摸球問題 有型可循*

福建省石獅市第一中學(xué)

李桂娟

在古典概率問題中，有一類物品抽取問題，其概率的計算較為困難，如抽簽、隨機取數(shù)、次品抽取等.但如果能建立某種模型，將要解決的概率問題通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，讓它適用于該模型，往往能使問題更清楚，更容易看出問題本質(zhì).

引例一個袋子內(nèi)有6個大小一樣的小球，其中4個是黑球，2個是白球.

(1)從中任意取出3個球，求既有黑球又有白球的概率；

(2)從中不放回地依次取出3個球，求第三次摸到白球的概率；

(3)從中有放回地依次取出3個球，求第三次摸到白球的概率.

分析：以上三個問題，分別代表了古典概型中摸球問題的常見三種類型.

(1)一次性摸取.

摸球的特點：一次性摸取，元素不重復(fù)，無順序.解決的方法：組合的思想.

(2)逐次、每次不放回摸取.

摸球的特點：逐次、每次不放回摸取，元素不重復(fù)，但有順序.解決的方法：排列的思想.

(3)逐次、每次有放回摸取.

摸球的特點：逐次、每次有放回摸取，元素重復(fù)，同一個球每次被摸到的概率都一樣.解決方法：獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的概率不變.

為了方便起見，把上述的第一種類型(一次性摸取)和第二種類型(逐次、每次不放回摸取)，統(tǒng)稱為不放回摸球模型.第三種類型(逐次、每次有放回摸取)，稱為有放回摸球模型.

模型的析出：

不放回摸球模型——解決的方法：組合或排列的思想.

有放回摸球模型——解決的方法：獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的概率不變.

在不放回摸球模型和有放回摸球模型中，最后一次摸到白球的概率是一樣的.能否得到一般性的結(jié)論？

變式1一個袋子內(nèi)有a+b個大小一樣的小球，其中a個是黑球，b個是白球.

(1)從中不放回地依次取出k個球(1≤k≤a+b)，最后一次摸到白球的概率為多少?

(2)從中有放回地依次取出k個球(1≤k≤a+b)，最后一次摸到白球的概率為多少?

分析：變式1是引例的推廣.

解：(1)問題等價于“從a+b個球中任意取出k個球進(jìn)行排列，求第k個球是白球的概率”，所求概率

反思：在不放回摸球模型和有放回摸球模型中，第k次摸到白球的概率是一樣的.但是思考的方式卻不同.在有放回摸球模型中，每次摸到白球都是獨立的，從而只考慮第k次即可，不需要考慮前面k-1次摸球的情況；在不放回摸球模型中，前一次摸球會影響后一次摸球，所以整個摸球過程要當(dāng)成一個整體考慮.

變式2(高考題改編)已知6只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗方法：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗這3只，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則表明患病動物為另外3只中的1只，然后再逐個化驗另外3只，直到能確定患病動物為止.

(1)用X表示依方案甲所需化驗次數(shù)，求X的期望；

(2)用Y表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求Y的期望.

分析：這是一道以摸球為背景的概率問題.

問題等價于：有6個大小一樣的小球，其中5個是黑球，1個是白球.

方案甲：依次不放回地摸球，直到能確定摸出白球為止.

方案乙：從中任取3個球，若這三個球含白球，則繼續(xù)從這3個球中依次不放回摸球，直到能確定摸出白球為止；若這三個球不含白球，則繼續(xù)從另外含白球的3個球中依次不放回地摸球，直到能確定摸出白球為止.

屬于不放回摸球模型.解決的方法：組合或排列的思想.

解：化驗次數(shù)X的所有可能取值是1，2，3，4，5.

因此，方案甲所需化驗次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望

(2)化驗次數(shù)Y的所有可能取值是2，3.

當(dāng)Y=2時，有兩類：

第一類，第一次任取的3只是含患病的，則繼續(xù)從這3只中逐個化驗，第一次就抽到患病的；

第二類，第一次任取的3只是不含患病的，則繼續(xù)從另外含患病的3只中逐個化驗，第一次就抽到患病的.

這兩類事件互斥，概率為

同理，當(dāng)Y=3時，也有兩類：

第一類，第一次任取的3只是含患病的，則繼續(xù)從這3只中逐個化驗，第一次抽到不患病的，第二次不論是抽到不患病的還是抽到患病的，都能確定哪只是患病動物，化驗結(jié)束；

第二類，第一次任取的3只是不含患病的，則繼續(xù)從另外含患病的3只中逐個化驗，第一次就抽到不患病的，第二次不論是抽到不患病的還是抽到患病的，都能確定哪只是患病動物，化驗結(jié)束.

這兩類事件互斥，概率為

因此，方案乙所需化驗次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望

反思：本題也可以從對立事件的角度來求X=5與Y=3的概率.

研究以摸球為背景的概率問題，我們可以在解題中以如下思路思考問題：不放回摸球模型解決的方法是利用組合或排列的思想；有放回摸球模型解決方法是利用獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的概率的不變性.善于利用對立事件，是探求解題捷徑的重要手段之一.

在摸球情景下，正確地求解概率問題，必須要具備一定的排列組合知識，熟悉并掌握必要的“概率模型”，會靈活運用分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.