Theis 公式和Dupuit 公式計算滲透系數(shù)對比與探討

李本軍

（中國煤炭地質(zhì)總局 水文地質(zhì)局，河北 邯鄲 056004）

1 概 況

礦井涌水量是確定礦床水文地質(zhì)條件、礦井水文地質(zhì)類型復(fù)雜程度及生產(chǎn)能力的重要指標(biāo)。礦井涌水量是礦井生產(chǎn)設(shè)計部門制定采掘方案、確定礦井排水能力如水倉、泵房、水泵、排水管路等設(shè)計和制定疏干措施、防治措施及安全生產(chǎn)的主要依據(jù)。因此，正確預(yù)測預(yù)報礦井水文地質(zhì)參數(shù)對礦井涌水量預(yù)測的重要性已成為共識，其中滲透系數(shù)是影響礦井涌水量預(yù)測的關(guān)鍵因素之一，采用不同的計算方法取得的結(jié)果存在差異。國內(nèi)水文地質(zhì)工作者對傳統(tǒng)的承壓水井完整井Dupuit 公式求水文地質(zhì)參數(shù)的研究已十分深入，但是由于水文地質(zhì)勘探工作程度和資料所限，鮮有水文地質(zhì)工作者采用多種計算方法展開對比與探討[1-5]。

基于以上背景，本文充分利用“山東省田莊煤礦水文地質(zhì)補(bǔ)充勘探”項目多種抽水手段獲得的豐富抽水資料，在分析相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，采用Theis 公式和Dupuit 公式的5 種方法對滲透系數(shù)進(jìn)行計算和對比分析，以求提高礦井涌水量的預(yù)測精度。

2 Theis 公式計算水文地質(zhì)參數(shù)

基于地下水向完整井的非穩(wěn)定流運(yùn)動理論，選取Theis 公式的lgs-1gt 降深曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線配線法和Jacob 直線圖解法（s 與線性關(guān)系）[6]，計算導(dǎo)水系數(shù)和釋水系數(shù)。

數(shù)據(jù)來源于《山東省田莊煤礦水文地質(zhì)補(bǔ)充勘探報告》[7]抽水試驗資料，包括4 個放水孔的放水量資料（表1）和補(bǔ)16 孔、XGO-1 孔和5GO-1孔的觀測數(shù)據(jù)（表2、圖1）。

表1 放水鉆孔一覽Table 1 List of drainage holes

圖1 觀測孔降深-時間曲線Fig.1 The curve of depth drop and time of observation hole

表2 放水試驗觀測孔降深Table 2 The depth drop of observation hole of drainage test

續(xù)表

根據(jù)4 個放水孔的平面分布和平均放水量情況，通過插值法等效成一個放水孔，則補(bǔ)16 孔、XGO-1 孔、5GO-1 孔與虛擬放水孔的距離分別為942 m、236 m 和741 m。降深-時間配線法采取的計算公式為式（1）、式（2），Jacob 直線圖解法采取的計算公式為式（3）、式（4），公式具體推導(dǎo)過程見地下動力學(xué)第二版第101～102 頁[6]，不再贅述。

式中：T 為導(dǎo)水系數(shù)，m2/d；W(u)、為井函數(shù)；μ*為含水層的釋水系數(shù)；Q 為放水井的流量，m3/d；S 為降深，m；t 為放水開始到計算時刻的時間，需轉(zhuǎn)換成與放水井流量相一致的時間單位；r為距離放水井的距離，m；i 為直線斜率。

擬合匹配過程如圖2～圖4 所示，選取的匹配點(diǎn)參數(shù)和計算成果見表3。通過Theis 公式求得的導(dǎo)水系數(shù)可以反求滲透系數(shù)，以補(bǔ)16 孔數(shù)據(jù)為例，反求滲透系數(shù)值為=2 998.313/123.41=24.30 m/d，其中，為補(bǔ)16 孔奧陶系灰?guī)r含水層抽水段厚度。2種方法計算的導(dǎo)水系數(shù)、釋水系數(shù)相近，相互驗證了計算成果的可靠性和準(zhǔn)確性。

圖2 補(bǔ)16 孔降深-時間配線法Fig.2 The depth drop and time wiring method of Bu 16 borehole

圖3 XGO-1 孔降深-時間配線法Fig.3 The depth drop and time wiringmethod ofXGO-1 borehole

圖4 5GO-1 孔降深-時間配線法Fig.4 The depth drop and time wiring method of 5GO-1 borehole

表3 奧灰含水層水文地質(zhì)參數(shù)計算Table 3 Hydrogeological parameters calculation of Ordovician limestone aquifer

通過Theis 公式求得的導(dǎo)水系數(shù)可以反求滲透系數(shù)，以補(bǔ)16 孔數(shù)據(jù)為例，反求滲透系數(shù)值為K=T/M=2 998.313/123.41=24.30 m/d，其中，M 為補(bǔ)16孔奧陶系灰?guī)r含水層抽水段厚度。

3 Dupuit 公式計算滲透系數(shù)

3.1 單孔抽水計算滲透系數(shù)

3.1.1 未消除井損計算滲透系數(shù)

基于地下水向承壓水井的穩(wěn)定流動理論，以補(bǔ)16 鉆孔奧灰含水層抽水試驗為例，利用Dupuit 承壓水完整井單孔抽水公式（5）計算滲透系數(shù)。抽水試驗計算成果見表4。

表4 未消除井損計算成果Table 4 Calculation results without eliminating well loss

式中：Q 為抽水井流量，m3/d；M 為抽水含水層厚度，m；K 為滲透系數(shù)，m/d；s 為井中水位降深，m；r 為井的半徑，0.047 m；R 為影響半徑，m。

對表4 中的3 個落程的滲透系數(shù)取平均值，未消除井損的條件下，滲透系數(shù)為1.21 m/d。

3.1.2 消除井損后計算滲透系數(shù)

現(xiàn)階段，在煤田地質(zhì)勘探或水文地質(zhì)勘查（特別對于井田水文地質(zhì)條件復(fù)雜程度為簡單-中等時）中，單孔抽水試驗仍然是一種主要的工作手段。根據(jù)錢學(xué)溥[10]，單孔抽水時，在井管附近和井管內(nèi)，水頭損失包括6 個方面。對于孔徑小、降深大的抽水鉆孔，在井管附近和井管內(nèi)，往往形成較大水頭損失（井損），使抽水井內(nèi)測得的水位降深比實際含水層降深偏大。如不考慮井損問題，計算的含水層滲透系數(shù)比實際值偏小。

鑒于以上問題，相關(guān)學(xué)者提出了各種消除井損的方法[8-13]，下面以《消除井損計算滲透系數(shù)公式的探討》[10]給出的計算方法并結(jié)合最小二乘法為例，消除井損。

承壓水完整井涌水量方程式可以寫成：

根據(jù)最小二乘法計算系數(shù)a、b[15]：

式中：Q 為對應(yīng)落程的抽水量，m3/d；S 為對應(yīng)落程的降深，m；N 為抽水試驗的落程次數(shù)。

以補(bǔ)16 孔三次Q-s 抽水試驗資料為例，根據(jù)式（8）、式（9）計算系數(shù)a、b，并計算消除井損后的降深數(shù)據(jù)即為有效降深。則a=0.002 3，b=0.000 004；S1=Q1×a，S2=Q2×a，S3=Q3×a。

有效降深計算成果見表5。將消除井損后的降深數(shù)據(jù)代入式（5）、式（6），求取滲透系數(shù)K，見表6。

表5 井損計算成果Table 5 Calculation results of well loss

表6 消除井損后計算成果Table 6 Calculation results after eliminating well loss

對表6 中3 個落程的滲透系數(shù)取平均值，即消除井損后利用Dupuit 承壓水完整井單孔抽水公式計算的滲透系數(shù)為4.01 m/d。

3.2 多孔抽水計算滲透系數(shù)

放水孔資料見表1，4 個放水孔虛擬成1 個放水主孔，主孔水位平均降深270 m，觀1 孔（XGO-1 孔）水位降深3.5 m，觀2 孔（補(bǔ)16 孔）水位降深1.36 m，如圖5 所示。采用承壓水完整井多孔抽水（1 個主孔抽水，2 個孔觀測）滲透系數(shù)計算公式（10），計算結(jié)果見表7，表中的滲透系數(shù)計算成果可等效為補(bǔ)16 孔的滲透系數(shù)，即4.31 m/d。

圖5 承壓水井多孔抽水示意圖Fig.5 Schematic diagram of multi-hole pumping of confined well

表7 多孔抽水計算成果Table 7 Calculation results of multi-hole pumping

式中：Q 為抽水主孔流量，m3/d；M 為含水層厚度，41 m；K 為滲透系數(shù)，m/d；s1、s2為觀測孔水位降深，m；r1、r2為觀測孔與抽水主孔距離，m。

4 計算結(jié)果比較

Theis 公式反求的滲透系數(shù)為24.3 m/d，單孔Dupuit 公式不消除井損條件下計算的滲透系數(shù)為1.21 m/d，單孔Dupuit 公式消除井損條件下計算的滲透系數(shù)為3.90 m/d，多孔Dupuit 公式計算的滲透系數(shù)為4.31 m/d。匯總的計算結(jié)果詳見表8。

表8 滲透系數(shù)計算成果匯總Table 8 Calculation results list of permeability coefficient

5 結(jié) 論

（1）曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線配線法與Jacob 直線圖解法兩種方法計算的導(dǎo)水系數(shù)、釋水系數(shù)、滲透系數(shù)，其計算結(jié)果相近。

（2）Dupuit 公式采取單孔抽水未消除井損計算滲透系數(shù)、單孔抽水消除井損計算滲透系數(shù)和多孔抽水計算滲透系數(shù)3 種方法。結(jié)果表明，單孔抽水消除井損后與多孔抽水計算結(jié)果近似，未消除井損計算的滲透系數(shù)偏小，消除井損后計算結(jié)果較未消除井損更符合客觀實際。

（3）Dupuit 公式和Theis 公式計算的水文地質(zhì)參數(shù)值存在較大差異，原因還需進(jìn)一步研究。

不當(dāng)之處，請批評指正。以上結(jié)論希望與有關(guān)同仁爭鳴、討論。