD=40°,所以∠A=90°-40°=50°;

    圖1

    圖2

    當(dāng)頂角∠BAC為鈍角時(shí),如圖2所示,作CD⊥BD,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.因?yàn)椤螦CD=40°,所以∠BAC=90°+40°=130°.

    綜上所述,頂角的度數(shù)為50°或130°.

    評(píng)析:在解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中,思維定式是阻礙學(xué)生順利解決問(wèn)題的原因之一.要突破這種思維,首先要培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題的習(xí)慣,讓學(xué)生多用不同的方法解決問(wèn)題,以激發(fā)他們的思維,其次重點(diǎn)關(guān)注題目所給條件中的關(guān)鍵詞語(yǔ),如腰、頂角、底邊等,深入思考它們是不是存在多種可能,特別是能否畫(huà)出多種情況對(duì)應(yīng)的圖形[1].

    例2若等腰三角形的周長(zhǎng)為16 cm,其中一邊長(zhǎng)為4 cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為( ).

    A.5 cm B.4 cm

    C.8 cm D.4 cm或8 cm

    錯(cuò)解:因?yàn)榈妊切蔚闹荛L(zhǎng)是16 cm,且其中一邊長(zhǎng)為4 cm,也就是腰為4 cm,所以底邊長(zhǎng)就是16-2×4=8 cm,故選:C.

    糾錯(cuò):從上面錯(cuò)解過(guò)程可以看出,該生習(xí)慣性地認(rèn)為這條邊是等腰三角形的腰.事實(shí)上,等腰三角形的邊可以是腰,也可以是底邊.本題中只告訴了“一邊長(zhǎng)”,而并未明確這條邊是腰還是底邊.所以,將長(zhǎng)為4的這條邊認(rèn)為是等腰三角形的腰,又是出現(xiàn)了思維定式的問(wèn)題.因此,應(yīng)該分類討論,具體過(guò)程如下:

    解:根據(jù)題意,本題有兩種不同情況.

    如圖3所示,當(dāng)長(zhǎng)為4 cm的邊為等腰三角形ABC的腰時(shí),BC就是底邊,且BC=16-2×4=8 (cm).但是,此時(shí)的三條邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形,更不能成為等腰三角形,所以這種情況應(yīng)該排除;

    圖3

    如圖4所示,當(dāng)長(zhǎng)為4 cm的邊為等腰三角形的底邊時(shí),BC=4 cm.此時(shí),兩腰長(zhǎng)為6 cm,能夠構(gòu)成符合題意的等腰三角形.

    圖4

    綜上所述,它的底邊長(zhǎng)4 cm.故應(yīng)該選:B.

    評(píng)析:學(xué)生在解決例1和例2時(shí),都容易因?yàn)樗季S定式導(dǎo)致漏解、錯(cuò)解現(xiàn)象.與例題1不同的是,本題除了要根據(jù)等腰三角形邊的類型分為兩種情況討論之外,還需要分析這兩種情況中的三邊是否能構(gòu)成三角形,這一點(diǎn)又是學(xué)生極易忽略之處.為此,教師在教學(xué)時(shí)仍應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯思維作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn),并且在后階段一以貫之.只有這樣持續(xù)進(jìn)行下去,學(xué)生才能有較大改變[2].

    3 等腰三角形中不確定性問(wèn)題的類型及解決思路

    等腰三角形是一種比較特殊的三角形.根據(jù)角的類型,可以分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形,它們的頂角分別是銳角、直角和鈍角[3].根據(jù)邊的類型,可以分為一般等腰三角形和特殊等腰三角形(等邊三角形).基于等腰三角形中角和邊的類型均多樣化,等腰三角形中不確定性問(wèn)題主要有以下幾種類型.

    3.1 角不定型

    根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知,等腰三角形的兩底角相等.再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°,所以兩個(gè)底角一定是銳角.然而等腰三角形的頂角只有一個(gè),它可能為銳角、直角,也可能為鈍角,這是造成等腰三角形中不確定性問(wèn)題的原因之一.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看,有很多題目在呈現(xiàn)等腰三角形的角的條件時(shí),并不直接說(shuō)明該角是頂角還是底角,那么這類問(wèn)題應(yīng)該如何解決呢?下面結(jié)合例題3說(shuō)明這類問(wèn)題的解決思路.

    例3若等腰三角形的一個(gè)角為40°,那么另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是.

    分析:本題只給出了等腰三角形中的一個(gè)角,并未說(shuō)明該角是頂角還是底角.所以解決思路如下:

    首先,明確邊角問(wèn)題.本題是關(guān)于等腰三角形的角的問(wèn)題.

    其次,明確角的類型.本題給出的角不夠明確,所以可能是頂角,也可能是底角.

    再次,分類討論:對(duì)該角是頂角、底角兩種情況分別討論.

    最后,綜述.分類討論后一定要進(jìn)行綜合.

    解:由于等腰三角形(△ABC)中40°角可能是頂角,也可能是底角,故有以下兩種不同的情況.

    (1)當(dāng)40°角是頂角時(shí),如圖5所示,∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°;

    圖5

    (2)當(dāng)40°角是底角時(shí),如圖6所示,∠A=180°-40°-40°=100°.

    圖6

    綜上所述,另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是70°,70°或40°,100°.

    3.2 邊不定型

    等腰三角形中的三條邊,一類是腰,一類是底邊.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知,等腰三角形的兩腰相等.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看,有很多題目在給出等腰三角形的邊的條件時(shí),并不直接說(shuō)明該邊是腰還是底邊,繼而造成了等腰三角形中不確定性問(wèn)題.那么這類問(wèn)題應(yīng)該如何解決呢?下面結(jié)合例題4說(shuō)明這類問(wèn)題的解決思路.

    例4已知實(shí)數(shù)x,y滿足|x-4|+(y-8)2=0,則以x,y為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為.

    分析:本題可通過(guò)“|x-4|+(y-8)2=0”計(jì)算出x,y的值,即得到了等腰三角形兩邊長(zhǎng).但由于并未說(shuō)明這兩邊是腰還是底邊,所以要按照如下思路解決.

    首先,明確邊角問(wèn)題:本題是有關(guān)等腰三角形的邊的問(wèn)題;

    其次,明確邊的類型:本題給出的邊不夠明確,所以可能是腰,也可能是底邊;

    再次,分類討論:對(duì)該邊是腰、底邊的兩種情況分別討論;

    最后,綜述:分類討論后一定要進(jìn)行綜合.

    圖7

    解:因?yàn)閨x-4|+(y-8)2=0,所以x=4,y=8.由于給出的邊不夠明確,所以可能是腰,也可能是底邊,故分以下兩種不同的情況.

    (1)當(dāng)腰為4,底邊為8時(shí),此時(shí)的三條邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形,更不能成為等腰三角形,所以這種情況應(yīng)該排除;

    (2)當(dāng)腰為8,底邊為4,此時(shí)的三條邊能構(gòu)成三角形,且它為等腰三角形,如圖7所示.所以,三角形的周長(zhǎng)為8+8+4=20.

    綜上所述,以x,y為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為20.

    4 結(jié)語(yǔ)

    綜上所述,無(wú)論等腰三角形種不確定問(wèn)題屬于哪種類型,分類討論思想是解決這類問(wèn)題的重要方法.無(wú)論學(xué)生在解決哪種類型題目的過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤,都暴露出了思維定式的問(wèn)題.所以,作為初中數(shù)學(xué)一線教師,不僅要憑借更豐富、靈活的變式訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓他們突破思維定式的瓶頸,而且要將這種訓(xùn)練方式一以貫之,如此學(xué)生才會(huì)形成更強(qiáng)的思維能力、更有效的靈活性.

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