數學建模視角下棱錐外接球半徑優(yōu)化求解路徑

張隆億，肖金枝

(福建省永春第一中學，福建泉州，362601)

數學建模能力是指能在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題，分析問題、建立模型,求解模型,檢驗結果、改進模型;能對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題.數據分析是數學建模的重要內容,主要包括:收集數據,整理數據,提取信息,構建模型,進行推斷,獲得結論.

含棱錐外接球半徑的試題，能有效考查學生對球的截面性質，立體圖形到平面圖形轉化的掌握程度，考查邏輯推理，數學建模，直觀想象等數學核心素養(yǎng).難度可控，常滲透在選擇題、填空題之中，備受高考命題者的青睞.從聯考的實測數據來看，這類試題得分率較低，本文以球的截面性質抓手，建立模型，探求棱錐外接球半徑優(yōu)化路徑.

模型1：椎體內接于長方體

常見的可內接于長方體的椎體有：墻角棱錐及變形、對棱相等的三棱錐等.

案例1(2021·朝陽區(qū)校級四?！の母木?已知三棱錐A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=3，則棱錐A-BCD的外接球表面積.

評注：試題以對棱相等的三棱錐為背景，考查棱錐的外接球面積.利用球的截面性質直接求解,在求解截面外接圓半徑較為麻煩，費事費力時，抓住對棱相等這個主要條件，識別模型，利用模型優(yōu)化棱錐外接球的求解路徑，達到事半功倍的效果.

模型2：單截面模型

② 側棱長相等的棱錐P-ABC中，d=|h-R|(h為棱錐的高)

模型3：雙截面模型

案例4(2021·百強名校5月份模擬)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PC=BC=2，AB=4，∠APC=120°，平面PAC⊥平面ABC，則球O的體積為.

簡而言之，棱錐的外接球半徑求解問題, 學生常因為構圖困難、無法球心位置、不能準確將立體圖形轉化為平面圖形等造成失分.解題關鍵在于確定球心位置.本文以球的截面性質為主要突破口，對棱錐的外接球半徑求解建模、解模做了些探索，優(yōu)化了求解路徑，有效破解此類問題的解題障礙，達到事半功倍的效果.