改進(jìn)的擾動(dòng)LPV系統(tǒng)輸出反饋預(yù)測(cè)控制

王 平，趙 敏

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093)

模型預(yù)測(cè)控制因其適用于處理約束和多變量問(wèn)題而備受工業(yè)界青睞，是一種重要的控制技術(shù)[1-2]。文獻(xiàn)[3]針對(duì)多面體描述的線性時(shí)變系統(tǒng)和線性時(shí)不變系統(tǒng)，提出了基于顯式模型的魯棒約束預(yù)測(cè)控制算法。文獻(xiàn)[4]將這種思想應(yīng)用于線性變參數(shù)系統(tǒng)，在假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)精確可測(cè)的前提下，采用了一種基于擬最小最大算法的狀態(tài)反饋預(yù)測(cè)控制方案。然而預(yù)測(cè)控制是基于模型的控制策略，精確的系統(tǒng)模型起著重要的作用，模型的不確定性在實(shí)際系統(tǒng)中是不可避免的，因此基于不確定模型魯棒控制器的設(shè)計(jì)已成為一個(gè)重要的研究方向[5]。

為解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[6～8]針對(duì)帶有輸入約束的LPV(Linear Parameter Variable)系統(tǒng)，采用了一種基于輸出反饋的MPC(Model Predictive Control)方法。該MPC方法在線設(shè)計(jì)魯棒狀態(tài)觀測(cè)器，基于狀態(tài)觀測(cè)器在線獲得系統(tǒng)每一時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)值，通過(guò)設(shè)計(jì)魯棒輸出反饋控制器得到最優(yōu)控制律，保證了受輸入約束系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9～12]采用一種基于擬最小最大算法的輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制策略，基于線性矩陣不等式設(shè)計(jì)離線魯棒狀態(tài)觀測(cè)器，利用魯棒狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)，進(jìn)而在線通過(guò)魯棒輸出反饋預(yù)測(cè)控制算法，得到最優(yōu)控制律。雖然該算法考慮了LPV系統(tǒng)的不確定因素，但是難以保證受擾動(dòng)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。因此，本文將給出一種新的輸出反饋預(yù)測(cè)控制方法來(lái)解決這一問(wèn)題。

針對(duì)一類帶有有界狀態(tài)干擾的多胞描述LPV系統(tǒng)，本文以保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性為目標(biāo)，提出一種魯棒預(yù)測(cè)控制改進(jìn)方法，并設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器。該控制器考慮了無(wú)擾動(dòng)LPV模型，基于線性矩陣不等式求解最小最大魯棒輸出反饋控制律；隨后，獲得保證擾動(dòng)LPV系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的最優(yōu)偏移量，與無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)反饋控制律組合得到最優(yōu)控制律，并施加于實(shí)際系統(tǒng)；最后，證明了擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

1 問(wèn)題描述

考慮以下不確定LPV系統(tǒng)

xc(k+1)=A(ρ(k))xc(k)+B(ρ(k))uc(k)+w(k)

yc(k)=C(ρ(k))xc(k)

(1)

式中，uc(k)∈Rnu、xc(k)∈Rnx、yc(k)∈Rny分別為系統(tǒng)的控制輸入、不可測(cè)狀態(tài)以及可測(cè)輸出；w(k)?W為有界干擾，且W?Rnx；A(ρ(k))、B(ρ(k))、C(ρ(k))屬于多面體矩陣集合

[A(ρ(k))|B(ρ(k))|C(ρ(k))]∈Ω

(2)

其中

Ω=Co{[A1|B1|C1]，[A2|B2|C2]，…，[Al|Bl|Cl]}

(3)

式中，Co為凸包；{[A1|B1|C1]，[A2|B2|C2]，…，[Al|Bl|Cl]}，j∈{1,2,…,l}為多面體Ω的頂點(diǎn)；l為多面體頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

假設(shè)1ρ(k)在k時(shí)刻可測(cè)量，即[A(ρ(k))，B(ρ(k))，C(ρ(k))]在k時(shí)刻已知。

假設(shè)2(A(ρk))，B(ρ(k)))以及(C(ρ(k))，A(ρ(k)))，對(duì)于所有k≥0為完全可控可觀。

本文針對(duì)如式(1)所示的帶有有界狀態(tài)干擾的不確定LPV系統(tǒng)，設(shè)計(jì)輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制器，得到最優(yōu)控制律，并施加于該系統(tǒng)，保證了擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

2 無(wú)擾動(dòng)LPV系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

考慮無(wú)擾動(dòng)LPV系統(tǒng)模型如式(4)所示。

(4)

為求取控制律使如式(4)所示的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，首先提出一種魯棒狀態(tài)觀測(cè)器的離線設(shè)計(jì)方法；進(jìn)而構(gòu)造具有LMI(Linear Matrix Inequality)約束的在線優(yōu)化MPC問(wèn)題；最后通過(guò)求解該優(yōu)化問(wèn)題得到最小最大魯棒輸出反饋控制律。

2.1 離線狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于如式(4)所示的系統(tǒng)狀態(tài)不可測(cè)，故采取如下所示的狀態(tài)觀測(cè)器[13]

x0(k+1)=A(ρ(k))x0(k)+B(ρ(k))u(k)+

Lpy(k)-C(ρ(k))x0(k))

(5)

式中，x0(k)、u(k)、y(k)分別為估計(jì)狀態(tài)、控制輸入以及可測(cè)輸出。為確定觀測(cè)器增益Lp，定義該系統(tǒng)的估計(jì)誤差e(k)=x(k)-x0(k)，則下一時(shí)刻

e(k+1)=(A(ρ(k))-LpC(ρ(k)))e(k)

(6)

定義一個(gè)二次函數(shù)

(7)

且滿足二次穩(wěn)定性條件

E(e(k+1))-μE(e(k))≤0

(8)

式中，μ(0<μ<1)是預(yù)先指定的衰減率，可保證當(dāng)k→∞時(shí)，e(k)→0。將式(6)和(7)代入(8)中，且左右分別乘以對(duì)角矩陣{I，Pe}，令Ye=LpPe，可得

(9)

通過(guò)求解以下優(yōu)化問(wèn)題可得Lp。

(10)

2.2 在線輸出反饋預(yù)測(cè)控制

為保證式(4)的漸近穩(wěn)定性，引入以下預(yù)測(cè)模型[14]

g(k+1+i|k)=A(ρ(k+i))g(k+i|k)+

B(ρ(k+i))u(k+i|k)

(11)

g(k+1|k)=x0(k+1)

式中，i≥1；g(k+i|k)，u(k+i|k)分別為式(4)在k時(shí)刻預(yù)測(cè)k+i時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)以及控制輸入。令g(k|k)=x0(k)，u(k)=u(k|k)，未來(lái)控制律描述為

u(k+i|k)=F(k)g(k+i|k)

(12)

式中，F(xiàn)(k)為k時(shí)刻確定的反饋增益。

針對(duì)式(4)在每個(gè)時(shí)刻求解如下最小最大優(yōu)化問(wèn)題

(13)

式中

(14)

同時(shí)二次函數(shù)V(g(k+i|k))滿足以下約束條件[15]

(15)

由魯棒穩(wěn)定性可得g(∞|k)=0，即V(g(∞|k))=0，將式(15)左右兩端從i=1到∞分別相加可得

(16)

式中

V(g(k+1|k))=g(k+1|k)TP(k)g(k+1|k)

(17)

對(duì)系統(tǒng)性能附加約束

(18)

其中γ(k)是待最小化的非負(fù)變量。

基于式(15)、式(18)，可將所提出的最小最大優(yōu)化問(wèn)題修改為

(19)

為保證式(19)的魯棒穩(wěn)定性，附加如下所示的穩(wěn)定性條件。

γ(k)<γ(k-1)

(20)

在滿足式(15)、(20)，式(18)的條件下，解決式(19)可得控制律u(k)及反饋增益F(k)，因此，設(shè)計(jì)上述魯棒控制器的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶有LMI約束的優(yōu)化問(wèn)題，如下定理所示。

(21)

s.t.式(4)、式(5)、式(13)

(22)

(23)

γ(k)-γ(k-1)<0

(24)

式中

(25)

若對(duì)于給定的x0(k)和y(k)存在u(k|k)、Y(k)、Q(k)，則反饋增益F(k)可由F(k)=Y(k)Q(k)-1計(jì)算得到。

證明將式(18)中P(k)替換為γ(k)Q(k)-1可得

1-Ψ(k)-T(k)TQ(k)-1T(k)>0

(26)

式中

(27)

通過(guò)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理，可得

(28)

式中

(29)

同理對(duì)式(28)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理，由此可得式(22)，因此式(18)可由式(22)保證。

令u(k+i|k)=F(k)g(k+i|k) (i≥1)，將式(12)代入式(15)，可得

ζ(k)-ξ(k+i)TP(k)ξ(k+i)>0

(30)

其中

(31)

式(30)兩邊分別乘以γ(k)P(k)-1，令P(k)=γ(k)Q(k)-1且應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得到

(32)

式中

(33)

令Y(k)=F(k)Q(k)后應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得

(34)

式中

R(k)=A(ρ(k+i))Q(k)+B(ρ(k+i))Y(k)

(35)

將不等式(34)映射于式(36)中

[A(ρ(k+i))|B(ρ(k+i))|C(ρ(k+i))]∈Ω

(36)

若存在Q(k)和Y(k)使式(34)成立，則可證得式(23)成立，因此式(15)可由式(23)保證，此時(shí)證畢。

定理2(遞歸可行性) 對(duì)于式(21)，若k時(shí)刻能確定一個(gè)遞歸可行解，則在所有t>k時(shí)刻，式(21)都是有解的。

證明若證明k時(shí)刻得到的優(yōu)化問(wèn)題的解是k+1時(shí)刻的可行解。設(shè)

(37)

基于式(5)、式(11)、式(24)及式(37)，則式(22)和式(24)可被改寫(xiě)為

(38)

式中

(39)

由于式(23)在k時(shí)刻被滿足，所以式(38)成立，因此若能在k時(shí)刻確定一個(gè)可行解，則式(21)在k+1時(shí)刻可行；證畢。

定理3(漸近穩(wěn)定性) 式(21)的可行解保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，即當(dāng)k→∞時(shí)，x(k)→0。

證明若式(21)對(duì)于所有步驟可行，基于式(15)的式(24)保證g(k+1|k)收斂到0，此外從狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)中可保證當(dāng)k→∞時(shí)，e(k)→0，即估計(jì)狀態(tài)x0(k)收斂于式(4)真實(shí)狀態(tài)x(k)，因此式(21)的可行解保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，即k→∞時(shí)，x(k)→0，此時(shí)證畢。

綜上所述，本文針對(duì)無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)模型提出的在線優(yōu)化MPC問(wèn)題描述如下

(40)

通過(guò)求解式(40)可獲得基于輸出反饋的魯棒預(yù)測(cè)控制律u(k+i|k)，保證無(wú)擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，下面則考慮在有界狀態(tài)干擾的情況下，如何求取最優(yōu)控制律。

3 擾動(dòng)LPV系統(tǒng)最優(yōu)控制律

考慮擾動(dòng)LPV系統(tǒng)，由于式(1)狀態(tài)xc(k)不可測(cè)，采取如下所示的狀態(tài)觀測(cè)器

xc0k+1)=Aρk))xc0k)+Bρk))uk)+

Lpyk)-Cρk))xc0k))

(41)

uck)=uk)+Kxc0k)-x0k))

(42)

由式(42)可得，xc0(k)與x0(k)的差值可分別基于式(41)、式(5)得到，u(k)可通過(guò)求解式(40)得到，而反饋增益K未確定，故下面通過(guò)狀態(tài)反饋確定反饋增益K，根據(jù)式(5)、式(41)定義z(k)=xc0(k)-x0(k)為控制誤差，則下一時(shí)刻控制誤差

(43)

式中，ec(k)、e(k)分別為式(1)、式(4)的估計(jì)誤差，基于上述離線狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)可得，當(dāng)k→∞時(shí)，ec(k) →0，e(k) →0。因此為使式(43)穩(wěn)定，(A(ρ(k))+B(ρ(k))K)一定趨于0，根據(jù)式(43)可得[16]

(44)

定義二次函數(shù)

(45)

并滿足以下二次穩(wěn)定性條件

(46)

其中，α(0<α<1)是預(yù)先指定的衰減率，將式(44)、式(45)代入式(46)中可得

(47)

將式(47)左右分別乘以{I，Pz}，并令Yz=LpPz，有

(48)

故求取下列優(yōu)化問(wèn)題即可確定反饋增益K。

(49)

最后根據(jù)式(42)可得最優(yōu)控制律uc(k)。

定理4最優(yōu)控制律uc(k)施加于擾動(dòng)LPV式(1)中，保證了擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性。

證明狀態(tài)反饋增益K可保證當(dāng)k→∞時(shí)，(A(ρ(k))+B(ρ(k))K)→0，且當(dāng)k→∞時(shí)，ec(k)→0，e(k)→0，因此由式(43)可得，當(dāng)k→∞時(shí)，控制誤差z(k)趨于0，所以xc0(k)最終會(huì)收斂到x0(k)。無(wú)擾動(dòng)控制律的設(shè)計(jì)保證式(4)的漸近穩(wěn)定性，即當(dāng)k→∞時(shí)，x0(k) →0，因此當(dāng)k→∞時(shí)，xc0(k) →0；又因?yàn)楫?dāng)k→∞時(shí)，ec(k) →0，所以式(1)的估計(jì)狀態(tài)xc0(k)將會(huì)收斂到式(1)的實(shí)際狀態(tài)xc(k)，即當(dāng)k→∞時(shí)，xc(k)→0；由此可得將最優(yōu)控制律uc(k)施加于式(1)中，保證式(1)的魯棒漸近穩(wěn)定性；證畢。

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一輸入的驅(qū)動(dòng)下，系統(tǒng)從這一初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到末態(tài)，若存在擾動(dòng)使系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)發(fā)生偏移，但系統(tǒng)的終態(tài)仍能回到給定的末態(tài)范圍內(nèi)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這就是普通意義上的穩(wěn)定性。而漸近穩(wěn)定性是穩(wěn)定性的一種，它要求當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)在某一范圍內(nèi)，系統(tǒng)的終態(tài)會(huì)回到零點(diǎn)?？梢?jiàn)漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定對(duì)系統(tǒng)的要求嚴(yán)格，前者只需系統(tǒng)末態(tài)所在的范圍是零點(diǎn)周圍的一個(gè)區(qū)域，而后者要求系統(tǒng)末態(tài)趨近的這一點(diǎn)必須是零點(diǎn)，這就是漸近穩(wěn)定性與穩(wěn)定性的區(qū)別。通過(guò)上述定理4的證明，說(shuō)明本文所提出的方法控制性能較好，能夠保證擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。算法具體步驟如下文所述。

離線階段步驟：

步驟1計(jì)算Lp、K；選擇合適的L和R；

步驟2選擇合適的衰減律μ(0<μ<1)、α(0<α<1)使得式(10)、式(49)可行。

在線階段(k≥0)步驟：

步驟1在k= 0時(shí)刻，分別選定式(4)、式(5)的初始狀態(tài)x(0)、x0(0)；

步驟2在k≥0時(shí)刻，根據(jù)式(5)得到x0(k)，根據(jù)式(41)得到xc0(k)，并計(jì)算xc0(k)-x0(k)；

步驟3基于式(5)在線求解式(40)獲得控制輸入u(k)以及反饋增益F(k)；

步驟4計(jì)算uc(k)=u(k)+K(xc0(k)-x0(k))，并將uc(k)施加于實(shí)際系統(tǒng)中；

步驟5重復(fù)在線階段的步驟2，直至xc0(k)=0，結(jié)束。

4 數(shù)值例子

通過(guò)下面的數(shù)值算例證明該方法的有效性，首先給出如下所示的LPV系統(tǒng)

(50)

引用模型系數(shù)[17]

(51)

給式(50)加入有界擾動(dòng)w(k)∈W

W={w∈R2||w|∞≤0.01}

根據(jù)反饋增益K、式(5)以及式(41)每一時(shí)刻所估計(jì)的狀態(tài)值可得到每一時(shí)刻的擾動(dòng)LPV系統(tǒng)控制輸入的偏移量，隨后在線求解式(40)得到無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)控制輸入u(k)，最后將無(wú)擾動(dòng)控制律組合最優(yōu)偏移量得到式(50)的最優(yōu)控制律u*(k)。下面將對(duì)文獻(xiàn)[10]中的方法與本文中的方法做對(duì)比分析。

由圖1可以看出，文獻(xiàn)[10]所提出的方法能夠保證擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的末態(tài)進(jìn)入零點(diǎn)周圍的一個(gè)區(qū)域，但是難以保證擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性；而本文所提出的方法可使得擾動(dòng)LPV系統(tǒng)狀態(tài)更快地進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，并且能夠保證擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，因此本文所提出的方法要優(yōu)于文獻(xiàn)[10]。本文中，在MPC的設(shè)計(jì)中考慮到了有界狀態(tài)干擾所造成的偏移量，因此相比于未考慮擾動(dòng)的MPC方法[18]，本文所提出的方法在實(shí)際生活中更加具有通用性。存在干擾的式(50)估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的橫、縱坐標(biāo)分別繪制在圖2、圖3中，估計(jì)狀態(tài)軌跡的坐標(biāo)設(shè)定從[-0.8，-0.2]開(kāi)始，實(shí)際狀態(tài)軌跡坐標(biāo)設(shè)定從[-1，1.2]開(kāi)始，圖2以估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的橫坐標(biāo)為y軸，以時(shí)間為x軸。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡對(duì)比圖Figure 1. Comparison diagram of system state trajectories

圖2 估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)橫坐標(biāo)軌跡Figure 2. Estimated and actual state abscissa trajectories

圖3以估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的縱坐標(biāo)為y軸，以時(shí)間為x軸。

圖3 估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的縱坐標(biāo)軌跡Figure 3. Estimated and actual state longitudinal trajectories

由圖2、圖3可以看出，式(50)估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)的坐標(biāo)軌跡最終匯合并且收斂于0，所以表明本文所提出的狀態(tài)觀測(cè)器效果良好。系統(tǒng)的最優(yōu)控制律如圖4所示。

圖4 擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的最優(yōu)控制律Figure 4. Optimal control law for a perturbed LPV system

由圖4可以看出，本文所提出的方法具有遞歸可行性，每一時(shí)刻都可求得最優(yōu)控制律。該仿真針對(duì)二維系統(tǒng)，只有兩個(gè)變量，當(dāng)變量個(gè)數(shù)增加后，系統(tǒng)維數(shù)增加，若采用本文方法，計(jì)算量會(huì)增大，因?yàn)橄鄬?duì)應(yīng)的矩陣維數(shù)會(huì)隨之增加，因此基于線性矩陣不等式的在線優(yōu)化問(wèn)題的求解，離線狀態(tài)觀測(cè)器增益以及反饋增益K的確定都更加繁瑣。對(duì)于高維數(shù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性而言，定理4同樣適用于高維數(shù)系統(tǒng)，因此當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)增高，本文所提出的方法同樣可保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類帶有有界狀態(tài)干擾的多胞描述LPV系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)魯棒預(yù)測(cè)控制方法，設(shè)計(jì)了可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的輸出反饋控制器。該控制器考慮無(wú)擾動(dòng)LPV系統(tǒng)模型，基于LMI約束求解輸出反饋控制律。為抵消有界狀態(tài)干擾，本文設(shè)計(jì)并求取擾動(dòng)LPV系統(tǒng)控制輸入的最優(yōu)偏移量，基于無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)模型求取的控制律組合最優(yōu)偏移量即可得到擾動(dòng)LPV系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，最后將最優(yōu)控制律施加到實(shí)際系統(tǒng)中，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。