探討共性 挖掘背景 簡化運算

蘭州市第五中學(xué)(730000) 李守明

在近年的高考及全國各地模擬考試中,頻繁出現(xiàn)共焦點的橢圓、雙曲線的離心率相聯(lián)系的有關(guān)求值與范圍問題.這種試題不僅考查橢圓和雙曲線的基本性質(zhì),同時與基本不等式聯(lián)系,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)思維能力等核心素養(yǎng)的很好載體,受到命題者的親睞.

一.試題呈現(xiàn)

該題結(jié)構(gòu)簡單、精煉,但所蘊含的思想?yún)s很豐富,主要考查共焦點的橢圓和雙曲線這兩種曲線的離心率有關(guān)的最值,同時考查橢圓焦點三角形面積和雙曲線焦點三角形面積的計算,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,化歸與轉(zhuǎn)化的思想,貫穿了數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

二.解法探究

三.背景探究

1.在本題中,條件中告訴焦點三角形面積,根據(jù)橢圓或雙曲線焦點三角形面積公式,實際上是知道了∠F1AF2的大小,那么,在∠F1AF2=θ的情況下,共焦點的橢圓、雙曲線的離心率之間有怎樣的聯(lián)系呢? 本題有沒有相對簡單的解法呢?

筆者猜測,這個結(jié)論是“根”,本題是命題者在知道這個“根”的情況下,巧妙設(shè)置焦點三角形的面積,把一個共焦點的圓錐曲線問題,轉(zhuǎn)化為有條件限制的二元函數(shù)最值問題,從而命制了這道檢測試題.運用這個結(jié)論,就有下面解法5 和解法6.

這個結(jié)論也可以看做命制本題的背景,借助這個結(jié)論,有下面解法7.

四.考題鏈接

五.解題啟發(fā)

1.在教學(xué)過程中,很多教師抱怨“總有學(xué)生一聽就懂,一做就錯”.那么怎樣才能改變這種情形呢? 大部分教師認為學(xué)生的運算能力差,給出的策略是刷題.這種由“量變”期望“質(zhì)變”在一定的學(xué)生身上確實產(chǎn)生一定的效果.但從立德樹人的角度來看,不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展.數(shù)學(xué)素養(yǎng)不能靠大量做題而提升.在數(shù)學(xué)試題的命制上,很多試題是有共性、有背景、有淵源的.這其實是命制試題的“根”,不同的數(shù)學(xué)試題在這個“根”上套上了函數(shù)、不等式、幾何等外在的“馬甲”.教師在試題講解中,如果能引導(dǎo)學(xué)生觀察試題共性,脫掉試題外在的“馬甲”,探求試題本源,從思想方法、命題背景以及解題策略入手,想必會提高學(xué)生運算能力,有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說:“沒有一道試題是解決的十全十美的,總剩下一些工作要做,經(jīng)過充分探討和總結(jié),總會有點滴發(fā)現(xiàn),總能改進這個解答,而且在任何情況下,我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”這就要求我們在得到一道題的正確答案之后,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度尋求新穎的解法,進一步簡化運算.把“剩下的一些工作”盡可能多做一些,做扎實,做透徹,無論對教師專業(yè)的發(fā)展,還是對“減負提質(zhì)”都有積極地借鑒意義.