eLoran噪聲誤差模型及產(chǎn)生方法研究

肖再輝，閆溫合，劉開琦，李實鋒，鄒云

(1.中國科學(xué)院國家授時中心,西安 710600；2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100039)

0 引 言

隨著全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)信號脆弱性問題的日益暴露，需要尋找其可靠的補充和備份，同時增強國家定位、導(dǎo)航和授時(PNT)服務(wù)保障的抗攻擊與抗干擾的能力[1]，增強羅蘭(eLoran)系統(tǒng)是由羅蘭C (Loran-C)演變而來，可作為GNSS 補充和備份，降低用戶單一依賴GNSS 帶來的風(fēng)險.美國、英國、俄羅斯、荷蘭和韓國等國家持續(xù)建設(shè)和完善自己的系統(tǒng)，我國目前已經(jīng)建設(shè)并運行的有BPL 長波授時系統(tǒng)和長河二號導(dǎo)航系統(tǒng)，同時“十三五”時期也在進行高精度地基授時系統(tǒng)的建設(shè)，因此eLoran 應(yīng)用也會大力發(fā)展[2-4].

eLoran 信號模擬技術(shù)是測量標(biāo)定中主要技術(shù)，根據(jù)國標(biāo)船用Loran-C 接收設(shè)備通用技術(shù)條件，其中規(guī)定羅蘭(Loran)終端抗噪聲性能采用高斯白噪聲作為噪聲源對eLoran 應(yīng)用終端進行測試標(biāo)定[5]，但目前的模擬技術(shù)只是按照信號發(fā)播格式產(chǎn)生實時eLoran信號，eLoran 接收終端通過測量到達時間(TOA)進行定時與定位，TOA 的測量精度直接影響定時與定位結(jié)果，而噪聲下的eLoran 接收機性能和信噪比(SNR)測量能力無法定標(biāo)[6].信號傳播過程中有效消除或減輕噪聲干擾對系統(tǒng)的影響，可以提高接收機的工作性能與工作范圍，是實現(xiàn)精確定時與定位的重要保障.因此研究eLoran 信號TOA 測量誤差模型和噪聲特征與產(chǎn)生方法，滿足抗噪性能測試需要，可促進應(yīng)用終端發(fā)展.

目前噪聲是eLoran 信號中固有且無法避免的一種干擾，影響終端的定時和解調(diào)性能，本文首先采用最大似然估計(MLE)方法推導(dǎo)了高斯白噪聲(WGN)下的TOA 誤差模型，其次介紹了WGN 方法，最后對研究中提出的TOA 測量誤差模型與產(chǎn)生噪聲的正確性進行仿真與分析，實驗結(jié)果可為實現(xiàn)eLoran 系統(tǒng)噪聲模擬源與誤差分析提供一定的理論參考.

1 eLoran 信號

eLoran 通過100 kHz 載頻進行相位幅度調(diào)制脈沖信號，其工作頻段為90～110 kHz，標(biāo)準(zhǔn)Loran 脈沖信號波形

式中：i(t)為發(fā)射天線底部標(biāo)準(zhǔn)電流；A為與峰值電流有關(guān)的常數(shù)；t為時間，單位μs；τ 為信號包周差，單位μs；ω0為載波頻率，取0.2π rad/μs；Pc為相位編碼，取0 或π.

理想情況下，A=1，Pc=0，τ=0，式(1)化簡為

eLoran 單脈沖信號波形及其包絡(luò)圖如圖1所示.

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Loran 脈沖信號波形圖

SNR 定義為信號電平與噪聲電平之比，其中信號電平采用與30 μs 處信號包絡(luò)電壓峰峰值相等的連續(xù)波的有效值.

2 噪聲對TOA 測量影響

TOA 測量是eLoran 信號實現(xiàn)定時和定位的基礎(chǔ)，其是通過測量eLoran 信號第三周過零點實現(xiàn)的，而空間中噪聲對導(dǎo)致TOA 測量產(chǎn)生誤差，本節(jié)采用MLE 方法對WGN 下的TOA 測量誤差進行推導(dǎo).

在信號參量估計中，MLE 是最佳檢測系統(tǒng)，對隨機變量與非隨機變量的未知參數(shù)估計均適用，在信號參數(shù)估計中是常用的方法[7].

假設(shè)信道中的信號沒有時延只有高斯噪聲惡化信號性能，接收信號可以表示為

式中：s(t;θ) 為eLoran 信號；n(t)為WGN.

加性高斯白噪聲n(t)是零均值且方差為σ2的高斯隨機變量，聯(lián)合概率密度函數(shù)(PDF)

式中：

其中，T0為在r(t)與s(t;θ) 展開式中的積分區(qū)間.兩式化簡，并將rn、sn(θ) 用r(t)與s(t;θ) 表示

p(r|θ)關(guān)于信號參數(shù)θ 的最大化等價于似然函數(shù)的最大化可表示為

2.1 最大似然載波相位估計

對式(6)進行展開并化簡得

指數(shù)中第一項不包含信號參數(shù)；第三項是常數(shù)等于觀測時間間隔T0內(nèi)對任何 θ 值的信號能量；只有第二項與 θ 值有關(guān)且接收的r(t)與s(t;θ) 互相關(guān)，似然函數(shù)可以表示為

式中，C為常數(shù).MLE 估計值就是上式Λ(θ)取得最大值的θ，等價為使對數(shù)取得最大值

ΛL(θ)要取得最大值即

波與r(t)互相關(guān)的實現(xiàn)方式，相關(guān)器的輸出比值反正切為，圖2為相位檢測原理框圖.

圖2 eLoran 信號相位MLE

2.2 加噪eLoran 信號TOA 測量誤差

eLoran 信號用s(t;θ) 表示，

假設(shè)只有WGN 對eLoran 信號進行影響，則接收到的信號r(t)可以表示為

因eLoran 接收系統(tǒng)跟蹤標(biāo)準(zhǔn)過零點相位 θ (0 或 π)為已知非隨機量，因此可以等同為頻率為100 kHz、幅度為M(t30) 且未攜帶任何信息的連續(xù)相位檢測[8]，結(jié)合最佳相位檢測，將接收信號r(t) 帶入式(10)中可得估計值

式中，nI、nQ是具有與n(t)相同統(tǒng)計特性的同相支路和正交支路噪聲，均值、方差關(guān)系為

在較高的SNR 滿足M(t30)?nI條件下，式(13)可化簡為

式中，σ2為WGN 的方差.eLroan 信號SNR 定義為

式中，Ps、Pn分別表示eLoran 信號與噪聲的有效功率.由式(17)～(18)可得估計值，再經(jīng)過相位到時間的換算，得到噪聲條件下的TOA 測量誤差

式中，T為eLoran 信號載波周期，大小為10 μs.TOA測量誤差與SNR 大小有關(guān)，對不同SNR 條件下的測量誤差進行計算，結(jié)果如圖3所示.

圖3 SNR 與TOA 測量誤差關(guān)系

從上圖中可以看出噪聲對TOA 測量誤差影響主要在以下方面：噪聲影響TOA 測量誤差的穩(wěn)定度；TOA 測量誤差與SNR 成反比，隨著SNR 增大測量誤差減??；對于SNR 較高條件下誤差較小，SNR 小于0 dB 時，TOA 測量誤差大于1 μs.

3 WGN 的生成

3.1 理論原理

白噪聲(WN)定義為無限帶寬的頻率范圍內(nèi)功率分布均勻，是一種理想化噪聲模型，其中服從正態(tài)分布或高斯分布的WN 又稱高斯白噪聲.

隨機變量x服從正態(tài)分布(或高斯分布)，則其概率密度函數(shù)(PDF)可以表示為

式中：μ為隨機變量的均值(或期望)；σ2表示方差.當(dāng)μ=0，σ2=1 時，隨機變量x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

對于WGN 其幅度統(tǒng)計特性服從高斯分布，“白”表示頻域內(nèi)功率為常數(shù).WGN 設(shè)為n(t)，則其雙邊功率譜為常數(shù)N/2，公式表示為

功率譜函數(shù)進行傅里葉反變換可得自相關(guān)函數(shù)公式表示為

高斯分布與其他連續(xù)分布的隨機序列一般可以由服從均勻分布U(0,1)隨機序列經(jīng)過相應(yīng)變換取得，接下來將從U(0,1)隨機數(shù)產(chǎn)生方法與轉(zhuǎn)換為高斯隨機數(shù)方法進行論述，圖4為原理框圖.

圖4 高斯白噪聲生成原理框圖

3.2 均勻隨機數(shù)

要得到具有良好獨立同分布性能的U(0,1)并不簡單，目前生成均勻隨機數(shù)常有的方法有線性同余法(linear congruential method)、移位寄存器法(shift register)、進位加等方法.本文采用線性同余法來產(chǎn)生均勻隨機數(shù).該方法具有速度快、節(jié)約資源與生成序列好等特點[9].

3.2.1 線性同余法

目前廣泛應(yīng)用的均勻隨機數(shù)發(fā)生器是線性同余發(fā)生器(LCGs)[10-11].非負(fù)隨機序列由遞推公式取得，遞推公式為

式中：a為乘數(shù)(0＜a＜m)；c為增量(0≤c＜m)；m為模數(shù)(m＞0)；Z0為初始值或種子(0≤Z0＜m).流程圖如圖5所示

圖5 線性同余法流程圖

設(shè)置初始值Z0可以遞推出m-1 個數(shù)的隨機數(shù)列，將這些數(shù)對m進行歸一化，可以得到期望的U(0,1).序列的均勻性是肯定的，但序列的自相關(guān)性與初值的選取有關(guān)，序列由遞推公式得到，序列會呈現(xiàn)出一定的周期性，所以又稱為偽隨機序列.當(dāng)選擇初值合適能產(chǎn)生周期足夠長的隨機序列，可以滿足實際需求.

3.3 高斯隨機數(shù)

由隨機信號理論可知，U(0,1)服從均勻分布隨機數(shù)經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)換為服從高斯分布隨機數(shù)[12]，其中Box-Muller 是工程中常用方法[13-14].

式中：x1、x2為互相獨立且符合(0,1)之間的均勻分布隨機數(shù)；n為高斯隨機數(shù).

由線性同余法產(chǎn)生的均勻隨機數(shù)x1、x2的隨機性保證了噪聲頻譜“白”的特性，Box-Muller 變換對方法保證n的高斯分布的統(tǒng)計特性.

3.4 WGN 譜分析

對生成的WGN 進行驗證與分析，由隨機信號理論基礎(chǔ)得，N點隨機序列得自相關(guān)函數(shù)Rn(m)可表示為

對上式進行離散傅里葉變換(DFT)得到自相關(guān)函數(shù)得功率譜密度函數(shù)Sn(f)公式表示為

理論分析得出，WGN 的自相關(guān)函數(shù)在x=0 處近似沖激函數(shù)，其他數(shù)值處近似為0；其功率譜函數(shù)的數(shù)值大致均勻.

運用MATLAB 軟件采取蒙特卡羅法對理論方法進行模擬與分析，實驗結(jié)果如圖6所示，圖6(a)是WGN 的時域分析；圖6(b)是WGN 的統(tǒng)計分析，符合高斯概率密度函數(shù)統(tǒng)計特性；圖6(c)是WGN 的自相關(guān)函數(shù)，0 處為沖激函數(shù)，其他值處近于0；圖6(d)是功率譜估計，該譜幾乎均勻分布，符合WGN 功率譜的分布特性.綜上所述，生成的WGN 符合理論分析且易于實現(xiàn)，可以用于仿真分析和工程實現(xiàn).

圖6 WGN 統(tǒng)計分析

4 仿真分析

通過MATLAB 軟件采用蒙特卡洛法進行仿真分析，在eLoran 信號中添加WN，信號發(fā)射功率不變的條件下，通過改變噪聲的功率來將SNR 變化區(qū)間設(shè)置為0＜ESNR≤25，仿真框圖如圖7所示.

圖7 系統(tǒng)仿真框圖

設(shè)置需到得到SNR 的值，求出噪聲系數(shù)ɑ，得到接收信號r(t)：

隨機信號的平均功率等于交流功率與支流功率的總量，WGN 沒有直流分量，其平均功率等于方差σ2.

圖8為添加WGN 產(chǎn)生不同SNR 的eLoran 信號，圖8(a)、(b)分別為SNR 1 dB、25 dB 的eLoran 信號.

圖8 不同SNR eLoran 信號波形圖

對上述添加不同功率噪聲的eLoran 信號按圖2的相位估計方法進行相位檢測，檢測不同SNR 的信號的相位誤差，結(jié)果如圖9(a)所示.通過多次測量鑒相結(jié)果計算得TOA 測量誤差，結(jié)果如圖9(b)所示.

圖9 載波相位估計與TOA 測量誤差

通過仿真分析將理論值與實際值進行比較分析如圖10所示，經(jīng)過計算得出理論值與實際值的差值如圖11所示.

圖10 載波相位估計理論值與實際值

圖11 TOA 測量誤差理論值與實際值差值

仿真結(jié)果表明，仿真分析SNR 小于0 dB 時，TOA誤差大于1 μs；TOA 測量誤差模型是在極高SNR 條件下推出，SNR 小于等于10 dB 時，因此實際仿真值與理論值差值與高SNR 條件下差值有轉(zhuǎn)折點；SNR大于10 dB 時，仿真值與理論值差值均勻分布在0 兩側(cè)，且差值小于15 ns.通過實驗結(jié)果分析可得本文提到的方法適用于WGN 的生成，且能與TOA 測量誤差模型相結(jié)合進行誤差分析并能取得較好地效果.

5 結(jié)束語

我國的eLoran 系統(tǒng)發(fā)展日趨完善，但eLoran 信號噪聲模擬技術(shù)及噪聲影響分析不夠完善.本文通過理論推導(dǎo)和仿真驗證，研究了WGN 下eLoran 信號TOA 測量誤差模型，給出了WGN 的產(chǎn)生方法，分析了該方法下生成噪聲的時、頻域特點，通過仿真驗證了TOA 測量模型和噪聲產(chǎn)生方法，結(jié)果表明本文推導(dǎo)的TOA 測量誤差理論模型與WGN 下的測量誤差吻合，驗證了本文研究成果的可行性，因此本文研究成果對eLoran 應(yīng)用發(fā)展具有較高的理論參考和實踐應(yīng)用價值，在后期通過工程實現(xiàn)可滿足WGN 下eLoran 終端測量的需求.