疊層梁理論在復合頂板受力分析中的應用

王同旭，康正卿

(山東科技大學 能源與礦業(yè)工程學院，山東 青島 266590)

在煤礦生產過程中,頂板災害比較多發(fā)[1-2]，離層、冒頂、垮落等現象時有發(fā)生。據統(tǒng)計，2015—2017年頂板事故占煤礦安全事故的37%以上[3-5]。由于沉積巖層的特點，在煤礦中分層特征明顯的復合頂板是非常普遍的，且復合頂板結構面較發(fā)育,層間的黏結力較低[6-9]，受到擾動后極易發(fā)生離層與變形破壞。許多學者針對煤巷復合頂板破壞機理進行了研究[10-11]，目前大部分研究是針對復合頂板某一巖層或者將其看成整體梁進行分析的[12-14]。當復合頂板彎曲變形時，層間黏結力容易被破壞，此時若不計黏結力，可視作疊層梁[15-16]；有學者將疊層梁近似看作共同曲率問題來分析[17]，實際上疊層梁是一層梁疊放到另一層梁上，每層梁分別有一個中性層，疊層梁彎曲通常是非共同曲率的。為此，筆者通過對疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁模型受力特征進行對比分析，得出不同模型復合頂板彎矩、應力分配規(guī)律及3種模型的適用條件，加深了對復合頂板錨桿支護加固機理的認識，為分析復合頂板巷道穩(wěn)定性、優(yōu)化錨桿支護設計，提供一種思路和方法。

1 復合頂板梁彎曲模型的變形破壞機理分析

可將復合頂板的變形破壞簡化為平面應變問題，取巷道任意截面進行分析。由于復合頂板是層狀結構且層間黏結力較弱,為安全起見可忽略層間黏結，假設頂板層間為自由疊合,將復合頂板簡化為疊層梁模型。疊層梁受外載作用發(fā)生彎曲變形，如圖1所示。

圖1 復合頂板疊層梁模型圖

1.1 整體梁受力分析

假設復合頂板層間黏結力未發(fā)生破壞，上下層始終是一個整體，可視作整體梁來分析，其截面圖如圖2所示。

yc—中性軸偏移距離；A1—中性軸z上部截面面積；

對整體梁作力學分析，則可得[18]：

(1)

式中：σ1、σ2分別為中性軸z上、下部分截面應力；y1、y2分別為截面上端和下端到中性軸z的距離；E1、E2分別為上層巖梁和下層巖梁的彈性模量；Iz1、Iz2分別為A1、A2對中性軸z的慣性矩。

1.2 共同曲率下復合頂板疊層梁受力分析

分析圖1，復合頂板總彎矩為M，若假定復合頂板彎曲時，上下分層有共同曲率，則式(2)成立：

(2)

可見，分層的分配彎矩與其抗彎剛度成正比，分層抗彎剛度越大分配的彎矩越大。分配比與高跨比無關。

由式(2)可得：

(3)

(4)

式中σ1、σ2分別為共同曲率下上層巖梁和下層巖梁最大彎曲拉應力。

由式(3)可以看出：當疊層梁上下層的彈性模量不同而厚度相同時，共同曲率模型的彎矩分配與上下層彈性模量比相同；當疊層梁上下層厚度不同而彈性模量相同時，上下層彎矩分配是厚度比的3次方。

1.3 非共同曲率下復合頂板疊層梁受力分析

假設復合頂板發(fā)生彎曲變形時，上下層梁各自有一個中性層，即兩分層的變形曲率不同，如圖3所示。

圖3 復合頂板疊層梁彎曲變形圖

則有式(5)成立[19]:

(5)

把式(5)代入M1+M2=M中，求解可得：

(6)

且式(7)成立：

(7)

式中W1、W2分別為非共同曲率下上層巖梁和下層巖梁的抗彎截面系數。

2 3種模型受力對比分析及適用條件

為了對比分析疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁這3種模型的受力特征，以固支梁作為復合頂板的計算模型。假設某煤礦復合頂板巷道跨度l=6.0 m，可簡化為平面應變問題[20-21]，取巷道的縱向尺寸b=1.0 m，巖梁的上覆均布荷載取1.0 MPa。固支梁在均布荷載作用下在兩端產生最大彎矩M=ql2/12。

通過分析不同巖性、厚度的巖層情況，研究各模型梁的受力特征及適用條件。

2.1 上、下分層巖性及分層厚度相同時

假設復合頂板兩分層巖性及分層厚度相同，即h1=h2=h/2，彈性模量E取4 GPa。在上述參數條件不變的情況下，改變復合頂板高跨比h/l，分別取1/6、1/4、1/3、1/2。通過公式(1)、(4)、(7)，計算得到3種梁模型在不同高跨比下，各分層的最大彎曲拉應力、應力比隨高跨比的變化曲線，如圖4所示。

(a)拉應力

由圖4(a)可知，隨著高跨比的增大，疊層梁上的應力逐漸減小，疊層梁破壞所需要的極限應力將增大，巖梁比較穩(wěn)定、不容易發(fā)生破壞；高跨比越小巖梁上的應力增大越快，巖梁很不穩(wěn)定極易發(fā)生破壞。上述理論計算分析結果與文獻[22-23]分析結果一致。而整體梁上的應力始終比疊層梁的應力小，說明整體梁更加穩(wěn)定。

由圖4(a)疊層梁上下層曲線可知，共同曲率和非共同曲率的應力在高跨比為1/3時，應力比較接近，隨著高跨比繼續(xù)增大，兩者的應力曲線幾乎重合，當高跨比小于1/3時，兩者的應力差值逐漸拉大。圖4(b)中疊層梁共同曲率上下層的應力比即分配關系為1∶1，不隨高跨比變化。疊層梁非共同曲率上層應力比隨著高跨比的增大而減小，相反下層隨著高跨比的增大而增大，均趨近于共同曲率的應力比。

由上述分析結果可得出復合頂板疊層梁共同曲率、非共同曲率及整體梁的適用條件：當高跨比大于1/3時，兩者計算的應力值很接近，可以將復合頂板疊層梁近似當作共同曲率問題進行計算；當高跨比小于1/3時，兩者的應力差逐漸變大，此時需將疊層梁按照非共同曲率問題來分析；當兩層梁黏結良好，層間作用力未發(fā)生破壞時，可將復合頂板看作整體梁來分析。

2.2 巖層厚度相等且上軟下硬時

取E2=2E1，其他參數的選取仍同上所述，所求結果如圖5所示。

(a)拉應力

分析圖5(a)可知，當E2=2E1、高跨比大于1/3時，疊層梁共同曲率和非共同曲率的應力值很接近，應力曲線幾乎重合，而高跨比小于1/3時，應力差值逐漸拉大。由圖5(b)可知，疊層梁共同曲率應力比為1∶2，與高跨比無關。疊層梁非共同曲率上層應力比隨著高跨比的增大而減小，而下層相反，且均趨近于共同曲率的應力比。因此，當高跨比大于1/3時，可將疊層梁近似看作共同曲率來分析，而當高跨比小于1/3時則需按照非共同曲率來計算。

2.3 巖層厚度相同且上硬下軟時

取E1=2E2，其他參數的選取仍同上所述，所求結果如圖6所示。

(a)拉應力

由圖6(a)可知，當高跨比大于1/3時，疊層梁共同曲率和非共同曲率模型的應力值很接近，應力曲線幾乎重合，此時可將疊層梁近似看作共同曲率模型來分析；而當高跨比小于1/3時，2個模型的應力差值逐漸變大，此時則需按照非共同曲率模型進行分析。分析圖6(b)可知，當E1=2E2、h1=h2時，疊層梁共同曲率應力比均為2∶1，且與高跨比無關；而非共同曲率上層應力比隨著高跨比的增大而減小，下層則相反且趨近于共同曲率的應力比。

2.4 巖層巖性相同且上薄下厚時

取h2=2h1，其他參數的選取仍同上所述。根據計算結果，繪制3種模型梁最大彎曲拉應力及應力比隨高跨比的變化曲線，如圖7所示。

(a)拉應力

(b)應力比

由圖7(a)可知，當高跨比大于1/3時，非共同曲率與共同曲率模型相近，復合頂板穩(wěn)定性分析可按共同曲率模型進行；當高跨比小于1/3時，復合頂板穩(wěn)定性分析只能采用非共同曲率模型，復合梁抗彎能力顯著降低。由圖7(b)可知，當E1=E2、h2=2h1時，疊層梁共同曲率模型應力比為1∶2,且不隨高跨比的變化而變化；而非共同曲率上層應力比隨著高跨比的增大而減小，下層應力比隨著高跨比的增大而增大，當高跨比大于1/3時趨近于共同曲率應力比。

2.5 巖層巖性相同且上厚下薄時

取h1=2h2，其他參數的選取仍同上所述，所求結果如圖8所示。

(a)拉應力

由圖8(a)可知，當高跨比大于1/3時，非共同曲率模型與共同曲率模型相近，可按照共同曲率模型計算，復合梁抗彎能力較大；當高跨比小于1/3時，非共同曲率模型與共同曲率模型結果差別較大，復合梁抗彎能力顯著降低。分析圖8(b)可知，當E1=E2、h1=2h2時，疊層梁共同曲率模型應力比為2∶1，與高跨比無關；疊層梁非共同曲率上層應力比隨著高跨比的增大而減小，而下層相反，在高跨比大于1/3時，均趨近于共同曲率的應力比。

3 復合頂板錨桿支護組合作用機理探討

為了分析錨桿支護作用機理，采用ABAQUS軟件進行模擬。模擬兩分層巖性及分層厚度相同、高跨比為1/3的復合頂板，其巖石參數、邊界條件、荷載同上所述。錨桿規(guī)格為?20 mm×2 000 mm，彈性模量為2.0×105MPa, 泊松比為0.20[24]。

模擬方案：分別對錨桿支護數量n=0、3、5、6、7的疊層梁，以及整體梁模型在其他條件完全相同的情況下的應力分布進行分析。

根據模擬結果可得巖層上的最大應力分別為0.93、0.84、0.66、0.61、0.58、0.43 MPa；錨桿支護數量為0、3、5、6、7的疊層梁模型最大應力分別是整體梁模型的2.16、1.91、1.50、1.39、1.32倍；隨著錨桿支護數量增加，巖層上的應力開始逐漸減小，并逐漸接近整體梁模型。

由理論和模擬分析可知，疊層梁共同曲率和非共同曲率巖梁上的應力遠大于整體梁上的應力，若通過錨桿的支護組合作用[25]，可將疊層梁非共同曲率轉化為疊層梁共同曲率甚至實現類似整體梁的轉化效果，大大減小巖梁上的應力，提高巖梁的承載能力。

由此可得出，錨桿主被動加固技術的內在機理：①阻止復合頂板層間黏結破壞，防止由整體梁向共同曲率疊層梁進而向非共同曲率疊層梁轉化；②錨桿支護增強了復合頂板抗彎能力，使上下層同步性增強，彎曲變形減小，層間黏結損傷減小；③復合頂板變成疊層梁后，通過錨桿支護可使分層承載變?yōu)檎w承載，從而大大提高復合頂板的穩(wěn)定性。

4 結論

1)當高跨比大于1/3時，可將復合頂板疊層梁近似看作共同曲率模型；當高跨比小于1/3時，應將疊層梁按照非共同曲率模型進行分析。只有當復合頂板層間黏結力未發(fā)生破壞時，才可用整體梁模型進行分析。

2)3種模型計算的復合頂板穩(wěn)定性差別較大。傳統(tǒng)上采用整體梁模型的計算方法，是偏于危險的，因為復合頂板層間黏結力較小，在巷道開挖后常會出現層間黏結局部或全部被破壞，由整體梁模型向疊層梁模型轉化，在分層厚度較小時則可能進一步由共同曲率模型向非共同曲率模型轉化，使復合頂板穩(wěn)定性進一步降低。錨桿主被動加固技術，其內在機理在于，防止由整體梁向共同曲率疊層梁進而向非共同曲率疊層梁轉化，相反可能實現由非共同曲率疊層梁向共同曲率疊層梁甚至近似整體梁轉化，從而大大增強復合頂板穩(wěn)定性。

3)復合頂板彎矩及應力分配規(guī)律：整體梁模型不存在彎矩及應力分配問題；疊層梁非共同曲率模型，其上下分層的彎矩及應力分配比隨著高跨比的增大而減??；疊層梁共同曲率模型，其彎矩及應力分配關系不隨高跨比變化，當疊層梁上下層的彈性模量不同而厚度相同時，共同曲率模型的彎矩及應力分配與上下層彈性模量比相同，當疊層梁上下層厚度不同而彈性模量相同時，上下層彎矩分配是厚度比的3次方，應力分配與厚度比相同。