拉普拉斯變換在精確求解二體阻尼震蕩模型中的應(yīng)用

劉嘉賢，王文佳，麻嘉欣，李喜彬

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

拉普拉斯變換在解帶有初始條件的線性常微分方程時(shí)可以發(fā)揮巨大的作用.但在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)過(guò)程中，常常省去這部分內(nèi)容，因?yàn)橄噍^傅里葉變換，拉普拉斯變換確實(shí)存在著相應(yīng)的局限性.但在處理某些問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用拉普拉斯變換可以給出精確的解析解，比如線性非齊次常微分方程的通解問(wèn)題等.因此在教學(xué)過(guò)程中花費(fèi)較少部分的學(xué)時(shí)來(lái)簡(jiǎn)單扼要地介紹拉普拉斯變換，對(duì)于學(xué)生深入理解高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容是大有幫助的.

二體系統(tǒng)作為多體系統(tǒng)中的可解模型之一，它在經(jīng)典力學(xué)中起著極其重要的作用.多體系統(tǒng)隨著研究對(duì)象數(shù)量的增加，其動(dòng)力學(xué)演化軌跡變得不可預(yù)測(cè)，而且不確定性顯著增加，系統(tǒng)更加難以研究[1]，同時(shí)多體系統(tǒng)常常伴隨著混沌現(xiàn)象.因此，研究二體系統(tǒng)是處理復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)性工作.例如，在量子力學(xué)中，對(duì)相互作用的雙原子系統(tǒng)的研究可以為多原子系統(tǒng)性質(zhì)的分析提供有力的借鑒[2,3].在天體物理中，相互吸引的二體系統(tǒng)是唯一可解的模型，而在三個(gè)以上天體的系統(tǒng)中，其軌道具有很高的復(fù)雜性[4].多體線性系統(tǒng)也會(huì)隨著不同的參數(shù)組合出現(xiàn)復(fù)雜的情況[5,6].

本文對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的二體模型進(jìn)行了解析計(jì)算，該模型包含兩個(gè)由彈簧連接的物體，其阻尼力大小正比于物體的速度.通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，將其轉(zhuǎn)換為線性方程組，之后再利用拉普拉斯逆變換，就可以得到兩個(gè)物體位置隨時(shí)間的變化情況，即解析解. 在計(jì)算拉普拉斯逆變換的過(guò)程中，需要確定奇點(diǎn)的位置，用到了卡爾丹諾(Cardano)公式來(lái)求得一元三次函數(shù)的根.

1 微分方程組

在物理問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)由彈簧連接的兩個(gè)物體，假設(shè)質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體分別由恢復(fù)系數(shù)為k的彈簧連接，其原長(zhǎng)是a.將彈簧拉長(zhǎng)至b，同時(shí)釋放兩個(gè)物體，變量x1和x2表示相對(duì)于釋放處的位移，其模型如圖1所示.假定阻尼力的大小與該物體速度成正比，阻尼系數(shù)為γ.上述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖1 運(yùn)動(dòng)方程式(2)對(duì)應(yīng)的示意圖.

(1)

或者重新寫(xiě)為更簡(jiǎn)單的形式：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

f(s)=m1m2s3+γ(m1+m2)s2+

[γ2+k(m1+m2)]s+2γk=

ax3+bx2+cx+d

(7)

是有

f(z)=z3+pz+q

(8)

其中常數(shù)p和q分別為：

(9)

(10)

需要注意的是，多項(xiàng)式z3+pz+q最高次冪的系數(shù)已經(jīng)調(diào)整為1(各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)除以a)，這是因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心f(z)的零點(diǎn).根據(jù)卡爾丹諾(Cardano) 公式[8]，方程(8)的根分別為：

(11)

(12)

(13)

與一元二次函數(shù)類(lèi)似，在方程(13)中定義的Δ同樣可以用來(lái)區(qū)分一元三次函數(shù)(8)所對(duì)應(yīng)的根的不同情況：

1) 如果Δ=0，有3個(gè)實(shí)根且至少兩個(gè)相等；

2) 如果Δ<0，有3個(gè)不同的實(shí)根；

3) 如果Δ>0，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.

接下來(lái)對(duì)方程 (2) 的不同情況分別進(jìn)行討論.

2 臨界阻尼振蕩(Δ=0)

Δ=0的條件代表過(guò)阻尼振蕩和欠阻尼振蕩之間的狀態(tài)，因此稱(chēng)之為臨界阻尼振蕩.這種情況所對(duì)應(yīng)的判別式為

(14)

數(shù)值分析表明，式(2)作為阻尼系數(shù)γ的函數(shù)，只存在一個(gè)實(shí)的正根，或者說(shuō)式(1)描述的動(dòng)力系統(tǒng)只存在唯一的臨界阻尼振蕩狀態(tài).

而后我們可以用3種不同的情況來(lái)討論這種狀態(tài).

2.1 q=0，p=0

這種情況需要3個(gè)等式，q=0、p=0以及Δ=0.然而，這3個(gè)方程不存在關(guān)于γ的正實(shí)根，所以這種情況不會(huì)在物理系統(tǒng)中發(fā)生.

2.2 q>0，p<0

這種情況下，多項(xiàng)式方程(8)的3個(gè)根分別為：

(15)

根據(jù)式(5)，物體m1的位移隨時(shí)間的變化為

m1=0.5 kg，m2=0.4 kg,k=10 N·m-1,γ=6.036 kg·s-1圖2 式(16)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡

(16)

上式中最后一項(xiàng)中的“撇”表示對(duì)變量s的導(dǎo)數(shù).圖2給出了物體m1和m2的軌跡.

2.3 p>0的情況

這里，我們對(duì)p>0的情況不做討論.這是因?yàn)榘词?13)中的定義，如果p>0，則Δ無(wú)法為零, 因此這種情況不會(huì)發(fā)生.

3 過(guò)阻尼振蕩(Δ<0)

對(duì)于Δ<0的情況，一元三次方程(8)存在3個(gè)不同的實(shí)根，它對(duì)應(yīng)著過(guò)阻尼振蕩模式.與第2節(jié)的討論方法相同，本節(jié)同樣分為三種不同的情況進(jìn)行討論.

3.1 q=0,p<0

(17)

上式中，下標(biāo)q=0表示約束條件.這種情況下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖3所示.

m1=0.5 kg,m2=0.4 kg,k=10 N·m-1，γ=6.058 kg·s-1圖3 式(17)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

3.2 q>0,p<0

這種情況下，3個(gè)零點(diǎn)之一的解析表達(dá)式為

(18)

式中，r為3次根號(hào)下的復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，即

(18)

θ為復(fù)數(shù)的幅角：

(19)

另一個(gè)根表示為

r1/3(ei2π/3eiθ/3+ei4π/3e-iθ/3)=

(20)

最后一個(gè)根可以通過(guò)同樣的方法獲得：

(21)

而通過(guò)拉普拉斯逆變換得到的位移為

x1(t)=

(22)

以上的計(jì)算表明，變量a、b、r、θ、p和q與參數(shù)m1、m2、k和γ相關(guān)，因此式(23)的精確分析結(jié)果也是非常復(fù)雜的，為方便起見(jiàn)，本文在這里不做說(shuō)明.式(23)的軌跡如圖4中所示.

m1=0.5 kg，m2=0.4 kg，k=10 N·m-1,γ=5.058 kg·s-1圖4 式(23)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)跡.

3.3 q<0,p<0

重復(fù)3.2節(jié)的計(jì)算過(guò)程，m1位移的表達(dá)式與式(23)的結(jié)果相同，其軌跡如圖5所示.

m1=0.5 kg,m2=0.4 kg，k=10 N·m-1,γ=7.058 kg·s-1圖5 q<0和p<0的過(guò)阻尼振蕩跡.

4 欠阻尼振蕩

欠阻尼振蕩對(duì)應(yīng)于條件Δ>0，即一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根，在此情況下，兩個(gè)物體的振幅振蕩衰減.這種現(xiàn)象也類(lèi)似于單體系統(tǒng).

4.1 q=0,p>0

(23)

其中c.c.表示復(fù)數(shù)共軛.其演化圖像如圖6所示.

m1=0.5 kg,m2=0.12 kg，k=10 N·m-1,γ=0.964 kg·s-1圖6 式(24)對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

4.2 q>0

此時(shí)，式(8)的根為

(24)

(25)

m2=0.12 kg,k=10 N·m-1，γ=1.663 8 kg·s-1圖7 式(26) 對(duì)應(yīng)的的運(yùn)動(dòng)軌跡.

m1=0.5 kg,m2=0.12 kg,k=10 N·m-1，γ=0.463 8 kg·s-1圖

4.3 q<0

在這個(gè)條件下的解析結(jié)果與式(26)完全相同,其位移隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示.

5 總結(jié)

本文計(jì)算了彈簧連接的二體系統(tǒng)在臨界阻尼、過(guò)阻尼和欠阻尼三種情況下的振動(dòng)模式.解析結(jié)果完全可以通過(guò)拉普拉斯變換、留數(shù)定理和卡爾達(dá)諾(Cardano)公式等方法得到，但是每種情況的公式都非常復(fù)雜.與單體振蕩系統(tǒng)中的結(jié)果相類(lèi)似，它仍然可以區(qū)分為三個(gè)條件，這三個(gè)條件 是由式(13)中定義的判別式Δ來(lái)區(qū)分的.每種模式的演化圖像、相應(yīng)的參數(shù)組合和說(shuō)明如表1所示.與其他描述多體系統(tǒng)的模型相比,二體系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的模型，但其結(jié)果卻相當(dāng)復(fù)雜.不難想象,精確求解多體系統(tǒng)幾乎是不可能的.但是,這種方法仍然可以推廣到多體系統(tǒng)的研究中.如式(4)所示,主導(dǎo)方程演化趨勢(shì)的部分僅為分母的零點(diǎn)類(lèi)型.因此,本文對(duì)多體動(dòng)力系統(tǒng)的研究具有一定的參考價(jià)值.

表1 不同參數(shù)組合所對(duì)應(yīng)的振蕩模式

同時(shí)，從上面的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實(shí)踐中，適當(dāng)?shù)丶尤肜绽棺儞Q對(duì)于開(kāi)拓學(xué)生的視野、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情都有一定的幫助.