考慮不平衡力與擾動力的深溝球軸承動力學(xué)模型

歐旭鵬，張義民，張 凱，王一冰

（沈陽化工大學(xué)裝備可靠性研究所，遼寧 沈陽 110142）

1 前言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機械的一個重要組成部分，對整個系統(tǒng)的運行起著決定性的作用。為了更加準(zhǔn)確了解軸承的運行狀態(tài)，通常建立滾動軸承動力學(xué)模型。動力學(xué)模型不但可以分析軸承的載荷和轉(zhuǎn)速隨時間變化的工作狀態(tài)，并且可以更好的描述軸承動態(tài)響應(yīng)特征。建立準(zhǔn)確地動力學(xué)模型，可以進(jìn)一步了解軸承在運行過程中的接觸振動機理[1]。

最早，文獻(xiàn)[2]考慮了軸系和支承結(jié)構(gòu)的彈性變形，提出了故障軸承擬靜力學(xué)分析方法；文獻(xiàn)[3]對實際潤滑的球型分離器和球的運動進(jìn)行了全面的綜合分析。文獻(xiàn)[4]對軸承運轉(zhuǎn)過程中的振動進(jìn)行研究。研究表明了，軸承運行噪聲和不穩(wěn)定運行的最根本原因是變?nèi)岫日駝?；文獻(xiàn)[5]提出了新的動力學(xué)模型，模型中考慮了軸承各元件尺寸變化、滾道曲率等因素；文獻(xiàn)[6]考慮了軸承裝配誤差以及徑向間隙的影響，分析了轉(zhuǎn)速變化對軸承振動的關(guān)系；文獻(xiàn)[7]以Hertzian接觸變形理論為基礎(chǔ)，建立了2自由度缺陷動力學(xué)模型，來模擬內(nèi)、外圈單點缺陷，研究了局部故障下的動態(tài)特性；文獻(xiàn)[8]建立了深溝球軸承內(nèi)圈和外圈表面局部故障的2自由度動力學(xué)模型，分別得到了內(nèi)、外圈表面單故障的深溝球軸承的振動響應(yīng)；文獻(xiàn)[9]考慮了表面粗糙度對滾道缺陷的徑向加載雙列軸承準(zhǔn)靜態(tài)載荷分布和剛度的影響，建立了2自由度的動力模型。

以上研究學(xué)者們從不同研究方向建立動力學(xué)模型。然而，不平衡力與擾動力對軸承的影響在動力學(xué)模型中卻鮮見研究，為了更加準(zhǔn)確地揭示振動響應(yīng)的機理，考慮了軸承受到不平衡力與運行產(chǎn)生的擾動力的影響，并且在建立模型時考慮了軸承產(chǎn)生共振部分，建立軸系?內(nèi)圈?外圈?軸承座四自由度傳遞深溝球軸承振動的解析模型。

對深溝球SKF6205 ?RS為研究對象建立模型，采用四階變步長的Runge ?Kutta法對動力學(xué)方程式進(jìn)行求解，得到了振動響應(yīng)時域信號以及頻域信號，并對結(jié)果進(jìn)行了細(xì)化傅里葉處理，最后與西儲大學(xué)軸承實驗結(jié)果進(jìn)行了比較，驗證了模型的正確性和可靠性。

2 深溝球軸承動力學(xué)模型的建立

2.1 簡化模型

深溝球軸承非線性動力學(xué)模型簡圖，如圖1 所示?；贖ertzian接觸理論，建立滾動軸承動力學(xué)模型。在建立模型時，進(jìn)行如下假設(shè)：滾動體是等距均勻分布在內(nèi)圈且進(jìn)行純滾動運動；不考慮潤滑、油膜作用；忽略滾動體慣性效應(yīng)、陀螺運動以及熱效應(yīng)引起的零件變形的影響等。

圖1 深溝球軸承模型簡化Fig.1 Simplified Model of Deep Groove Ball Bearing

2.2 接觸剛度

Hertzian總接觸剛度kn，是由滾道的接觸幾何形狀決定的，總載荷—位移等效系數(shù)由滾動體與內(nèi)圈和外圈的接觸等效剛度kni，kno綜合求得［10］。

2.3 徑向變形

設(shè)x軸正方向與x軸正方向上方θio(t)的第一個滾珠夾角為θo，第i個滾子經(jīng)過t時間后轉(zhuǎn)過的角度為θi，即：

式中：x(t)、y(t)—內(nèi)外圈的相對位移量；

Cr—徑向間隙。

2.4 Hertzian接觸力

軸承的內(nèi)外圈滾道與球滾動體之間的接觸形式為點接觸。根據(jù)Hertzian接觸理論，非線性載荷?位移關(guān)系為：

式中：Hi(t)—判斷滾動體與滾道是否接觸的參數(shù)。

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2.5 阻尼力

對阻尼采用不同的計算方法：軸承接觸阻尼的主要來源是滾動軸承與內(nèi)外滾道之間存在的潤滑膜，第i個滾子的接觸阻尼力可以表示為：

2.6 不平衡力

軸承運行時的不平衡力受力分析，如圖2所示。

圖2 不平衡力受力分析Fig.2 Force Analysis of Unbalanced Force

滾動軸承受到轉(zhuǎn)軸不平衡力將產(chǎn)生受迫振動，其振動頻率為轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)頻率，產(chǎn)生的不平衡力為：

2.7 擾動力

在軸承運行時，由于承載滾子數(shù)在變化，導(dǎo)致內(nèi)圈會受到軸系產(chǎn)生較小的擾動力，擾動力為：

式中：Nc—承載滾子數(shù)（不是總滾子數(shù)）；

F—細(xì)小擾動力；

ωb—滾子自轉(zhuǎn)角速度。

3 動力學(xué)方程的建立

根據(jù)前面簡化的軸承系統(tǒng)模型，在建立模型時，考慮了不平衡力以及擾動力，以及軸系—內(nèi)圈，外圈—軸承座的非線性耦合關(guān)系。以X軸、Y軸為橫縱坐標(biāo)，軸承內(nèi)外圈在4個方向建立了4自由度的動力學(xué)方程，如式（12）所示。

式中：mi—軸承內(nèi)圈及軸系的等效質(zhì)量；

mo—軸承外圈的等效質(zhì)量；

kox、koy—軸承與軸承座之間的支撐剛度；

kix、kiy—軸承軸系之間的剛度；

cox、coy—軸承軸承座之間的支撐阻尼；

cix、ciy—軸承與軸系之間的阻尼。

4 數(shù)值計算及實驗驗證

4.1 數(shù)值模擬

對SKF6205?RS深溝球軸承為研究對象進(jìn)行模擬驗證。采用4階Runge?Kutta對式（12）進(jìn)行求解，獲得深溝球軸承的振動響應(yīng)結(jié)果。其中步長為1∕12000s，位移初始值為1×10?6m，速度初始值為0m∕s，外載荷為Wx=550N，Wy=650N，SKF6025?RS 軸承參數(shù)以及運行參數(shù)，如表1所示。

表1 SKF6025-RS軸承參數(shù)以及運行參數(shù)Tab.1 SKF6025-RS Bearing Parameters and Operating Parameters

動力學(xué)方程模擬得到的時域圖，如圖3（a）所示。由于初值原因在前期有一定幅值的沖擊；時域信號快速傅里葉變化得到的頻域圖，如圖3（b）所示?？梢钥闯龉舱耦l率分別為1065Hz，2102Hz，（0～350）Hz的細(xì)化傅里葉變化得到的頻譜圖，如圖3（c）所示。

圖3 數(shù)值模擬結(jié)果Fig.3 Numerical Simulation Results

其中，29.17Hz 為轉(zhuǎn)軸頻率，58.59Hz 為二倍轉(zhuǎn)頻頻率，104.7Hz 為滾動體通過外圈的頻率，208.7Hz 為二倍頻；158.2Hz為滾動體通過內(nèi)圈的頻率，315.7Hz為二倍頻；262.2Hz為滾動體通過外圈頻率和通過內(nèi)圈頻率之和，30.75Hz為轉(zhuǎn)軸不平衡力激勵的轉(zhuǎn)頻，68.85Hz為細(xì)小擾動力激勵的頻率。

4.2 實驗及結(jié)果分析

試驗軸承選取了SKF6205 ?2RS深溝球軸承，試驗采樣頻率為12kHz。軸承詳細(xì)參數(shù)，如表1所示。轉(zhuǎn)速在1750rpm下的時域圖，由于運行環(huán)境、軸承自身運行中噪聲以及其它力的影響，時域信號中有輕微沖擊，如圖4（a）所示。該轉(zhuǎn)速下的頻域圖，如圖4（b）所示。由于滾動軸承的通過頻率都在低頻段，中頻段反應(yīng)出軸承或結(jié)構(gòu)零件的共振頻率成分，因此選取了中、低頻段，在圖4（b）中，中頻段（1～2.5）kHz 中有兩個明顯突起，分別是1065Hz、2102Hz，這與數(shù)值模擬傅里葉變化以后的圖4（b）中1065Hz 和2100Hz左右的凸起很接近，這說明了本文的模型在考慮共振部分的因素是很有必要的。對（0～350）Hz采用細(xì)化FFT，細(xì)化FFT以后的頻譜圖，如圖4（c）所示。從圖中可以看出幾個重要的旋轉(zhuǎn)頻率和通過頻率，不平衡力激勵頻率為30.03Hz，與仿真結(jié)果是相一致的，68.12Hz為擾動力激勵頻率，與仿真結(jié)果是一致的，外圈通過頻率為104.6Hz，內(nèi)圈通過頻率157.1Hz 等，希爾伯特調(diào)解圖，如圖4（d）所示。

圖4 轉(zhuǎn)速1750rpm的實驗結(jié)果Fig.4 Experimental Results with a Rotation Speed of 1750rpm

經(jīng)過對振動信號希爾伯特解調(diào)以后，可以清晰地觀察到軸承運行過程中的旋轉(zhuǎn)頻率和通過頻率。轉(zhuǎn)頻為28.93Hz，跟理論值29.11Hz有點誤差，這是由于轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的不平衡力的原因；58.09Hz為二倍頻，與理論值58.33Hz是基本吻合的；圖中，1∕2fi為14.65Hz，這是軸回振動，可能是由于潤滑不良引起的。

4.3 共振帶頻域分析

在建立模型時，考慮了中頻段的共振因素。將模擬結(jié)果與試驗結(jié)果結(jié)合分析。模型中其他參數(shù)不變，（1）改變Hertzian 接觸剛度kn的值，代入系統(tǒng)模型方程中，kn= 3.0 × 1010，kn= 6.0 ×1010的頻域圖，如圖5（a）、圖5（b）所示。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)改變kn時，1065Hz左右的共振頻率，會發(fā)生變化，這就說明實驗中1065Hz處的共振頻率就是由軸承內(nèi)部的剛度引起的；（2）改變軸承與軸承座之間的剛度kox的值，kox= 9 × 108的頻域圖，如圖5（c）、圖5（d）所示。

圖5 改變參數(shù)的頻域圖Fig.5 Frequency Domain Diagram of Changing Parameters

2102Hz 左右的共振頻率，會發(fā)生變化，說明實驗中的2102Hz處的共振是由軸承與軸承座之間的剛度引起的共振。上述研究結(jié)果表明，提出的模型的主要貢獻(xiàn)是獲得的加速度頻譜與實驗測量所得的加速度頻譜基本相一致。

模型真實模擬軸承共振現(xiàn)象，且模擬與試驗頻譜中的共振頻率是一致的。結(jié)果證明，在一定的誤差范圍之內(nèi)，提出的模型具有正確性和準(zhǔn)確性的。

5 結(jié)論

本研究考慮了內(nèi)圈受到軸系不平衡力以及擾動力的影響，建立4自由度深溝球軸承動力學(xué)模型。通過所建模型及實驗對比結(jié)果表明，不平衡力及擾動力激勵頻率相一致，中頻段的共振頻率也是相一致的。通過定量分析得到試驗中頻段頻率1065Hz是由Hertzian接觸剛度引起的，2102Hz是由軸承外圈與軸承座的支撐剛度引起的。通過數(shù)值模型仿真與實驗測試結(jié)果對比，結(jié)果吻合度較好，說明該模型的準(zhǔn)確性和可靠性較好。