平面運動剛體上爬行小蟲的運動圖像

顧志琴,梁佩佩

(江蘇航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212134)

文獻(xiàn)[1]給出了定軸轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)過的角度與小蟲相對圓盤參考系轉(zhuǎn)過的角度之間的積分關(guān)系式.如果剛體放置在光滑水平面上,小蟲在剛體上爬行時,剛體轉(zhuǎn)過的角度與小蟲相對剛體參考系轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系如何;如何根據(jù)小蟲相對剛體的運動軌跡或轉(zhuǎn)過的角度,確定剛體質(zhì)心和小蟲相對地面的運動軌跡,這些問題都值得去研究和討論.本文將對這一問題進(jìn)行比較詳細(xì)的分析和討論.

1 角動量和轉(zhuǎn)角公式

首先,我們考慮剛體形狀為板狀.質(zhì)量為m1的板狀剛體放置在光滑水平面上,質(zhì)量為m2的小蟲(看成質(zhì)點)在板狀剛體上爬行.在水平面內(nèi),剛體和小蟲系統(tǒng)只有相互作用的摩擦力.在一般情況下,剛體在摩擦力作用下做平面運動, 可用質(zhì)心運動定理和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理對剛體進(jìn)行描述;對質(zhì)點可用牛頓定律描述.當(dāng)我們把剛體和小蟲作為系統(tǒng)研究時,不僅可以避開未知的摩擦力,還可以利用剛體和小蟲系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒,去處理我們需要解決的問題.

如圖1所示,C為剛體質(zhì)心,P為小蟲,O為剛體和小蟲系統(tǒng)的質(zhì)心,r1、r2分別為剛體質(zhì)心和小蟲相對O點的位矢,r′為小蟲相對剛體質(zhì)心的位矢.由圖1和質(zhì)心定義可知

(1)

(2)

圖1 小蟲位于板狀剛體上

(3)

式中Ic為繞過剛體質(zhì)心垂直于板面豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量,ω為剛體的轉(zhuǎn)動角速度,其方向沿豎直方向; 式中2、3兩項中位矢和速度均在水平面內(nèi),矢積的方向沿豎直方向, 因此系統(tǒng)角動量只有沿豎直方向的分量.將式(1)、(2)代入式(3)得

(4)

圖2 角坐標(biāo)間關(guān)系

因為剛體和小蟲系統(tǒng)在水平面內(nèi)不受外力作用,外力矩為零,系統(tǒng)的角動量守恒.由初始條件得

(5)

上式為剛體轉(zhuǎn)動角速度與小蟲在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中角速度間關(guān)系,負(fù)號表示剛體轉(zhuǎn)動角速度與小蟲在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中角速度方向相反,等式兩邊同乘dt得

(6)

如果已知小蟲相對剛體的運動軌跡,并能將r′表示為θ的函數(shù),根據(jù)式(6)就可以積分求出α,進(jìn)一步求出φ.當(dāng)小蟲相對剛體由A點運動到B點軌跡為曲線時,剛體轉(zhuǎn)過的角度為

(7)

剛體轉(zhuǎn)過的角度與小蟲相對剛體的軌跡有關(guān).式(7)與文獻(xiàn)[1]中小蟲在定軸轉(zhuǎn)動圓盤上爬行情況的式(8)比較,兩者具有相同的表達(dá)形式.質(zhì)量為m2的小蟲在板狀平面運動剛體上爬行,可看成折合質(zhì)量為μ的小蟲在定軸轉(zhuǎn)動的板狀剛體上爬行,轉(zhuǎn)軸垂直于板狀剛體通過其質(zhì)心C.

當(dāng)小蟲相對剛體沿直線軌跡AB爬行時,過C點作AB或其延長線的垂線,假設(shè)C點到AB直線或其延長線的垂直距離為d.垂線與C點連接小蟲P的直線CP間夾角為β,規(guī)定小蟲P偏離垂足點在爬行方向一側(cè)的β角為正,小蟲偏離垂足點在爬行反方向一側(cè)的β角為負(fù),垂線與C點連接軌跡兩端的直線CA、CB間夾角分別為β1和β2.由圖3可知

圖3 小蟲相對剛體沿直線軌跡AB爬行

上式對直線上任意點都成立,代入式(6)積分并利用初始條件可得,小蟲由A點出發(fā)爬行到直線AB上任意位置時剛體轉(zhuǎn)過的角度為

無論垂足點是在直線AB上,還是在直線AB的延長線上,或者在AB的反向延長線上,上式都成立.小蟲由A點出發(fā)爬到終點B,剛體轉(zhuǎn)過的角度為

(8)

上式表示剛體轉(zhuǎn)過的角度與d、β1和β2有關(guān),相同長度的直線軌跡可以在剛體上有很多不同位置,它們具有相同的d、β1和β2.由圖3可知tanβ1和tanβ2都與d成反比,因此由式(8)不難得出結(jié)論:小蟲相對剛體的直線軌跡AB通過剛體質(zhì)心時,剛體不能發(fā)生轉(zhuǎn)動.

根據(jù)式(1)、(2)和圖2可知剛體質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

小蟲在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

現(xiàn)在將板狀剛體換成三維剛體,剛體仍置于光滑水平桌面上,小蟲可以相對剛體做三維運動.小蟲和剛體系統(tǒng)受到的外力只有自身重力和水平面對剛體的支持力,剛體仍然做平面運動,剛體只有對豎直軸Oz的角動量,表達(dá)式與板狀剛體相同;小蟲對Oz軸的角動量與小蟲在垂直O(jiān)z軸平面內(nèi)的速度分量和小蟲到Oz軸的垂直距離有關(guān).將圖1中P點理解為小蟲在剛體質(zhì)心C所在水平面的投影,O點理解為系統(tǒng)質(zhì)心在剛體質(zhì)心C所在水平面的投影,剛體為板狀情況下導(dǎo)出的公式均成立.

2 應(yīng)用舉例

例1如圖4 所示,質(zhì)量為m1、邊長為l的勻質(zhì)正n邊形線框置于光滑水平面上,有一只質(zhì)量為m2的小蟲P在線框上的一個頂點,初始時框與蟲均靜止,求小蟲沿線框爬行一圈回到出發(fā)點時線框轉(zhuǎn)了多少角度？

圖4 小蟲沿正n邊形線框爬行

(9)

式中負(fù)號反映小蟲沿框架逆時針爬行時框架順時針轉(zhuǎn)動.小蟲沿框架每條邊爬行l(wèi)距離時,框架轉(zhuǎn)過角度相同,小蟲沿框架爬行一周回到起點,框架轉(zhuǎn)過的角度為

(10)

質(zhì)量為m1、邊長為l的正n邊形線框通過其質(zhì)心的豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量為

(11)

(12)

例2如圖5所示,質(zhì)量為m1、半徑為R的勻質(zhì)圓盤置于光滑水平面,有一只質(zhì)量為m2的小蟲P在圓盤圓心C處,初始時圓盤與小蟲均靜止.當(dāng)小蟲沿著圓盤上半徑為R/2的圓形軌道一直爬行時,求小蟲和圓盤圓心相對地面的軌跡.

圖5 圓盤和小蟲的初始狀態(tài)

解：如圖6所示,Cx′y′為轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系,Oxy為地面坐標(biāo)系,初始時Cx′y′與Oxy重合.小蟲相對圓盤爬行一段時間后,圓盤轉(zhuǎn)過角度α,質(zhì)點在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中位置為(r′,θ),小蟲相對軌跡方程為

圖6 圓盤和小蟲在運動中

(13)

(14)

(15)

φn=α+θ+(n-1)α*=

(16)

(17)

小蟲做第n圈爬行時,小蟲在地面坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

(18)

小蟲做第n圈爬行時,圓盤質(zhì)心C在地面坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)為

(19)

小蟲和圓盤質(zhì)心C在地面坐標(biāo)系中的軌跡如圖所示,實線為小蟲P的軌跡,虛線為圓盤質(zhì)心C的軌跡.圖7對應(yīng)m1=2m2, 圓盤半徑R=1 m,小蟲順時針爬行,根據(jù)式(13)、(16)、(18)、(19)用matlab軟件編程畫出;圖8對應(yīng)m1=m2,圓盤半徑R=1 m,小蟲逆時針爬行,根據(jù)式(13)、(17)、(18)、(19)用matlab軟件編程畫出.

圖7 m1=2m2，小蟲順時針爬行時， 小蟲和圓盤質(zhì)心相對地面的軌跡

圖8 m1=2m2，小蟲順時針爬行時，小蟲 和圓盤質(zhì)心相對地面的軌跡

3 結(jié)束語

剛體放置在光滑水平面上,小蟲在剛體上爬行的問題,可以作為閱讀材料推薦給學(xué)生.文中公式的推導(dǎo)過程和應(yīng)用舉例,可以幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉角動量的計算、認(rèn)識角動量守恒定律的重要性,熟悉在幾種不同的坐標(biāo)系中線量(位矢、速度)之間、角量(角坐標(biāo)、角速度)之間、線量與角量之間的關(guān)系.