應(yīng)用張量分析推導(dǎo)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中彈性力學(xué)幾何方程和平衡微分方程

周正峰

(1. 西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031;2. 西南交通大學(xué) 道路工程四川省重點實驗室，四川 成都 610031)

物理量及其遵循的物理規(guī)律是客觀存在的，與選取的坐標(biāo)系無關(guān)[1]. 但是物理量的分量與參考坐標(biāo)系密切相關(guān)，會隨著參考坐標(biāo)系的不同而變化. 為了研究同一物理量及其規(guī)律在不同參考坐標(biāo)系中表達(dá)形式的差異和聯(lián)系，張量分析是十分有力的工具，它不僅能使繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及表達(dá)式變得簡明清晰、便于記憶，而且使分析問題不受具體坐標(biāo)系的限制，對于一些需要選用曲線坐標(biāo)系進(jìn)行分析的問題特別有利. 張量分析能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用于力學(xué)分析時的嚴(yán)謹(jǐn)和美感，被近代力學(xué)相關(guān)教科書和學(xué)術(shù)論文普遍采用，也是深入學(xué)習(xí)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的必要基礎(chǔ)[2].

彈性力學(xué)中幾何方程和平衡微分方程是應(yīng)變和應(yīng)力分析的重要內(nèi)容，在大多數(shù)面向工科學(xué)生的彈性力學(xué)教材中，直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中的幾何方程都是由線元的應(yīng)變與位移的關(guān)系導(dǎo)出的，平衡微分方程都是由微元體的靜力平衡條件導(dǎo)出的[3]. 在直角坐標(biāo)系中，由于坐標(biāo)線的方向保持不變，幾何方程和平衡微分方程的推導(dǎo)還比較容易，但在平面極坐標(biāo)系中，由于環(huán)向的坐標(biāo)線是曲線，幾何方程和平衡微分方程的推導(dǎo)需要借助作圖進(jìn)行細(xì)微分析，推導(dǎo)過程難以掌握[5]. 對于三維柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，若仍采用作圖分析法推導(dǎo)幾何方程和平衡微分方程，將會變得非常復(fù)雜和困難.

本文應(yīng)用張量分析詳細(xì)推導(dǎo)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中彈性力學(xué)幾何方程和平衡微分方程. 首先利用正交曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系，以及笛卡兒坐標(biāo)單位矢量為常矢量的特性，從單位矢量變換的角度，推導(dǎo)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的梯度算子，以及單位矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù). 然后根據(jù)張量的場論基礎(chǔ)，通過微分運(yùn)算，推導(dǎo)出位移矢量的梯度和應(yīng)力張量的散度，再根據(jù)幾何方程和平衡微分方程的張量表達(dá)形式，推導(dǎo)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的應(yīng)變幾何方程和應(yīng)力平衡微分方程. 本文推導(dǎo)過程盡可能詳細(xì)，使讀者在具有最基本的張量知識前提下，能夠理解和掌握整個推導(dǎo)過程.

1 正交曲線坐標(biāo)系下的梯度算子▽

采用張量形式給出的彈性力學(xué)幾何方程和平衡微分方程，并不依賴所選取的坐標(biāo)系，在曲線坐標(biāo)系下仍然成立.

由張量表示的幾何方程為[6]

(1)

式中，ε是應(yīng)變張量；u是位移矢量，▽是梯度算子，▽u表示位移矢量u的梯度，(▽u)T表示位移矢量u的梯度的轉(zhuǎn)置矩陣.要得到正交曲線坐標(biāo)系下幾何方程的具體形式，關(guān)鍵是要求位移矢量u的梯度.

由張量表示的平衡微分方程為[6]

·σ+F=0

(2)

式中，σ是應(yīng)力張量；F是體力矢量.要得到正交曲線坐標(biāo)系下平衡微分方程的具體形式，關(guān)鍵是要求梯度算子▽與應(yīng)力張量σ的內(nèi)積，即散度.

1.1 正交曲線坐標(biāo)系下的梯度算子▽

設(shè)笛卡兒坐標(biāo)系為xi，正交曲線坐標(biāo)系為αi，兩組坐標(biāo)系之間存在對應(yīng)關(guān)系：

xi=xi(α1,α2,α3)

(3)

笛卡兒坐標(biāo)系中任意一點矢徑r對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)是三個相互正交的單位矢量ei，矢徑r可表示為

r=x1(α1,α2,α3)e1+x2(α1,α2,α3)e2+

x3(α1,α2,α3)e3

式中，e1、e2、e3分別是笛卡兒坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸x1、x2、x3方向的單位矢量，是方向和大小均不變的常矢量，矢徑r對單位矢量ei進(jìn)行分解所得的分量即為坐標(biāo)xi.與笛卡兒坐標(biāo)系不同，曲線坐標(biāo)系的單位矢量沿坐標(biāo)線αi的切線方向，是隨點變化的，等于矢徑對曲線坐標(biāo)αi的偏導(dǎo)數(shù)除以拉梅系數(shù)hi.根據(jù)式(3)，拉梅系數(shù)hi為

(5)

則曲線坐標(biāo)系的單位矢量為

(6)

式中等號右邊項的下指標(biāo)i不是啞標(biāo)，即對i不求和.將式(4)代入式(6)，可得曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系為

(7)

在笛卡兒坐標(biāo)系中，梯度算子為

(8)

假設(shè)同一函數(shù)，在曲線坐標(biāo)系中的梯度算子可表示為

(9)

則對于正交曲線坐標(biāo)系，式中系數(shù)為

(10)

將式(7)、式(8)代入式(10)得

(11)

將式(11)代入式(9)，就得到了正交曲線坐標(biāo)系中的梯度算子：

(12)

1.2 正交曲線坐標(biāo)下單位矢量對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)

對于柱坐標(biāo)系有

α1=r,α2=θ,α3=z

(13)

(14)

對應(yīng)的笛卡兒坐標(biāo)為

(15)

由式(5)得拉梅系數(shù)為

h1=1,h2=r,h3=1

(16)

將式(15)、式(16)代入式(7)，得柱坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系為

進(jìn)一步可求出柱坐標(biāo)系單位矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)：

(18)

同理，對于球坐標(biāo)系有

α1=r,α2=θ,α3=φ

對應(yīng)的笛卡兒坐標(biāo)為

(20)

球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)為

h1=1,h2=r,h3=rsinθ

(21)

球坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系為

(22)

球坐標(biāo)系單位矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為

(23)

2 位移矢量的梯度及幾何方程

對于柱坐標(biāo)系，位移矢量為

(24)

將式(24)代入式(12),有

(25)

(26)

寫成矩陣形式為

(27)

將式(27)代入式(1)，得柱坐標(biāo)系中的幾何方程為

(28)

同理，可得球坐標(biāo)系下的位移梯度為

(29)

將式(29)代入式(1)中，得球坐標(biāo)系中的幾何方程為

(30)

3 應(yīng)力張量的散度及平衡微分方程

(31)

從式(31)可以看出，在正交曲線坐標(biāo)系中要求應(yīng)力散度，除了求應(yīng)力分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)iσij之外，還要求單位矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)

有了上面的基礎(chǔ)，就可以求應(yīng)力張量散度的具體表達(dá)式.對于柱坐標(biāo)系，根據(jù)式(12)，可求得式(31)等號右邊第1項的展開式：

(32)

根據(jù)式(12)和式(18)，可求得式(31)等號右邊第2項的展開式，此時只有i=r、k=θ這種取值組合時計算結(jié)果不為0，其他i、k取值時均為0，有

(33)

同樣根據(jù)式(12)和式(18)，可求得式(31)等號右邊第3項的展開式，此時只有i=θ、j=r和i=θ、j=θ這2種取值組合時計算結(jié)果不為0，其他i、j取值時均為0，即

(34)

根據(jù)式(32)、(33)和(34)，最后有

(35)

再根據(jù)式(2)，即可得柱坐標(biāo)系下的平衡微分方程：

(36)

同理，球坐標(biāo)系下式(31)等號右邊第1項的展開式為

(37)

球坐標(biāo)系下式(31)等號右邊第2項的展開式為(此時只有i=r、k=θ，i=r、k=φ，i=θ、k=φ這3種取值組合時計算結(jié)果不為0，其他i、k取值時均為0)

(38)

球坐標(biāo)系下式(31)等號右邊第3項的展開式為[此時只有式(23)中5項偏導(dǎo)數(shù)不為0時計算結(jié)果不為0]

(39)

根據(jù)式(37)、式(38)和式(39)，得到球坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量散度·σ，再帶入式(2)，即得到球坐標(biāo)系下的平衡微分方程：

(40)

4 結(jié)語

通過上述推導(dǎo)過程可以看出，利用正交曲線坐標(biāo)系與笛卡兒坐標(biāo)系單位矢量之間的關(guān)系，以及笛卡兒坐標(biāo)矢量為常矢量的特性，可以比較容易地推導(dǎo)出正交曲線坐標(biāo)系中的梯度算子和單位矢量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù).在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用張量的場論基礎(chǔ)，通過微分運(yùn)算，推導(dǎo)出位移矢量的梯度和應(yīng)力張量的散度，進(jìn)一步根據(jù)彈性力學(xué)幾何方程和平衡微分方程張量表述形式不依賴坐標(biāo)系的特性，得到柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中幾何方程和平衡微分方程.與大部分教科書通過幾何分析的推導(dǎo)方法相比[3]，張量分析推導(dǎo)方法更加清晰嚴(yán)謹(jǐn)，更具普遍適用性，且本文推導(dǎo)過程所需的張量知識少，可供彈性力學(xué)教學(xué)和科研參考.