操作體驗擬“投石” 學(xué)會思考定“生慧”*
——以“探索凸四邊形全等的條件”為主題的研究性學(xué)習(xí)

?江蘇省南京市金陵中學(xué)溧水分校 陳 華?江蘇省南京市高淳區(qū)第一中學(xué) 顧香才

1 引言

在一次以“踐行‘做數(shù)學(xué)’理念”為主題的跨區(qū)名師工作室的活動中，基于開展對初中生進(jìn)行邏輯推理素養(yǎng)培育的實踐研究，筆者執(zhí)教公開課“探索四邊形全等的條件”，屬于綜合與實踐的內(nèi)容.課后，有教師覺得教學(xué)設(shè)計起點低，立意高，學(xué)生在活動中體驗知識的發(fā)生、發(fā)展過程，既關(guān)注了學(xué)生的思維訓(xùn)練，也注重了學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，有較好的參考作用.

2 主題內(nèi)容解析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是：經(jīng)歷四邊形全等條件的探索，積累問題解決的活動經(jīng)驗.

四邊形全等的判定是指四邊形中的邊、角滿足什么條件可以推斷兩個四邊形全等.“探索四邊形全等的條件”這一內(nèi)容是三角形全等這一章拓展研究的經(jīng)典素材，也是初中數(shù)學(xué)綜合與實踐的重要課題之一.

根據(jù)全等圖形的定義，能夠重合的圖形是全等圖形，即四條邊分別相等，并且四個角也分別相等的兩個四邊形全等.本節(jié)課主要探索能否在上述條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個四邊形全等.為此構(gòu)建了四邊形全等條件的探索：尺規(guī)作圖、大膽猜想、合情推理、給出證明，經(jīng)歷了完整的探究過程，也為其他類似問題的探索提供了思路和經(jīng)驗.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：四邊形全等條件的探索過程，積累問題解決的活動經(jīng)驗.

3 目標(biāo)與目標(biāo)解析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

(1)經(jīng)歷操作、猜想、驗證、證明四邊形全等條件的探索過程，積累發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的經(jīng)驗；

(2)合理運用三角形全等的性質(zhì)及判定證明四邊形全等的條件.

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)會從三角形全等的作圖方法與判定方法，猜想四邊形全等判定方法，并能進(jìn)行理性思考，完善四邊形全等的判定方法.能總結(jié)出四邊形全等條件的探索思路，歸納出問題解決的活動經(jīng)驗.

(2)會用三角形全等的性質(zhì)及判定證明四邊形全等的判定方法.

4 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生具備了探索三角形全等判定的思路，當(dāng)明確至少三組元素相等才能保證兩三角形全等時，如何把三組元素相等的所有情況考慮完整.同時，經(jīng)過近兩年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生的推理意識與能力都有所加強，在知識儲備上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了通過三角形全等證明邊、角相關(guān)的知識.通過尺規(guī)作圖，獲得三角形全等的判定定理已經(jīng)有了初步認(rèn)識，所以四邊形全等的判定方法的學(xué)習(xí)，如果僅僅仿照三角形全等判定的思路，從一組條件開始加，很難在一節(jié)課完成四邊形全等判定方法的探索，而應(yīng)當(dāng)從三角形全等的作圖方法與判定方法的關(guān)系出發(fā)，先操作體驗，再大膽猜想，最后進(jìn)行證明，這種思考方法具有一般性，對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有促進(jìn)作用.但可能有些學(xué)生還不能有意識地從作圖方法出發(fā)，提出判定方法.另外，利用直尺與圓規(guī)，用多種方法作已知四邊形的全等四邊形，學(xué)生可能也有困難.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點：能利用直尺與圓規(guī)，用多種方法作出已知四邊形的全等四邊形；通過全等四邊形的作圖方法提出四邊形全等判定方法的猜想.

5 教學(xué)過程

5.1 課堂導(dǎo)入

同學(xué)們，老師把今天的學(xué)習(xí)標(biāo)題隱去了，希望同學(xué)學(xué)完這節(jié)課后，能幫老師取一個合適課題.

設(shè)計意圖：有意隱去學(xué)習(xí)標(biāo)題，讓學(xué)生在操作中充分自然地體驗四邊形全等條件的探索過程，感受“做數(shù)學(xué)”的價值.

5.2 探究過程

問題1如圖1,已知△ABC.請利用直尺與圓規(guī)用兩種不同的方法作△A′B′C′,使△A′B′C′≌△ABC.(不寫作法，保留作圖痕跡)

圖1

師生互動：課前學(xué)生已完成兩種方法的作圖，教師搜集整理出常見的三種作圖方法(圖2～4)，同時做好PPT展示.請三位學(xué)生分別介紹各自作圖方法，并說明其作圖依據(jù)，三種作圖方法分別應(yīng)用了“邊、夾角、邊”“角、夾邊、角”“邊、邊、邊”等三角形全等的判定方法.同時，教師板書“三角形全等的判定方法→三角形全等的作圖方法(證明)”.

圖2

圖3

圖4

追問1：你認(rèn)為還有其他作圖方法嗎？你是怎么想到的？

師生互動：學(xué)生獨立思考，猜想還有第四種作圖方法“角、角、對邊”，在教師的追問下，提出是根據(jù)三角形全等的判定方法“AAS”想到的.教師適時說明利用直尺和圓規(guī)在初二階段可以作一邊的鄰角等于已知角，但作一邊的對角需要到用到初三的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時指出同學(xué)的猜想的合理性.

設(shè)計意圖：通過用多種方法作已知三角形的全等三角形，引導(dǎo)學(xué)生初步體驗三角形全等的作圖方法與三角形全等的判定方法之間的聯(lián)系；適時追問，引導(dǎo)學(xué)生理性思考，為后續(xù)四邊形全等的判定方法探索做好鋪墊.

問題2已知四邊形ABCD，如圖5.請利用直尺與圓規(guī)用多種不同的方法作四邊形A′B′C′D′,使四邊形A′B′C′D′≌四邊形ABCD.(不寫作法，保留作圖痕跡.)

圖5

圖6

圖7

圖8

師生互動：學(xué)生使用尺規(guī)作圖.教師巡視指導(dǎo)學(xué)生作圖，同時搜集學(xué)生不同的作圖方法.投影展示學(xué)生的作圖方法，請學(xué)生分別介紹各自的作圖方法.有三種常見的作圖方法(圖6～8)“邊、邊、邊、邊、角”“邊、夾角、邊、夾角、邊”“角、夾邊、角、夾邊、角”.

追問2：根據(jù)四邊形全等的作圖方法，你有什么猜想？

師生互動：學(xué)生回答問題，并相互補充.

教師板書：“四邊形全等的作圖方法→四角形全等的判定方法(猜想)”.

追問3：具體得到哪些判定方法？又分別根據(jù)哪個作圖方法猜想的？

師生互動：學(xué)生回答問題，并相互補充.

教師板書：“邊、邊、邊、邊、角”→四邊及一角分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等；“邊、夾角、邊、夾角、邊”→三邊及它們的兩個夾角分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等；“角、夾邊、角、夾邊、角”→三角及它們的兩條夾邊分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等.

設(shè)計意圖：通過多種方法的作圖、體驗、比較，再次感受由全等四邊形作圖方法猜想四邊形全等的判定方法的合理性，教師要適時追問，引導(dǎo)學(xué)生有條理地梳理自己的思路，鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語言概括結(jié)論的能力.課堂中選擇3種作圖方法的展示，有利于學(xué)生歸納四邊形全等的作圖方法的一般規(guī)律，為后續(xù)的探究埋下伏筆.

問題3證明：三邊及它們的兩個夾角分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等.

已知：如圖9、圖10，在四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，∠ABC=∠A′B′C′，∠A=∠A′.

圖9

圖10

求證：四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′.

分析思路:如圖11所示.

圖11

師生互動：先由學(xué)生獨立思考，若學(xué)生有想法，則由學(xué)生先說思路，然后教師追問“你是怎樣想到的？”并對學(xué)生思路中的合理成分進(jìn)行總結(jié).若學(xué)生沒有思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析：從條件出發(fā)，你能夠聯(lián)想到的結(jié)論有哪些？從要證明的結(jié)論出發(fā)，證明兩個四邊形全等的方法是什么？已經(jīng)有什么條件？還需要證明什么結(jié)論？從而啟發(fā)學(xué)生形成證明思路.

設(shè)計意圖：通過前面的操作、猜想、驗證等活動，學(xué)生已無限接近探究目標(biāo)，再通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，感受數(shù)學(xué)的理性思維，不斷積累探究問題的經(jīng)驗.由于課堂緊湊，如果學(xué)生獨立完成上述三個問題的證明，后面探究思考的時間很難保證，學(xué)生可以嘗試完成其中一個證明，然后教師合理總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生正確理解四邊形全等證明的基本方法，達(dá)成共識.

問題4你認(rèn)為還可能有哪些四邊形全等的作圖方法？

師生互動：學(xué)生先獨立思考，然后再小組討論，教師巡視參與部分小組討論，聽取學(xué)生的想法.小組1代表匯報的四邊形全等的作圖方法分四種情況，即“1角4邊，2角3邊，3角2邊，4角1邊”.教師列表格并板書“四邊形全等的作圖方法(略)”.

追問4：根據(jù)前面小組1的總結(jié)，你們還有什么補充的？

師生互動：學(xué)生積極思考，并相互補充.學(xué)生根據(jù)三角形全等條件探究經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)——(1)在“2角3邊”中的“2角”需要再分三種情況進(jìn)行說明，即兩角都是三邊的夾角、一角是夾角另一角是對角、兩角都是對角；(2)在“3角2邊”中的兩邊也需要再分三種情況進(jìn)行說明，即兩邊都是三角的夾邊、一邊是夾邊另一邊是對邊、兩邊都是對邊.

追問5：以上我們歸納的四邊形全等的作圖方法都是正確的嗎？

師生互動：學(xué)生獨立思考，嘗試作圖后，有學(xué)生提出滿足“角、角、角、角、邊”的兩個四邊形不一定全等，并舉出反例.教師總結(jié)——如果要說明一個命題是真命題需要進(jìn)行證明，而要說明一個命題是假命題只需舉出一個反例.

設(shè)計意圖：通過前面學(xué)生自主作圖、大膽猜想、動手驗證、最后證明四邊形全等的判定方法或者舉出反例，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對四邊形全等條件的理性思考，幫助學(xué)生感受操作體驗用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，邏輯推理用于證明結(jié)論、完善問題解決的必要過程.

5.3 課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：

你認(rèn)為這節(jié)課課題應(yīng)該是什么？我們是如何探索四邊形全等的條件的？探索四邊形全等條件的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你認(rèn)為還可以適用于解決哪些問題？

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，積累問題解決的活動經(jīng)驗，掌握本節(jié)課的核心——構(gòu)建四邊形全等條件的探索思路，提高解決問題的能力.同時，給出本節(jié)課的課題“探索凸四邊形全等的條件”.

5.4 作業(yè)布置

歸納整理凸四邊形全等的條件.

設(shè)計意圖：通過凸四邊形全等條件的歸納與整理，完善探索活動的全過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的一般過程，積累問題解決的活動經(jīng)驗.

6 教學(xué)思考

6.1 操作體驗是探索活動的前提

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程.”

對于四邊形全等的判定方法的探索，如果按照三角形全等的判定方法探索，從一個元素逐個添加，除了課堂時間很難保證以外，也很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本課從課前學(xué)生已完成三種作全等三角形的作圖方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生體驗全等三角形的作圖方法與判定方法的聯(lián)系，再用多種方法作全等四邊形，學(xué)生在經(jīng)歷操作、體驗、思考、再操作、再體驗的過程中，自然由四邊形全等的作圖方法聯(lián)想到四邊形全等的判定方法.

前后一貫的操作活動，目的是幫助學(xué)生體驗探索活動.多種作圖方法的比較，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，四邊形全等的作圖方法，都是畫五組元素對應(yīng)相等，為后續(xù)活動的深入思考埋下伏筆.在創(chuàng)新意識的培養(yǎng)中，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，設(shè)置有效的操作體驗，是學(xué)生進(jìn)行深入探索的前提.

6.2 積累經(jīng)驗是反思意識的標(biāo)志

反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活動的經(jīng)歷中探究其中的問題和答案，重構(gòu)自己的理解，激活個人的智慧，并在活動所涉及的各方面的相互作用下，產(chǎn)生超越已有信息以外的信息.

例如，追問1“你認(rèn)為還有其他作圖方法嗎？你是怎么想到的？”和追問2“根據(jù)四邊形全等的作圖方法，你有什么猜想？”，前者引導(dǎo)學(xué)生由三角形全等的判定方法猜想第四種作圖方法，后者由四邊形全等的作圖方法猜想四邊形全等的判定方法，兩者一正一反，逐步幫助學(xué)生理解四邊形全等的作圖方法即四邊形全等的判定方法，再通過課堂總結(jié)“我們是如何探索四邊形全等的條件的？探索四邊形全等條件的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你認(rèn)為還可以適用于哪些問題的解決？”幫助他們學(xué)會學(xué)習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為有目標(biāo)、有策略的主動行為；增強了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高個人的創(chuàng)造力；有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生的全面和可持續(xù)發(fā)展.

6.3 學(xué)會思考是創(chuàng)新意識的核心

涂榮豹教授說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是教學(xué)生學(xué)會思考.”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)光有學(xué)生的積極參與是不夠的，要把學(xué)生的操作體驗提升到數(shù)學(xué)思考上來.課堂中教師需通過構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考.例如，本節(jié)課在探索三角形全等的作圖方法與判定方法的關(guān)系時，在學(xué)生已完成三種作圖方法的基礎(chǔ)上，追問：你認(rèn)為還有第四種作圖方法嗎？第四種作圖方法是什么？你怎么想到的？在不斷追問中，引導(dǎo)學(xué)生思考三角形全等的作圖方法與判定方法的關(guān)系，從動手操作到理性思考.

再比如，在探索四邊形全等的判定方法時，學(xué)生已完成三種判定方法的證明時，教師接著追問：你認(rèn)為還有哪些四邊形全等的作圖方法？你們怎么想到的？你們還有什么補充？前后邏輯連貫的問題，既是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知活動的路標(biāo)，又是促進(jìn)探索深入的動力，這樣才能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入真正的、深刻的、有效的思維活動中去.

學(xué)生的思維需要教師去點燃.這就需要教師能基于學(xué)情，設(shè)置恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，讓學(xué)生充分、有效地操作與體驗，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).