長(zhǎng)度量感的表現(xiàn)維度與進(jìn)階路徑
——兼評(píng)《毫米和分米的認(rèn)識(shí)》同課異構(gòu)

文|宋煜陽(yáng)（特級(jí)教師）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，量感是小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)的關(guān)鍵詞之一?；趦?nèi)涵理解，量感主要表現(xiàn)為三個(gè)維度：維度一，對(duì)事物的可測(cè)量屬性以及大小關(guān)系的直觀感知。維度二，對(duì)度量意義的理解。度量意義的理解，主要反映在“能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性”“會(huì)對(duì)真實(shí)的情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量”“會(huì)在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算”三方面。維度三，真實(shí)情境下的測(cè)量估計(jì)。在度量單位教學(xué)中，無(wú)論是量感的形成、豐富與發(fā)展等學(xué)習(xí)要求刻畫(huà)還是學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑預(yù)設(shè)，都需要以量感的三個(gè)表現(xiàn)維度作為重要依據(jù)。

具體到“毫米和分米”長(zhǎng)度的量感，主要反映為下述學(xué)習(xí)行為和表現(xiàn)水平：

1.知道“毫米”“分米”是用于刻畫(huà)測(cè)量對(duì)象長(zhǎng)度屬性的度量單位，毫米是比厘米更為精細(xì)的長(zhǎng)度單位，毫米的產(chǎn)生是為了滿足實(shí)際測(cè)量精確程度的需求。

2.借助工具尺和常見(jiàn)參照物形成1 毫米、1 分米兩個(gè)新長(zhǎng)度單位表象，能用肢體比劃1 毫米、1 分米的距離感，能對(duì)近似1 毫米、1 分米的身邊物體長(zhǎng)度（寬度或厚度）屬性進(jìn)行正確識(shí)辨或舉例說(shuō)明。

3.知道1 米、1 分米、1 厘米、1毫米等長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率，能在具體情境中對(duì)這些長(zhǎng)度單位進(jìn)行單位換算，能對(duì)同一個(gè)測(cè)量對(duì)象運(yùn)用不同長(zhǎng)度單位進(jìn)行描述。

4.掌握度量方法，能借助工具尺正確讀取幾毫米、幾分米，能對(duì)近似幾毫米、幾分米的身邊物體的長(zhǎng)度（寬度或厚度）屬性進(jìn)行估計(jì)。

5.能在真實(shí)情境中進(jìn)行測(cè)量估計(jì)，選擇合適的長(zhǎng)度單位進(jìn)行度量或進(jìn)行推斷。

在度量單位的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程中，度量單位主要包括自選單位、標(biāo)準(zhǔn)單位和擴(kuò)充單位三類。具體到長(zhǎng)度單位體系中，毫米、分米隸屬于擴(kuò)充單位，即在米和厘米標(biāo)準(zhǔn)單位基礎(chǔ)上衍生而來(lái)。為此，毫米和分米兩個(gè)新長(zhǎng)度單位的學(xué)習(xí)，需要納入整個(gè)長(zhǎng)度單位體系，建立新舊長(zhǎng)度單位之間的聯(lián)系并完成相關(guān)長(zhǎng)度單位體系的梳理。相應(yīng)地，毫米和分米量感的形成，需要在具體情境中經(jīng)歷舊知經(jīng)驗(yàn)激活、新情境遷移、學(xué)習(xí)方法進(jìn)階的過(guò)程。兩篇《毫米和分米的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)（以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)一和設(shè)計(jì)二）都能較好融入具體情境，抓住“毫米”“分米”量感的表現(xiàn)維度，構(gòu)建適度的進(jìn)階路徑，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)度單位的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，豐富和發(fā)展長(zhǎng)度單位的量感。

進(jìn)階路徑一：在測(cè)量情境中體驗(yàn)長(zhǎng)度單位擴(kuò)充的需求，讓“毫米”“分米”從長(zhǎng)度單位體系中長(zhǎng)出來(lái)。

從學(xué)情來(lái)看，學(xué)生對(duì)毫米并不陌生，在工具尺上對(duì)毫米刻度線也有關(guān)注。但這些認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)都是零散的，并未進(jìn)入單位系統(tǒng)的視角。比如，為什么有了厘米還需要毫米？毫米是怎么產(chǎn)生的？如何以毫米為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)？這些問(wèn)題指向了度量對(duì)象、度量單位和度量值三個(gè)核心元素。其中，毫米作為新的長(zhǎng)度擴(kuò)充單位，需要學(xué)生在測(cè)量情境中經(jīng)歷“更小長(zhǎng)度單位產(chǎn)生的過(guò)程”。

在設(shè)計(jì)二中，提供了厘米尺讀取毛毛蟲(chóng)長(zhǎng)度的活動(dòng)。當(dāng)?shù)贸觥? 厘米多、3 厘米不到”的度量結(jié)果時(shí)，引發(fā)學(xué)生討論“要想知道這條毛毛蟲(chóng)準(zhǔn)確的長(zhǎng)度，有什么好辦法”，這就把度量活動(dòng)聚焦到了“更為精確的度量結(jié)果需要更為精細(xì)的度量單位進(jìn)行計(jì)數(shù)”這一本質(zhì)問(wèn)題上來(lái)。當(dāng)測(cè)量對(duì)象為短小物體時(shí)，原有長(zhǎng)度單位“太大”，需要“更小的長(zhǎng)度單位”，學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)還是容易建立這個(gè)觀念的。為了防止學(xué)生陷入“毫米的產(chǎn)生就是為了度量短小的物體長(zhǎng)度”這一思維定勢(shì)，設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)二不約而同都補(bǔ)充了汽車長(zhǎng)寬高數(shù)據(jù)，圍繞“像汽車這么大的物體為什么也用毫米作單位”展開(kāi)討論，對(duì)毫米作為長(zhǎng)度擴(kuò)充單位進(jìn)行了全面溯源：測(cè)量比較短小的物體長(zhǎng)度或者要求測(cè)量比較精確時(shí)，可以用毫米作單位。這些活動(dòng)雖然花時(shí)不多卻很有必要，能有效幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到“毫米是用于刻畫(huà)測(cè)量對(duì)象長(zhǎng)度屬性的度量單位”“毫米是比厘米更為精細(xì)的長(zhǎng)度單位”“毫米的產(chǎn)生是為了滿足實(shí)際測(cè)量精確程度的需求”，這一系列認(rèn)知既是進(jìn)入單位系統(tǒng)視角的重要標(biāo)志，也是毫米量感表現(xiàn)維度的重要內(nèi)容。

如果把長(zhǎng)度單位擴(kuò)充方式看作縮放的過(guò)程，1 毫米是從1 厘米均分10 份、縮小至它的得到的；1 分米則是通過(guò)1 厘米的疊加、放大至它的10 份得到等價(jià)的10 厘米。由于10 厘米作為重要的參照標(biāo)準(zhǔn)，曾在“認(rèn)識(shí)厘米”學(xué)習(xí)中積累了一定的表象經(jīng)驗(yàn)，所以分米作為長(zhǎng)度單位的擴(kuò)充可以簡(jiǎn)略、明快一些。兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)都是通過(guò)“10 個(gè)1 厘米”疊加得出1 分米，并放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)分米的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而在“2 個(gè)5 分米疊加”“2 分米、3 分米、5 分米直條拼接”活動(dòng)中，衍生出“10 個(gè)1 分米是1 米”，梳理完成毫米、厘米、分米、米等長(zhǎng)度單位體系之間的十進(jìn)關(guān)系。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步直觀理解長(zhǎng)度單位之間的結(jié)構(gòu)性聯(lián)系，兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)都把“相鄰單位進(jìn)率10”與“計(jì)數(shù)單位滿十進(jìn)一”巧妙聯(lián)系起來(lái)，設(shè)計(jì)一還采用數(shù)位順序表的形式展現(xiàn)已學(xué)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率，促進(jìn)知識(shí)遷移。兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)，比較重視毫米、分米的單位擴(kuò)充活動(dòng)設(shè)計(jì)，有效幫助學(xué)生在測(cè)量情境中體驗(yàn)新單位從單位體系中生長(zhǎng)的過(guò)程。

進(jìn)階路徑二：在具身體驗(yàn)中形成“1 毫米”“1 分米”的表象，讓長(zhǎng)度量感從“1”向“幾”擴(kuò)展開(kāi)來(lái)。

1 毫米單位表象的形成，主要反映為定性識(shí)辨和定量刻畫(huà)兩方面。定性識(shí)辨主要行為表現(xiàn)是能辨認(rèn)或列舉周圍物體長(zhǎng)度、寬度或厚度近似1 毫米的參照物，如單層物體厚度的1 分硬幣，也如5張厚度為1 毫米的電話卡等多層物體厚度。定量刻畫(huà)主要行為表現(xiàn)是能借助工具尺正確讀取、量畫(huà)1 毫米線段，能用肢體比劃出1毫米的距離。不管是定性識(shí)辨還是定量刻畫(huà)都離不開(kāi)深入、豐富的具身體驗(yàn)活動(dòng)。

兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)在“認(rèn)識(shí)1 毫米”環(huán)節(jié)中，通過(guò)畫(huà)1 毫米、找1毫米和比劃1 毫米，將定性識(shí)辨和定量刻畫(huà)巧妙結(jié)合起來(lái)。畫(huà)1毫米活動(dòng)，達(dá)成了量感的三個(gè)表現(xiàn)維度目標(biāo)：一是借助尺子畫(huà)1毫米的線段，把1 毫米是一段距離這一本質(zhì)屬性進(jìn)行了反映；二是借助尺子在1 厘米中可以找到10 個(gè)1 毫米，落實(shí)1 厘米=10 毫米的進(jìn)率；三是借助尺子找出其他1 毫米并自由畫(huà)，把1 毫米作為獨(dú)立長(zhǎng)度單位進(jìn)行計(jì)數(shù)。在找1毫米活動(dòng)里，教師精心選取了單層、多層物體厚度為1 毫米的參照物，提供了1 分硬幣、直徑是1cm 厚1mm 的鈕扣、5 張厚度正好1mm 的學(xué)生電話卡等物品。在參照物尋找、證實(shí)的過(guò)程中，既是度量活動(dòng)，也是單位表象強(qiáng)化的過(guò)程。比劃1 毫米的活動(dòng)，是學(xué)生1 毫米表象校準(zhǔn)和穩(wěn)固的過(guò)程，通過(guò)肢體比劃想象、參照物比對(duì)調(diào)整，幫助學(xué)生脫離實(shí)物形成量感。

正如前文所述，由于1 分米與10 厘米等價(jià)以及先前具有10厘米疊加的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，兩節(jié)課在1分米單位表象建立的活動(dòng)上花時(shí)不多，相反10 分米疊加為1 米的活動(dòng)更為充分一些?；顒?dòng)意圖一是強(qiáng)化以分米為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)的度量本質(zhì)，二是繼續(xù)鞏固1 米的表象。值得肯定的是，在形成10分米=1 米的疊加過(guò)程里，始終提供2 分米、3 分米、5 分米的紙條等直觀材料予以估計(jì)想象、拼接感知和米尺驗(yàn)證，將“滿十進(jìn)一”和單位長(zhǎng)度的表象有機(jī)整合，長(zhǎng)度單位量感的多個(gè)維度得以融合與發(fā)展。

從1 毫米到幾毫米、從1 分米到幾分米，簡(jiǎn)稱從“1 到幾”，這個(gè)過(guò)程是新度量單位進(jìn)行計(jì)數(shù)和等價(jià)單位轉(zhuǎn)換的核心，也是長(zhǎng)度單位量感形成的關(guān)鍵。在感知幾毫米活動(dòng)中，兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)有一個(gè)共性特點(diǎn)——重視5 毫米作為擴(kuò)充單位的應(yīng)用。設(shè)計(jì)一是通過(guò)畫(huà)7 毫米長(zhǎng)的線段，感知5 毫米作為擴(kuò)充單位的應(yīng)用價(jià)值；設(shè)計(jì)二專門安排了5 毫米的疊加，體現(xiàn)了1 毫米單位計(jì)數(shù)的過(guò)程，并通過(guò)想一想、記一記、畫(huà)一畫(huà)等活動(dòng)強(qiáng)化5 毫米作為擴(kuò)充單位的表象。在等價(jià)單位轉(zhuǎn)換中，設(shè)計(jì)一更為充分、細(xì)膩，先后通過(guò)“原先3毫米處接著畫(huà)7 毫米得到10 毫米”“電話卡從一張一張累加到10張，再?gòu)?0 張10 張累加到100張”等活動(dòng)，得出“10 毫米=1 厘米”“100 毫米=10 厘米=1 分米”等長(zhǎng)度單位等價(jià)關(guān)系。從1 分米到幾分米，主要通過(guò)學(xué)習(xí)方法的遷移、估計(jì)驗(yàn)證等更為自主開(kāi)放的方式展開(kāi)學(xué)習(xí)。“從1 到幾”的活動(dòng)體驗(yàn)，一方面幫助學(xué)生穩(wěn)固1毫米、1 分米的單位長(zhǎng)度表象，另一方面幫助學(xué)生把長(zhǎng)度單位的量感從“1”向“幾”擴(kuò)展開(kāi)來(lái)。

進(jìn)階路徑三：在估測(cè)活動(dòng)中積累選擇合適長(zhǎng)度單位的經(jīng)驗(yàn)，讓估計(jì)策略在實(shí)際情境中得到遷移。

前文就“毫米和分米”量感學(xué)習(xí)行為和表現(xiàn)水平具體化做了簡(jiǎn)析，其中“能在真實(shí)情境中進(jìn)行測(cè)量估計(jì)，選擇合適的長(zhǎng)度單位進(jìn)行度量或進(jìn)行推斷”應(yīng)該成為量感的高級(jí)表現(xiàn)形式。那么如何設(shè)計(jì)估測(cè)活動(dòng)并使其增值？?jī)善虒W(xué)設(shè)計(jì)都精心安排了新長(zhǎng)度單位的參照物估測(cè)、利用參照物選擇合適單位等活動(dòng)，體現(xiàn)了估測(cè)活動(dòng)的豐富性和層次性。

在1 毫米、1 分米兩個(gè)新長(zhǎng)度單位教學(xué)中，始終把單位標(biāo)準(zhǔn)的參照物選擇、估測(cè)和驗(yàn)證交織融合，在形式上有先量后估、先估后量，在材料上有單層厚度的卡片、多層疊加的A4 紙，在手段上有肢體比劃、紙上估畫(huà)線段、找身邊周圍的物體等，活動(dòng)豐富且目標(biāo)指向明確。需要指出的是，新長(zhǎng)度單位參照物的估測(cè)活動(dòng)，既是長(zhǎng)度單位表象建立的過(guò)程，又是長(zhǎng)度單位計(jì)數(shù)的過(guò)程，同時(shí)也是估計(jì)策略多元化的過(guò)程。比如，以下的教學(xué)活動(dòng)顯得非常典型且富有意義：依次出示2 分米、3 分米、5 分米的紙條讓學(xué)生估計(jì)，說(shuō)理由，說(shuō)清以什么為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估計(jì)，教師相機(jī)小結(jié)估計(jì)方法。最后把三張紙條連在一起，提問(wèn)“現(xiàn)在有多長(zhǎng)了”，引出1 米=10 分米，用米尺驗(yàn)證。在這個(gè)片斷里，不論是2 分米、3 分米、5 分米單張紙條長(zhǎng)度的估計(jì)，還是三張直條合拼后長(zhǎng)度的估計(jì)，都可以采用1 分米疊加計(jì)數(shù)的策略來(lái)估計(jì)。當(dāng)然也可以借助1 米（10 分米）的折半、均分來(lái)估計(jì)，初步形成縮、放的兩種估計(jì)策略。

利用參照物選擇合適單位的活動(dòng)設(shè)計(jì)，主要分為兩個(gè)層次：第一層次是給定參照物進(jìn)行計(jì)數(shù)推斷，如“把200 個(gè)紐扣豎著疊在一起大約有多高”“把200 個(gè)紐扣橫著排成一排大約有多長(zhǎng)”的練習(xí)，主要調(diào)用“一粒紐扣厚度約1 毫米、寬度約1 厘米”的量感經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)數(shù)、單位轉(zhuǎn)化和結(jié)果推斷。第二層次是學(xué)生自己選用參照物進(jìn)行推斷，如“教室很臟，我要去找一塊（ ）寬的抹布來(lái)打掃。選項(xiàng)：3厘米 3 分米 3 米”“教室后面的墻上要掛一個(gè)鐘，我要找一根（ ）長(zhǎng)的釘子。選項(xiàng)：4 毫米 4 厘米 4分米”“教室里有一些散亂的書(shū)，我要找一條（ ）長(zhǎng)的繩子把它們捆成一疊。選項(xiàng)：2 厘米 2 分米 2米”。這些活動(dòng)來(lái)自學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，在選擇合適單位時(shí)存有“估計(jì)實(shí)物長(zhǎng)度來(lái)選擇最接近的單位”“根據(jù)不同單位的結(jié)果來(lái)比對(duì)實(shí)物進(jìn)行排除”等多種策略。

估測(cè)活動(dòng)中，除了積極調(diào)用長(zhǎng)度單位參照物進(jìn)行計(jì)數(shù)外，還需要善于總結(jié)、歸納估計(jì)策略，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在真實(shí)情境中選擇合適度量單位，促進(jìn)長(zhǎng)度量感的水平進(jìn)階。