機器人鉆削加工系統(tǒng)布局與姿態(tài)研究

李 龍，張清妍，楊 飛，田應(yīng)仲

（上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072）

1 引言

近年來，隨著機器人的位置精度、負載能力的不斷提高，機器人技術(shù)受到了廣大航空企業(yè)的關(guān)注。機器人具有靈活性好，智能化程度高，成本低等優(yōu)點。而用于鉆削應(yīng)用的機器人多為串聯(lián)機器人，由于其結(jié)構(gòu)簡單，在結(jié)構(gòu)剛度和承載方面存在著明顯的不足[1]。因此，為了保證鉆削的精度及穩(wěn)定性，提出了一種布局和位姿的優(yōu)化方法，用于提高制孔系統(tǒng)的剛度性能。

機器人整體剛度由關(guān)節(jié)剛度、機器人位姿和外力三個因素決定，關(guān)節(jié)剛度是機器人的固有屬性，是不能改變的。因此，在外力相同的情況下，只有選擇一個合理的機器人加工姿態(tài)，才能使機器人的剛度最大。機器人加工姿態(tài)取決于機器人底座的布局以及機器人末端的姿態(tài)，然而根據(jù)一些文獻的研究發(fā)現(xiàn)，布局對機器人剛度的影響往往都被忽略了。文獻[2]將機器人柔度矩陣劃分為四個子矩陣，并繪制了四種柔度矩陣的剛度橢球，為機器人剛度研究提供了新思路。文獻[3]利用遺傳算法求解機器人最短路徑規(guī)劃問題，并通過對實例的分析計算，得到了理解的結(jié)果。文獻[4]采用雅可比條件數(shù)作為性能指標，提出了在機器人多種加工姿態(tài)中，一定存在著一種加工姿態(tài)，在此姿態(tài)下機器人剛度性能最好，可以最大限度地減少變形。文獻[5]已知銑削力和機器人彈性模型的前提下，采用遺傳算法優(yōu)化了工件的擺位。

文獻[6]提出了一種評價指標，并根據(jù)運動學(xué)性能指標繪制運動學(xué)性能圖，對機器人工作空間區(qū)域進行細化，從而確定工件的初始位置。文獻[7]根據(jù)冗余機器人的自運動學(xué)特性，對附加第七軸的機器人進行姿態(tài)優(yōu)化，以提高剛度性能。

文獻[8]提出了姿態(tài)光順算法，在獲得制孔過程中的光順軌跡同時，提升了機器人剛度性能。以KUKA KR15機器人為研究對象，對機器人的制孔系統(tǒng)進行了剛度性能的研究。在第二節(jié)建立了機器人的剛度模型，即關(guān)節(jié)剛度向末端操作剛度的映射關(guān)系。

在第三節(jié)介紹了剛度性能評價指標的概念，研究了布局與剛度之間的關(guān)系，在確定布局位置后，利用遺傳算法求解機器人的姿態(tài)優(yōu)化問題，并得到了剛度最優(yōu)的機器人姿態(tài)。最后，在第四節(jié)設(shè)計一組實驗來驗證優(yōu)化結(jié)果的有效性。

2 機器人剛度模型的建立

KUKA KR15機器人是一種六自由度的關(guān)節(jié)式機器人，6個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。簡化后的機器人鉆削加工系統(tǒng)由底座、夾具、末端執(zhí)行器和工件組成，如圖1所示。

圖1 機器人鉆削加工系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Robot Drilling System Structure

剛度分析所用的剛度模型，假設(shè)所有的關(guān)節(jié)都是剛體，如圖2所示。為了使公式更簡潔，只計算關(guān)節(jié)剛度作為操作剛度。

圖2 機器人剛度模型Fig.2 Robot Stiffness Model

機器人的關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)稱為D?H參數(shù)，其數(shù)值，如表1所示。根據(jù)等效轉(zhuǎn)換原理，用等效扭轉(zhuǎn)彈簧代替柔性接頭。在該情況下，關(guān)節(jié)剛度由彈簧常數(shù)表示，機器人關(guān)節(jié)剛度由對角矩陣表示：

表1 KUKA KR15機器人D-H參數(shù)Tab.1 D-H Parameters of the KUKA KR15 Robot

式中：Kq—機器人關(guān)節(jié)剛度矩陣；

k1，k2，…，k6—機器人關(guān)節(jié)剛度。

通過機器人雅可比矩陣J，可以推出關(guān)節(jié)剛度矩陣到操作剛度矩陣的映射關(guān)系：

式中：f—末端力矢量；

n—末端力矩矢量；

d—末端移動變形；

δ—末端轉(zhuǎn)動變形。

以上得到的是串聯(lián)機器人的傳統(tǒng)剛度模型，該模型表明了關(guān)節(jié)剛度與操作剛度之間的映射關(guān)系。由此可見，關(guān)節(jié)剛度和機器人姿態(tài)是影響機器人剛度的主要因素，選擇合適的加工姿態(tài)對于提高機器人剛度性能具有重要意義。

3 基于機器人剛度性能指標的布局和姿態(tài)研究

3.1 選擇合理的布局

一個典型的機器人鉆削過程需要機器人的布局和姿態(tài)的配合，這在整個鉆削加工系統(tǒng)的性能中起著至關(guān)重要的作用。因此，將機器人布局與姿態(tài)之間的耦合問題進行解耦。我們很難在整個機器人的工作空間中找到一個更好的姿態(tài)，但是對于一個固定的布局，機器人的姿態(tài)因為約束條件是有限的。因此，機器人的工作系統(tǒng)必須要進行合理的空間分布，使機器人保持良好的剛度性能。機器人與制孔點之間的距離定義為L和相對角θ，如圖3所示。計算得到的機器人剛度矩陣是剛度性能的表達式，但它屬于一種不能直觀得評價剛度性能好壞的張量，因此，應(yīng)選擇一種剛度性能評價指標，通過該指標可以定量反映結(jié)構(gòu)的剛度性能。常見的剛度性能指標有瑞利商法、力橢球法、剛度橢球法[9]。

圖3 機器人鉆削加工系統(tǒng)的布局示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Robot Drilling System Layout

由于力的依賴性，力橢球和剛度橢球顯然不適合，而瑞利商代表了產(chǎn)生單位變形所需的力，滿足所需的條件。通過不斷改變距離和相對角度，可以得到每個位置的瑞利商值。

由于矩陣K中元素的量綱不同，可以將機器人末端操作剛度矩陣劃分為4個對稱部分：

在此基礎(chǔ)上，引入剛度性能指標—瑞利商。瑞利商代表了機器人末端力矢量的平方與變形矢量的長度平方之比：

式中：QK(d)—剛度矩陣的瑞利商。

式（7）表示產(chǎn)生單位變形所需的外力值。瑞利商越大，產(chǎn)生單位變形所需的力就越大。瑞利商最小的位置是剛度最弱的位置。這意味著在這個位置，機器人很容易在外力作用下變形，如圖4所示。根據(jù)計算得出的結(jié)果可以很容易得到剛度的變化規(guī)律：隨著距離的減小，瑞利商值增大，剛度性能逐漸變好。根據(jù)以上結(jié)論，在實際加工中，可根據(jù)工廠要求選擇合理的位置。

圖4 所有布局點的瑞利商值Fig.4 Rayleigh Quotient Value in All Positions

當然，當機器人和鉆具的相關(guān)參數(shù)改變時，剛度性能可能會與圖4所示不同。但根據(jù)所提出的方法，可以得到各種工況和設(shè)備要求下的剛度分析結(jié)果，再根據(jù)剛度性能分布圖，如圖5所示。選擇合理的機器人布局。

圖5 合理的布局范圍Fig.5 The Rational Range for Layout

3.2 最優(yōu)的機器人加工姿態(tài)

在前一節(jié)已經(jīng)確定了機器人與制孔點之間的距離，接下來需要確定最優(yōu)的機器人加工姿態(tài)。由于在鉆削加工中，機器人末端切向方向的變形影響了加工的精度，所以需要研究力在不同方向上產(chǎn)生的變形，在此基礎(chǔ)上，可以選擇另一個剛度性能指標來解決這一問題。

剛度橢球是機器人剛度矩陣的一個重要特征，它的軸長表示單位力在不同方向上引起的變形大小。

機器人的每個姿態(tài)都對應(yīng)一個剛度橢圓，軸的長度可以進一步得到機器人在受力方向上的剛度性能。因此，提出了一種基于剛度橢球的機器人關(guān)節(jié)優(yōu)化設(shè)計方法。

3.2.1 優(yōu)化目標的選擇

在機器人末端受力的情況下，切向變形將沿著切向剛度最弱的方向進行[10]。因此，機器人末端的剛度橢球在切平面上的最短半軸可作為機器人姿態(tài)優(yōu)化的評價指標。

當機器人以不同角度制孔時，如圖6（a）所示。每個接觸點代表一個特定的機器人姿態(tài)和一個對應(yīng)的剛度橢球。機器人末端工具坐標系的三個坐標軸分別為fx、fy、和fz，切平面是xy平面，如圖6（b）所示用切平面截剛度橢球得橢圓，為簡化計算，取橢圓在fx、fy兩軸上的截距中較小的一個作為剛度評價指標。

圖6 剛度橢球示意圖Fig.6 Stiffness Ellipsoid Schematic Diagram

將λn=t作為機器人姿態(tài)優(yōu)化目標。

3.2.2 機器人姿態(tài)優(yōu)化

目前采用遺傳算法求解優(yōu)化問題正逐漸為國內(nèi)外研究中所重視。遺傳算法［10］是模仿自然界生物進化機制發(fā)展起來的隨機全局搜索和優(yōu)化方法，其本質(zhì)是一種高效、并行、全局搜索的方法，它能夠適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解。

優(yōu)化的目標是確定滿足所有約束條件的剛度最佳的制孔姿態(tài)，將6個關(guān)節(jié)變量組成位姿優(yōu)化參數(shù)，記為θ=[θ1θ2θ3θ4θ5θ6]T，但是在機器人制孔過程中，如圖8（a）所示。

機器人的末端始終垂直于工件表面，因為這個約束條件，機器人的末端只有4個自由度。將關(guān)節(jié)角度設(shè)為0，這樣可以大大的減少迭代次數(shù)并滿足約束條件。因此，設(shè)計最佳變量如下：

在遺傳算法中必須要對約束條件進行處理，即表示機器人滿足加工姿態(tài)所需要的約束條件。在前一節(jié)中，確定了代表機器人與工件之間距離的機器人布局。根據(jù)該約束，建立行為約束，如式（16）所示。表示機器人末端與工件的接觸點為（x，y，z），機器人與工件的距離為L。

根據(jù)以上對目標函數(shù)和約束條件的分析，歸納起來，機器人制孔系統(tǒng)位姿優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可描述如下：

該優(yōu)化問題可以用MATLAB中的遺傳算法工具來解決，它可以快速地描述問題、設(shè)置算法選項及監(jiān)控進程，在算法終止后，當?shù)螖?shù)逐漸減少時，目標函數(shù)的最佳適配性和平均適應(yīng)度值增加并趨于穩(wěn)定。此時，對應(yīng)于最優(yōu)解的變量，如表2所示。

表2 各變量最優(yōu)解Tab.2 Optimal Vales of Each Parameter

4 最優(yōu)解的驗證

最后，進行了一套對比實驗來驗證優(yōu)化結(jié)果的有效性。選擇五組隨機的關(guān)節(jié)角與最優(yōu)關(guān)節(jié)角進行比較。機器人的連桿參數(shù)，如表1所示。

機器人的關(guān)節(jié)剛度與上述相同，即（6.88e+5，6.88e+5，3.78e+05，2.12e+05，8.14e+04，3.10e+04）（Nm∕rad）。機器人底座安裝在距地面800mm 的底座上。選擇的機器人姿態(tài)，如表3 所示。為滿足約束條件下的任意可達的姿態(tài)。

表3 隨機選擇的五組姿態(tài)Tab.3 Random Operational Robot Configurations

由于力總是垂直于工件表面，所以沿軸向的偏轉(zhuǎn)對孔的質(zhì)量沒有影響。因此，只需要比較x和y方向上的變形。下圖顯示了x和y方向上的五組變形，第六組是最優(yōu)結(jié)果的變形，如圖7所示?？梢钥闯?，第六組的變形在x方向和y方向上都是最小的，在整體變形中也是最低的。機器人在不同方向上的剛度是不一樣的，比如第四組在x方向上的變形要比在z方向上的小得多。

圖7 x和y方向上的變形Fig.7 Deflections in the x and y Directions

顯然，優(yōu)化后的機器人可以在兩個方向上保持最優(yōu)的剛度。該數(shù)值充分表明，優(yōu)化方法成功地提高了機器人鉆削加工系統(tǒng)的工作剛度性能。

5 結(jié)論

建立了機器人鉆削加工系統(tǒng)的剛度模型，將瑞利商作為剛度性能指標，得到了剛度性能分布圖，根據(jù)此圖可以很容易地選擇一個高剛度的布局點。然后，根據(jù)操作剛度矩陣的特點，建立了剛度橢球體，將切平面上最短半軸的長度作為適應(yīng)度函數(shù)，并通過遺傳算法，最終得到最優(yōu)的機器人姿態(tài)。最后，通過與5個任意姿態(tài)機器人的比較，驗證了優(yōu)化結(jié)果的有效性，機器人末端的變形明顯降低。仿真結(jié)果表明該方法有效地提高了機器人鉆削加工系統(tǒng)的剛度性能。