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    以題促教 以法增效
    ——微專題“讓復合函數(shù)的零點問題不再煩惱”的教學設計

    2023-01-11 22:55:38浙江省寧波市北侖明港高級中學
    中學數(shù)學 2022年15期
    關鍵詞:零點圖象數(shù)形

    ?浙江省寧波市北侖明港高級中學

    郭利芳

    1 微專題的認識

    依托主題明確、針對性極強的“微專題”進行高三復習,可以促進學生深度學習,有利于學生獲得清晰的數(shù)學知識網(wǎng)絡、系統(tǒng)的數(shù)學研究方法,加深對數(shù)學知識的理解,提高自身的數(shù)學素養(yǎng),也符合新課標中以生為本和可持續(xù)發(fā)展的教學理念.

    2 教學內(nèi)容背景

    零點問題是高考的一個熱點問題,而復合函數(shù)的零點亦是一個難點.它涉及內(nèi)外兩層函數(shù),問題的解決往往涵蓋數(shù)形結合、分類討論、轉化化歸等數(shù)學思想,所以,復合函數(shù)的零點問題具有關系復雜、綜合性強、難度大等特點,對學生的思維能力、運算能力和分析能力都有較高的要求.本節(jié)課的主要教學思路是以方法為主、附以知識的應用和能力的培養(yǎng),通過例題的稚化、回歸、變式、拓展四個維度,在數(shù)學思想的滲透中歸納此類問題的常用解題策略,提升教學效果,實現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.

    3 教學案例設計

    環(huán)節(jié)一:典例展現(xiàn).

    A.3B.4C.5D.6

    設計意圖:學生此題得分率較低,對他們來說是一個難點,而零點又是高考熱點,因此,展開復合函數(shù)的零點個數(shù)問題的教學,符合學情和考情,即符合微專題的設計理念.

    環(huán)節(jié)二:溫故知新.

    (1)零點定義:對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.

    (2)關系:函數(shù)y=f(x)有零點?方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點.

    (3)復合函數(shù)y=f(g(x))常見解題策略:由內(nèi)到外、由外到內(nèi),均體現(xiàn)著內(nèi)層函數(shù)的整體性.

    設計意圖:以問題帶動知識的回憶,在知識的回顧過程中整理問題的常用解法,充分調(diào)動學生參與課堂的積極性.

    環(huán)節(jié)三:抽絲剝繭.

    (1)稚化例題.

    已知奇函數(shù)f(x)、偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1、圖2所示,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的實根個數(shù)分別為a,b,則a+b=______.

    圖1 圖2

    設計意圖:先從簡單問題出發(fā),一來讓學生感受此類問題通過數(shù)形結合的方法定性判斷零點個數(shù),相比代數(shù)法計算出零點值要簡單便捷;二來利用此題“以形助數(shù)”的方法,促進學生對數(shù)形結合的理解;三來促進學生加深理解函數(shù)與方程之間的關系.

    (2)回歸例題.

    A.3B.4C.5D.6

    解:令2x2+x=t,作出外層函數(shù)y=f(t)的圖象,定性判斷外層函數(shù)的零點情況;再作出內(nèi)層函數(shù),觀察內(nèi)層函數(shù)2x2+x=t的圖象,定性判斷內(nèi)層函數(shù)零點情況.

    故選答案:A.

    設計意圖:在稚化引例的基礎上,學生對復合函數(shù)的零點問題已有方向,在解決復雜的引例時找回自信,并能根據(jù)函數(shù)圖象自然想到分類討論標準,進而在數(shù)形結合思想的指引下成功解決問題.整個過程較好地培養(yǎng)了學生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

    (3)例題變式.

    設計意圖:通過變式的設計,不僅培養(yǎng)學生的逆向思維,也強化了學生利用數(shù)形結合解決復合函數(shù)零點問題的方法,較好地提升了學生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

    環(huán)節(jié)四:歸納提煉.

    通過對例題的“抽絲剝繭”,引導學生歸納總結求解復合函數(shù)y=f(g(x))零點問題的技巧.

    設計意圖:通過學生合作交流、歸納總結、梳理通法,掌握用數(shù)形結合的方法處理復合函數(shù)的零點個數(shù)問題,加深函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論與轉化化歸思想的理解和應用,培養(yǎng)數(shù)學抽象的能力.

    環(huán)節(jié)五:直擊熱點.

    (1)設函數(shù)f(x)=x2-x-1,若方程f(f(x))=t恰有三個實根,則實數(shù)t=______.

    (3)已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有7個不相同的實根,則實數(shù)b的取值范圍是______.

    設計意圖:鞏固知識,理解函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論、轉化化歸等數(shù)學思想,提升學生綜合運用數(shù)學知識的能力.

    環(huán)節(jié)六:歸納總結.

    研究一個問題——利用圖象解決復合函數(shù)的零點個數(shù)問題;

    得出兩個步驟——內(nèi)外兼修;

    運用三個數(shù)學思想——數(shù)形結合、轉化化歸、分類討論;

    提升四個素養(yǎng)——邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學抽象.

    設計意圖:挖掘出本質,提煉出主線,總結出一定的數(shù)學思想和方法,以期達到見微知著、以小見大、舉一反三和培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

    4 教學反思總結

    本節(jié)課主要通過典型的復合函數(shù)零點題目展開,在抽絲剝繭中提煉出解決該類問題的通性通法,提升學生數(shù)學核心素養(yǎng),實現(xiàn)以題促教、以法增效的目的.因此筆者認為,微專題復習教學不應只是簡單地對同類型的題目進行堆砌,這樣只會增加學生的挫敗感,而應挖掘出本質,提煉出主線,總結出數(shù)學思想和方法,以期達到見微知著、以小見大、觸類旁通和培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的,讓學生在事半功倍中快樂學習數(shù)學!

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