非線性-積分拋物型方程零階項的識別問題

許瑤瑤，楊 柳

（蘭州交通大學 數(shù)理學院，蘭州 730070）

數(shù)理物理方程反問題是以具有物理背景的偏微分方程（組）作為研究的主要對象，它與其他數(shù)學分支及物理、化學等自然科學和工程技術(shù)的很多領(lǐng)域都有著廣泛的聯(lián)系［1］.眾所周知，正問題的求解過程一般是由條件推導出結(jié)果.對于正問題而言只要條件充分，那么正問題的解必然存在且唯一.對于反問題的求解過程來說，它是一個逆向的，因此反問題的研究難度非常大.我們應該指出正問題和反問題之間有一個主要的區(qū)別是在Hadamard意義上，正問題是適定的，而大多數(shù)反問題是不適定的［2］，即反問題的解是不存在，不唯一或不穩(wěn)定的.因此為解決反問題的不適定性，大多會采用正則化［3］和最優(yōu)控制等理論方法來解決.例如文獻［4］中的方程：

使用Tikhonov正則化方法，識別橢圓型方程Dirichlet問題中系數(shù)q（x）的收斂速度.文獻［5］考慮一個二階拋物型方程反演輻射系數(shù)的初邊值問題：

其中?（x）是區(qū)間（0，1）上給定的一個光滑曲線，q（x）是所要反演的系數(shù)，假設(shè)給定如下附加條件：u（0，T）=f（x），x∈（0，1）利用最優(yōu)控制的方法確定滿足問題的u和q.文獻［6］研究期權(quán)定價中著名的Black-Scholes方程：

主要基于最優(yōu)控制理論利用市場觀測數(shù)據(jù)重構(gòu)隱含波動率σ的反問題，文獻［7］基于極值原理討論退化拋物型方程的源系數(shù)反演問題，文獻［8］在最優(yōu)控制的框架下分析帶有積分源項的拋物型方程的反源問題，證明解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.文獻［9］主要運用最優(yōu)控制方法來考慮具有積分型源項的二階拋物型方程的初值反演問題.通過閱讀相關(guān)文獻可知對于非線性帶積分型源項的拋物型方程的系數(shù)反演問題的研究較少，在實際應用中如污水治理、污染物揮發(fā)等都會遇到這一類的問題.

本文研究當終端觀測數(shù)據(jù)已知時，重構(gòu)非線性-積分拋物型方程的零階項識別問題，該問題P可描述為如下形式：

其中：f（x），φ（x），Ψ（x），p是（0，l）上已知的光滑函數(shù)，Ψ（x）表示在終端時刻T＞0時的觀測值，φ（x）是初始時刻的觀測值.如何確定滿足問題P的u和q（x）？

本文主要是從理論分析的角度出發(fā)對問題P進行研究，由于問題P的不適定性，可轉(zhuǎn)化為一個新的控制問題來代替原來的問題P.

1 最優(yōu)控制問題

這里我們假設(shè)φ（x）＞0，φ∈C2，α［0，l］，0＜α＜1且Φ=maxx∈［o，l］|φ（x）|.在方程（1）中，假設(shè)函數(shù)p∈C2［0，Φ］并且p滿足Lipschitz條件：

以及p（0）=0，|p′|，|p″|≤L，且q（x）是有界函數(shù)，即|q（x）|≤c，考慮到問題（1）的不適定性，以及對于一般終端觀測數(shù)據(jù)Ψ（x），問題P可能沒有解，我們轉(zhuǎn)而考慮以下問題P1如下所示.

問題P1求，使得

這里

A=｛q（x）|0＜α0≤q≤α1，▽q∈L2（0，l）｝U（x，T，q）是問題（2）的解，q（x）=A，N是正則化參數(shù)，α0，α1是兩個給定的正常數(shù).

引理1.1［10］假設(shè)φ∈C2，α［0，l］，0＜α＜1，對于?q（x）∈A，問題存在唯一解

引理1.2假設(shè)φ（x）∈L2［0，l］，對q（x）∈L2（0，l），存在一個與T和M有關(guān)的非負常數(shù)C滿足下式

證明根據(jù)問題（1），對于0＜t≤T，有

即

又因為

那么

這里|q|=abs（q）

又因為

因此

即

由Gronwall’s不等式得

引理1.2得證.

2 存在性

定理2.1 存在一個J（q）的極小元q∈A，即

定理2.1的證明是標準的，可參考文獻［11-13］.

3 必要性

定理3.1 若q為最優(yōu)控制問題（2）的解，則存在一個三元函數(shù)（u，v；q）滿足以下方程

且對于?h∈A有

證明對于?h∈A，0≤δ≤1，令

則

令uδ是方程（1）的解，其中q=qδ從而有

由式（7）可得

假設(shè)v是以下問題的解

其中L*是L的共軛算子，

由式（9）和（11），可得

所以

由式（10）和（12）可得

定理3.1得證.

4 局部唯一性和穩(wěn)定性

由于最優(yōu)控制問題P1的控制泛函是非凸的，故不存在全局唯一解，但當T足夠小時，可以證明P1的解具有局部唯一性和穩(wěn)定性.

引理4.1對于任意有界連續(xù)函數(shù)h（x）∈C（0，l），有

這里的x0是（0，l）上的不動點.

證明對于0＜x＜l

引理4.1得證.

引理4.2對于方程（4）由極值原理可得

引理4.2的證明是標準的.

引理4.3［14］設(shè)u（x，t）∈C2（Q）∩C（）是問題（1）的解，則有如下估計

在這一節(jié)中，本文證明解的局部唯一性和穩(wěn)定性.假設(shè)Ψ1（x），Ψ2（x）是給定的函數(shù)，并滿足Ψ（x）∈C［0，l］.令q1（x）是問題P1對應的Ψ1（x）的極小元，q2（x）是問題P1對應的Ψ2（x）的極小元，｛ui，vi｝分別是當q=qi時（i=1，2）問題（3）和（4）的解，令u1-u2=U，v1-v2=Λ，q1-q2=Q.因此U和Λ滿足

引理4.4對于方程（16），有以下估計

證明有0≤θ≤1

從方程（16）中，有0＜t≤T

則有

即

整理得

其中|q1|為q1的絕對值.

從而有

由Gronwall’s不等式得

其中：C是與T無關(guān)的常數(shù).

引理4.4得證.

引理4.5由方程（17）可得如下估計

證明由方程（17）可得

通過積分可得

即

從P滿足的條件可知

從而有

又因P是光滑函數(shù)，有

由引理4.2和Cauchy不等式得

結(jié)合式（18）可得

由Gronwall’s不等式可得

引理4.5得證.

定理4.6令q1（x），q2（x）是最優(yōu)控制問題P1的兩個最小值，如果存在x0∈（0，l），使q1（x0）=q2（x0），這里T?1，C是不依賴T，l，N的常數(shù)，有以下估計

證明在式（5）中，當q=qi時取h=q2，當q=q2時取h=q1，則有

當q=qi（i=1，2）時，｛ui，vi｝（i=1，2）分別是式（3）和（4）的解

由式（20）和（21）得

即

由定理4.6假設(shè)知存在x0∈（0，l）使

由引理4.1知

再由式（23），（25）和Young不等式可得

由引理4.2和4.3可知

又因為p（u）是有界函數(shù)，故

則

當T?1時，使

則

定理4.6得證.

注：極小元的唯一性是定理4.6的直接推論，正則化參數(shù)的選取會對反問題的研究產(chǎn)生影響.由定理4.6容易得到如果存在誤差界δ，令N→0，δ→0，則，那么最優(yōu)控制的解是局部穩(wěn)定且唯一的.

5 結(jié)論

本文主要是在最優(yōu)控制理論框架下，研究當終端觀測數(shù)據(jù)已知時，反演非線性-積分拋物型方程零階項q=q（x）的識別問題.并通過建立控制泛函，完成了對控制泛函極小元的存在性、必要性、局部唯一性和穩(wěn)定性的證明.本文著重于對一維情況下進行理論分析，將在后續(xù)工作中考慮對此模型在二維情況甚至更高維情況下進行研究，將其應用到實際生活的問題當中，實現(xiàn)研究的價值.