立體幾何中一類翻折問題的處理方法

程春民

(江西省永豐中學(xué))

把一個(gè)平面圖形沿某條直線翻折,轉(zhuǎn)化為空間圖形,進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化,這就是翻折問題.高考中經(jīng)常以圖形翻折作為命題對(duì)象,處理這類問題的關(guān)鍵在于弄清楚哪些量發(fā)生了變化,哪些量未發(fā)生變化.本文通過具體例子說(shuō)明處理這類翻折問題的基本方法.

例1如圖1 所示,四邊形ABCD是菱形,∠BCD＝60°,AB＝2.沿BD把△ABD折起,使點(diǎn)A翻折到點(diǎn)P的位置,連接PC,則四面體P-BCD(如圖2)的體積的最大值是________.

圖1

圖2

解析如圖3 所示,當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí),四面體P-BCD的體積最大,過點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E,則V＝

圖3

例2點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn),AC＝3,BC＝4,將△BCD沿著CD翻折,翻折后的三角形為△B′CD,且平面B′CD⊥平面ADC,則翻折后AB′的最小值是( ).

圖4

因?yàn)槠矫鍮′CD⊥平面ACD,B′E⊥CD,所以B′E⊥平面ACD,故B′E⊥AE.在Rt△AEB′中,由勾股定理得AB′2＝AE2＋B′E2＝25－12sin2α.當(dāng)時(shí),AB′取得最小值,故選B.

例3如圖5所示,已知四面體ABCD中,AD＝DB＝AC＝CB＝1,則該四面體體積的最大值為________.

圖5

解析當(dāng)此四面體體積最大時(shí),平面ABC⊥ABD,取AB中點(diǎn)M,連接CM,DM(如圖6),則CM⊥平面ABD.設(shè)AB＝2x(0＜x＜1),則,所以

圖6

例4如圖7所示,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB＝2,BC＝1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上的一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將△ADF沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足,設(shè)AK＝t,則t的取值范圍是_________.

圖7

解析如圖8 所示,過點(diǎn)D作DH⊥AF,垂足為H,連接HK,因?yàn)镈K⊥AB,所以AF⊥平面DHK.

圖8

在平面圖形ABCD中(如圖9),D,H,K三點(diǎn)共線,且DK⊥AF,所 以△AKD≌△DAF,則,所以.又DF∈(1,2),所以

圖9

例5如圖10 所示,在△ABC中,AB＝BC＝2,∠ABC＝120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足PD＝DA,PB＝BA,則四面體P-BCD的體積最大值是_________.

圖10

解析在△ABC中,由余弦定理得

AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝12,所以AC＝2.當(dāng)平面PBD⊥平面CDB時(shí),四面體P-BCD的體積取得最大值.此時(shí)△PBD底邊BD的高就是三棱錐VP-BCD的高.

鏈接練習(xí)

1.已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC,D為BC的中點(diǎn),以AD為折痕進(jìn)行折疊,使折后的∠BDC＝,則過A,B,C,D四點(diǎn)的球的表面積為( ).

A.3π B.4π C.5π D.6π

2.如圖11所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體S-EFG中必有( ).

圖11

鏈接練習(xí)參考答案

1.C. 2.A. 3.C. 4.CD.

(完)