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    利用通性通法證明2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題

    2023-01-05 10:48:30凌惠明
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:通性圓周角參考答案

    凌惠明

    (江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

    2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(預(yù)賽)加試(A卷)第1題以簡(jiǎn)潔的圖形、豐富的內(nèi)涵,為考生能力的發(fā)揮留下了廣闊的空間.本文提供幾種利用通性通法來證明的方法,供大家欣賞.

    1 題目

    圖1

    (本題滿分40分)如圖1,在凸四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,對(duì)角線BD上一點(diǎn)P滿足∠APB=2∠CPD,線段AP上兩點(diǎn)X,Y滿足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.證明:BD=2XY.

    2 證明

    本題的證明分為兩個(gè)邏輯段.

    2.1 第一個(gè)邏輯段

    圖2

    分析1由∠ABC=∠ADC=90°很容易想到A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上,由∠AXB=2∠ADB或∠AYD=2∠ABD聯(lián)想到圓周角定理,可以考慮利用圓O來尋找角與角之間的關(guān)系,從而可以得到A,O,B,X四點(diǎn)共圓,A,O,D,Y四點(diǎn)共圓(圖2),進(jìn)而可以得到 △OXY∽△CDB.

    具體證明過程可參考組委會(huì)提供的參考答案,這里不再贅述.

    分析2如果沒有想到利用圓周角定理來轉(zhuǎn)化∠AXB=2∠ADB,可以考慮在⊙O中將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,構(gòu)造等腰三角形解決問題.

    具體證明過程如下:

    圖3

    如圖3,取AC中點(diǎn)O,因?yàn)椤螦BC=∠ADC=90°,所以A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上,且P,B位于AC同側(cè).延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)G,因?yàn)椤螦XB=2∠ADB=2∠AGB=∠XGB+∠XBG,所以∠XGB=∠XBG,則XB=XG.又OG=OB,則OX⊥BG,故∠OXY=90°-∠XGB=90°-∠ADB=∠CDB.同理,∠OYX=∠CBD,故△OXY∽△CDB.

    2.2 第二個(gè)邏輯段

    具體證明過程可參考組委會(huì)提供的參考答案,這里不再贅述.

    分析2延長(zhǎng)AP后形成角平分線,構(gòu)造三角形全等解決問題.

    具體證明過程如下:

    圖4

    圖5 圖6

    分析4可以利用平行尋找角與角之間的關(guān)系,結(jié)合中位線來得到相似比,具體證明過程如下.

    分析5由于角與角之間的關(guān)系比較豐富,也可以考慮利用正弦定理來得到相似比,具體證明過程如下.

    圖7

    3 結(jié)語(yǔ)

    今年的這道平面幾何題延續(xù)了最近幾年聯(lián)賽對(duì)學(xué)生平面幾何方面的能力上的要求,突出了運(yùn)用基本知識(shí)、定理和方法來思考和解決問題,是一道非常好的賽題.遺憾的是,從賽后反饋來看,仍然有不少學(xué)生面對(duì)條件∠AXB=2∠ADB和∠AYD=2∠ABD束手無策,面對(duì)條件∠APB=2∠CPD更是一片茫然.這啟示我們?cè)谄綍r(shí)給學(xué)生訓(xùn)練時(shí)要更加積極地去探究解題思路的合理性,探究通性通法的運(yùn)用,從而提升分析問題和解決問題的能力!

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