考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的相場法模擬氧化鋁熱沖擊裂紋擴展*

楊國欣， 鄭世風， 李定玉， 李衛(wèi)國

（1. 重慶大學 航空航天學院，重慶 400044；2. 重慶科技學院 建筑工程學院，重慶 401331）

引 言

陶瓷材料在服役歷程中常常面臨復雜熱沖擊環(huán)境，由于陶瓷材料固有的脆性致使其抗熱沖擊性能較差[1-3]，往往會伴隨熱沖擊裂紋的產(chǎn)生，導致材料失效.材料熱物理性能參數(shù)和損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性，給揭示寬溫域熱沖擊過程中熱沖擊破壞的內(nèi)在機理帶來了挑戰(zhàn)[4-5].在實驗研究方面，氧化鋁陶瓷是常用的代表性材料之一，水淬實驗是研究陶瓷熱沖擊行為廣泛使用的方法，如Shao 等[6]的實驗研究中，先將氧化鋁陶瓷板加熱到不同的熱沖擊初始溫度，然后自由落體于室溫下的水中，結(jié)果表明初始溫度越高陶瓷板在淬火過程中熱沖擊破壞更嚴重，且呈現(xiàn)出大量長短相間分布的平行裂紋.另一種常用于研究陶瓷熱沖擊行為的方法是圓盤輻射加熱實驗，如Honda 等[7-8]開展了紅外輻射加熱氧化鋁陶瓷圓盤的實驗，圓盤中心的圓形區(qū)域被輻射加熱，中心加熱區(qū)域大小和熱流密度不同，實驗觀察到了不同類型的裂紋擴展路徑.在數(shù)值模擬方面，相場法由于能夠很好地模擬熱-力學、化學-力學等多物理場耦合下的裂紋擴展問題，能夠方便地預(yù)測裂紋的起裂位置、擴展路徑以及裂紋的相交和分叉，成為近年來裂紋演化模擬的常用方法[9-12].Chu 等[13]建立了熱-力耦合相場模型，分別對Shao 等[6]開展的氧化鋁陶瓷薄板水淬實驗和Honda 等[7-8]開展的圓盤輻射加熱熱沖擊實驗進行了模擬，該模擬結(jié)果很好地再現(xiàn)了陶瓷薄板水淬實驗中的長短裂紋和圓盤輻射加熱熱沖擊裂紋的擴展和分叉.但是水淬實驗中不出現(xiàn)裂紋的地方在該模擬結(jié)果中出現(xiàn)了密集的短裂紋，圓盤輻射加熱實驗的模擬中圓盤加熱區(qū)域大小對裂紋分叉位置的影響也沒有很好地體現(xiàn).他們采用室溫下的臨界能量釋放率作為損傷判據(jù)，而裂紋萌生和擴展時裂紋尖端通常處于寬溫域的熱環(huán)境，鑒于臨界能量釋放率具有較強的溫度依賴性[14]，因此，在使用相場法模擬復雜熱沖擊環(huán)境下熱沖擊破壞行為時有必要考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性.本文在現(xiàn)有熱力學相場模型的基礎(chǔ)上通過引入溫度相關(guān)性損傷判據(jù)，修正了相場模型的控制方程，并對氧化鋁陶瓷開展了熱沖擊裂紋擴展相場有限元模擬研究.

1 考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)的相場有限元模型

利用一維模型（圖1）來描述擴散裂紋拓撲的變分原理，考慮橫截面為A長度為L的無限擴展的桿，假設(shè)桿在軸向位置x=0 處出現(xiàn)裂紋，其中 Γ為裂紋面，這種尖銳的裂紋拓撲結(jié)構(gòu)可以用輔助場變量dˉ(x)∈[0,1]來描述，dˉ=0表 示材料完好的狀態(tài)，dˉ=1表示材料完全損傷的狀態(tài).

圖1 x=0 處尖銳和彌散裂紋拓撲：(a)尖銳裂紋；(b) 彌散裂紋，用長度尺度l 表示裂紋相場dˉFig. 1 Topologies of sharp and diffuse cracks at x=0: (a) the sharp crack; (b) phase field dˉ of the diffuse crack denoted by length scale l

2 有限元仿真結(jié)果及分析

2.1 Al2O3 薄板水淬熱沖擊

Shao 等[6]水淬實驗所建立的有限元幾何模型如圖2 所示，對一半的陶瓷板采用對稱性邊界條件建模，模型中選用的網(wǎng)格為四邊形網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為0.025 mm.對其熱沖擊裂紋擴展過程進行模擬并和實驗結(jié)果相比較.模擬過程中所需的材料參數(shù)如表1 所示.平板的初始溫度為680 K，水溫在300 K 保持恒定，計算時試件與水的熱交換系數(shù)取值為50 kW/(m2·K)[6].

表1 氧化鋁薄板試樣材料參數(shù)[6]Table 1 Material parameters of the alumina sheet sample[6]

圖2 水淬實驗幾何模型Fig. 2 The geometric model for the water quenching experiment

圖3 為模型對稱約束邊中點在不同網(wǎng)格密度下x方向最終的應(yīng)力結(jié)果，對模擬結(jié)果進行了收斂性分析.其中l(wèi)0=0.1 mm， 隨著網(wǎng)格的細化，模擬結(jié)果逐漸趨于一致性，采用的網(wǎng)格尺寸為 0.25l0時與網(wǎng)格尺寸為0.1l0的模擬結(jié)果最大誤差小于0.5%，滿足有限元計算精度要求，網(wǎng)格的極細化雖然可以取得更為精確的結(jié)果，但是會極大地增加運算量，因此后續(xù)的數(shù)值模擬中網(wǎng)格尺寸選為0 .25l0.

圖3 收斂性分析Fig. 3 Convergence analysis

初始溫度為680 K 時，熱沖擊過程中裂紋萌生和擴展過程如圖4(a1)、4(b1) 、4(c1) 、4(d1)所示.最初在熱沖擊邊界處萌生出一定數(shù)量間隔相當?shù)钠叫卸塘鸭y，如圖4(a1)、4(b1)所示，隨著時間的推移所有裂紋均繼續(xù)擴展，如圖4(c1)所示，當裂紋擴展到一定長度后，一部分裂紋停止擴展，另一部分裂紋繼續(xù)擴展到最終長度后停止擴展，形成長短相間分布的平行裂紋形貌.溫度場隨時間的演化過程如圖4(a2)、4(b2) 、4(c2) 、4(d2)所示，在t=8.5E-3 s 裂紋停止擴展時，分別提取了不同長度裂紋尖端的溫度如圖4(d1)所示，溫度跨度在318.26 K ～636.57 K.裂紋擴展過程中尖端溫度場表明裂紋擴展時裂紋尖端會經(jīng)歷寬溫域的熱環(huán)境，說明在模擬過程中有必要考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性.

圖4 裂紋相場和溫度場隨時間的演化Fig. 4 Evolution of the crack phase field and the temperature field with time

圖5 給出了水淬實驗結(jié)果與有無考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)模擬結(jié)果的對比，圖5(a)為Chu 等[13]不考慮溫度相關(guān)性臨界能量釋放率的模擬結(jié)果，圖5(b)為Shao 等[6]的水淬實驗結(jié)果，圖5(c)為本文考慮溫度相關(guān)性臨界能量釋放率的模擬結(jié)果.從結(jié)果中可知，有無考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)均能模擬出水淬實驗中長短相間分布的平行裂紋（以長度超過紅線的裂紋為長裂紋[6]），且長裂紋在擴展長度和間距上均與實驗結(jié)果吻合較好.圖5(a)中不考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果中在邊界出現(xiàn)了Shao 等的實驗結(jié)果中未見報道的密集短裂紋，致使其模擬出的邊界處裂紋密度遠高于實驗結(jié)果.事實上裂紋的萌生與擴展需要一定的能量，當某個位置萌生了裂紋時，由于裂紋萌生和擴展使裂紋附近一定區(qū)域內(nèi)能量得到消耗，故在已萌生裂紋臨近的一定區(qū)域內(nèi)不再有足夠的能量使新裂紋萌生.本文通過考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性，模擬出的裂紋密度與試驗取得了更好的一致性，說明考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得更好.

圖5 水淬實驗結(jié)果與有無考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)模擬結(jié)果的對比：(a) Chu 等[13]的模擬結(jié)果；(b)實驗結(jié)果[6]；(c) 本文模擬結(jié)果Fig. 5 Comparison between water quenching experimental results and simulation results with or without temperature-dependent damage criteria:(a) simulation results of Chu et al [13]; (b) the experimental results [6]; (c) simulation results of this paper

2.2 圓盤試樣中心輻射加熱熱沖擊

本文考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性，對Honda 等[7-8]開展的紅外輻射加熱氧化鋁陶瓷圓盤實驗進行了有限元模擬，分析了熱流密度和加熱半徑對裂紋擴展路徑的影響，并與Chu 等[13]未考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果進行比較.表2 給出了試樣溫度相關(guān)性材料參數(shù)，根據(jù)前文所做收斂性分析選取自由三角形網(wǎng)格尺寸為0.025 mm，有限元幾何模型如圖6 所示，a表示輻射加熱區(qū)域的加熱半徑， γ表示輻射加熱的熱流密度，外界環(huán)境溫度為室溫293.15 K，非加熱區(qū)域采用對流換熱.

表2 圓盤試樣的溫度相關(guān)性材料參數(shù)[7-8]Table 2 Temperature-dependent material parameters of disk samples[7-8]

圖6 圓盤熱沖擊問題的幾何模型和熱邊界條件（紅色區(qū)域表示外加熱流）Fig. 6 The geometric model and thermal boundary conditions for thermal shock problems of disks (the red area represents applied heat flow)

圖7 給出了輻射加熱實驗結(jié)果和相場模擬結(jié)果的對比，圖7(a1)、7(b1)、7(c1)為輻射加熱的實驗結(jié)果[7-8]，圖7(a2)、7(b2)、7(c2)為Chu 等[13]不考慮溫度相關(guān)臨界能量釋放率的有限元模擬結(jié)果，圖7(a3)、7(b3)、7(c3)為本文考慮臨界能量釋放率溫度相關(guān)性的有限元模擬結(jié)果.有限元模擬的加熱區(qū)域半徑均為7.5 mm，熱流密度 γ =2.5×105kW/m3和 γ=7.5×105kW/m3時，有無考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果均與實驗結(jié)果取得較好的一致性.當有限元模擬的加熱區(qū)域半徑為5 mm，圓盤中心熱流密度γ =7.5×105kW/m3時，不考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果中裂紋的分叉位置發(fā)生在加熱區(qū)域內(nèi)部，如圖7(c2)所示，考慮損傷判據(jù)的溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果（圖7(c3)）中雖然也會在中心形成分叉裂紋，但是主裂紋的分叉位置與實驗結(jié)果均發(fā)生在加熱區(qū)域外部.由于實驗中沒給出加熱區(qū)域的熱流密度，為了對比不同熱流密度對較小加熱區(qū)域圓盤熱沖擊裂紋模擬結(jié)果的影響，開展了加熱區(qū)域半徑為5 mm、熱流密度γ =1×106kW/m3的有限元模擬，模擬結(jié)果如圖8 所示.

圖7 圓盤輻射加熱實驗結(jié)果和模擬結(jié)果Fig. 7 Experimental results of radiation heating and simulation results of the phase field method

圖8 給出了加熱區(qū)域半徑為5 mm 圓盤輻射加熱實驗結(jié)果與模擬結(jié)果的對比.圖8(a)為實驗結(jié)果；圖8(b)為熱流密度 γ =1×106kW/m3，考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果，很好地模擬出了實驗結(jié)果的裂紋形貌，且裂紋分叉位置均出現(xiàn)在加熱區(qū)域外部；圖8(c)為同樣加熱條件下不考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果，此時主裂紋的分叉位置出現(xiàn)在加熱區(qū)域內(nèi)部.

圖8 圓盤輻射加熱實驗結(jié)果和模擬結(jié)果： (a)實驗結(jié)果；(b) 考慮溫度相關(guān)性臨界能量釋放率Gc(T)的模擬結(jié)果；(c) 不考慮溫度相關(guān)性臨界能量釋放率Gc 的模擬結(jié)果Fig. 8 Experimental and simulation results of disk radiation heating: (a) the experimental results; (b) the simulation results with temperature-dependent critical energy release rate Gc(T); (c) the simulation results without temperature-dependent critical energy release rate Gc

圖9 為加熱區(qū)域半徑5 mm，考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性不同熱流密度下的裂紋和裂紋尖端溫度隨時間的演化.由圖9(a)可知當裂紋開始擴展時（t=0.001 993 s），裂紋尖端溫度為293.84 K，當裂紋擴展到加熱區(qū)域內(nèi)部時（t=0.002 01 s），加熱區(qū)域內(nèi)部的裂紋尖端溫度達到439.95 K；而圖9(b)中裂紋在加熱區(qū)域內(nèi)部分叉時（t=0.015 943 s），裂紋尖端溫度為450.31 K，裂紋擴展過程中裂紋尖端經(jīng)歷了寬溫域的熱環(huán)境，充分說明了考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的必要性.

圖9 不同熱流密度下的裂紋和裂紋尖端溫度隨時間的演化：(a) γ =7.5×105 kW/m3 ；(b)γ=1×106 kW/m3Fig. 9 Evolution of crack and crack tip temperatures with time under different heat fluxes: (a) γ =7.5×105 kW/m3 ; (b)γ=1×106 kW/m3

3 結(jié) 論

本文在現(xiàn)有熱力學相場模型的基礎(chǔ)上通過引入溫度相關(guān)性損傷判據(jù)，修正了相場模型的控制方程.分別對氧化鋁薄板水淬實驗和圓盤輻射加熱實驗進行了相應(yīng)的數(shù)值模擬，并與實驗結(jié)果及不考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果進行了對比.發(fā)現(xiàn)考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果很好地再現(xiàn)了水淬實驗中多裂紋擴展以及長短相間分布的平行裂紋，且未出現(xiàn)不考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性模擬結(jié)果中試件邊緣密集短裂紋.當加熱區(qū)域為5 mm 時，考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性很好地模擬出了圓盤輻射加熱實驗結(jié)果的裂紋形貌，且主裂紋的分叉位置與實驗結(jié)果裂紋分叉位置均出現(xiàn)在加熱區(qū)域外部，而不考慮損傷判據(jù)溫度相關(guān)性的模擬結(jié)果中主裂紋分叉位置發(fā)生在加熱區(qū)域內(nèi)部.模擬結(jié)果表明，模擬中考慮溫度相關(guān)性損傷判據(jù)，實現(xiàn)了對寬溫域下熱沖擊裂紋的萌生和擴展過程更合理的模擬，為研究材料在復雜熱沖擊環(huán)境下的失效機理提供了一種有效手段.

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