含自重載荷的功能梯度材料結(jié)構(gòu)時(shí)域動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

文桂林 陳高錫 王洪鑫 薛 亮 魏 鵬 劉 杰，

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

2.廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州，510006

3.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙，410082

4.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州，510641

0 引言

具有良好力學(xué)性能的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)近年來(lái)得到學(xué)術(shù)界和工程界越來(lái)越多的關(guān)注[1-3]，其中，功能梯度材料(functionally gradient materials，F(xiàn)GM)的力學(xué)性能可沿著一個(gè)或多個(gè)方向逐漸變化，具有相對(duì)于傳統(tǒng)均一材料更多的設(shè)計(jì)自由度和更優(yōu)異的力學(xué)性能，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程和航空航天等領(lǐng)域[1]。然而，傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法很難最大程度地發(fā)揮FGM結(jié)構(gòu)的最優(yōu)機(jī)械性能。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法通過(guò)尋求材料的最優(yōu)分布可以設(shè)計(jì)出具有優(yōu)良機(jī)械性能的FGM結(jié)構(gòu)。NELLI等[4]首次提出了利用連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化來(lái)設(shè)計(jì)FGM結(jié)構(gòu)，根據(jù)固體各向同性材料懲罰插值(solid isotropic material with penalization，SIMP)材料模型，提出一種新的材料模型FGM-SIMP來(lái)表示一個(gè)完全連續(xù)的FGM材料。在水平集方法框架下，XIA等[5]提出一種功能梯度結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)新方法，實(shí)現(xiàn)了材料屬性和機(jī)械性能的同時(shí)優(yōu)化。采用凸規(guī)劃求解策略以及周長(zhǎng)控制方法，LI等[6]對(duì)具有拉脹特性的新型功能梯度蜂窩復(fù)合材料進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。邱克鵬等[7]利用SIMP法實(shí)現(xiàn)了功能梯度MBB梁和功能梯度夾層結(jié)構(gòu)夾芯的拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)，并揭示了材料性能和材料插值模型對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中材料分布的影響規(guī)律。李信卿等[8]對(duì)周期性功能梯度結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了具有較好散熱性能的FGM結(jié)構(gòu)。雖然上述方法可以很好地提高FGM結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能，但都忽略了自重載荷和動(dòng)力學(xué)特性，而面向重型機(jī)械裝置、船舶和航空航天裝備領(lǐng)域中FGM結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)，自重載荷和動(dòng)力學(xué)特性往往無(wú)法忽視。

已有研究對(duì)均一化材料組成的機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行了考慮自重載荷的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。CHEN等[9]提出了一種基于設(shè)計(jì)相關(guān)載荷的線彈性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。BRUYNEEL等[10]研究了體積約束下柔順度最小化結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)結(jié)構(gòu)自重占主導(dǎo)地位時(shí)，會(huì)出現(xiàn)柔順度非單調(diào)性行為、最優(yōu)結(jié)果無(wú)約束行為等，針對(duì)這些缺陷，張暉等[11]利用材料屬性的有理近似(rational approximation of material properties，RAMP)材料插值模型和平均敏度過(guò)濾技術(shù)很好地解決了該問(wèn)題。還有學(xué)者利用雙線漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法和基于非均勻有理B樣條基函數(shù)插值的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)方法，成功解決了考慮自重載荷的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題[12-13]。然而，上述研究大多針對(duì)均一材料的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，而FGM的材料密度不均勻分布時(shí)，自重載荷對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果影響更大。

此外，考慮動(dòng)力學(xué)特性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法在機(jī)械工程領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注。OLIVER等[14]提出了一種增廣拉格朗日法，以解決一般動(dòng)態(tài)載荷作用下具有應(yīng)力約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題?；谝环N新的凝聚函數(shù)策略和時(shí)域求解結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的思路，ZHAO等[15]提出了一種新的拓?fù)鋬?yōu)化方法，可以有效降低結(jié)構(gòu)整個(gè)振動(dòng)階段最大動(dòng)態(tài)響應(yīng)?；谝环N逐次迭代分析策略，KANG等[16]研究了考慮自然頻率的動(dòng)態(tài)大規(guī)模拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。綜上研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)于FGM結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究較少。

基于此，本文提出了一種含自重載荷的功能梯度材料結(jié)構(gòu)時(shí)域動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法。給出了針對(duì)FGM結(jié)構(gòu)的自重載荷分配策略，研究了有/無(wú)自重載荷作用下，均一材料和功能梯度材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化構(gòu)型差異性，并利用數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)方法研究了均一材料組成結(jié)構(gòu)在考慮自重載荷和無(wú)自重載荷作用下優(yōu)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。

1 功能梯度材料結(jié)構(gòu)的材料模型

在SIMP材料插值模型框架下，建立相對(duì)單元密度和功能梯度材料彈性模量、功能梯度材料密度之間的關(guān)系[4，7]：

(1)

式中，EH、ρH分別為FGM的彈性模量和密度；E0、ρ0分別為初始設(shè)定的彈性模量和密度；a、b為FGM材料梯度變化的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)；x、y為設(shè)定在FGM區(qū)域的坐標(biāo)方向值；α為小于1的正實(shí)數(shù)，通常令α=15/16[15]；η為單元密度即設(shè)計(jì)變量；p為懲罰系數(shù)，通常令p=3，該懲罰系數(shù)可以有效地消除中間密度單元并推動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化趨向離散0-1解。

當(dāng)a和b等于0時(shí)，F(xiàn)GM沒(méi)有發(fā)生梯度變化，即相當(dāng)于傳統(tǒng)的均一材料，為功能梯度材料的特例。

如圖1所示，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域離散后，單元彈性模量和單元密度分別為該單元中每個(gè)節(jié)點(diǎn)處彈性模量和密度值的平均值，即

圖1 二維功能梯度材料結(jié)構(gòu)的材料分配策略

(2)

2 功能梯度材料結(jié)構(gòu)自重載荷的分配策略

如圖2所示，考慮4節(jié)點(diǎn)的四邊形有限元網(wǎng)格和沿垂直y方向施加重力載荷，每個(gè)單元質(zhì)量的四分之一分布在4個(gè)節(jié)點(diǎn)上，相鄰單元質(zhì)量在共同節(jié)點(diǎn)上疊加。由于功能梯度材料結(jié)構(gòu)的材料屬性呈梯度變化，所以功能梯度材料結(jié)構(gòu)單元的自重載荷也呈梯度變化。因此，功能梯度材料結(jié)構(gòu)受自重作用的單元載荷矢量為

圖2 二維功能梯度材料結(jié)構(gòu)的自重載荷分配策略

(3)

式中，g為重力加速度；Vi為單元體積。

自重載荷相對(duì)于一個(gè)單元的變化可表示為

(4)

3 功能梯度材料結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

在上述材料插值模型和自重載荷分配策略的基礎(chǔ)上，以動(dòng)柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)整體的體積為約束，建立FGM結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化列式：

(5)

式中，MH、ZH、KH分別為全局質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；N為單元數(shù)量；Ve為單元e的體積；Vmax為期望的總材料體積；為了避免有限元方程在求解過(guò)程剛度矩陣的奇異性，單元最小密度不取零，而是小的正數(shù)，ηmin=0.001；F(t)包括了自重載荷和外載荷；u(t)為在t時(shí)刻的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)；tf為外載荷加載時(shí)長(zhǎng)；η為設(shè)計(jì)變量向量。

目標(biāo)函數(shù)表達(dá)為

(6)

式中，C為結(jié)構(gòu)柔度。

3.2 靈敏度分析

(7)

外載荷與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)，將?f/?ηe表示為自重載荷對(duì)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)，進(jìn)一步可得

(8)

式(7)中引入伴隨變量λ的微分方程為

(9)

(10)

s∈[0，tf]

Λ(s)=λ(tf-t)

求解出伴隨變量，式(8)可進(jìn)一步寫(xiě)為

(11)

設(shè)瑞利阻尼Z=αrM+βrK，且系數(shù)αr和βr相互獨(dú)立，則

(12)

(13)

(14)

體積約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

(15)

求得目標(biāo)函數(shù)和體積約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度信息后，利用移動(dòng)漸近線方法(the method of moving asymptotes，MMA)[17]可以對(duì)式(5)中的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

4 算例

算例中使用的參數(shù)如下：彈性模量E0=200 GPa，泊松比υ=0.3，密度ρ=7800 kg/m3，重力加速度g=9.81 m/s2，結(jié)構(gòu)自重G=體積×密度×重力加速度×體積分?jǐn)?shù)。多項(xiàng)插值模型中的懲罰系數(shù)p=3，α=15/16。動(dòng)態(tài)載荷的單元時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.005 s。瑞利阻尼系數(shù)αr=10、βr=10-5，動(dòng)柔度單位為N·m。為了便于描述，將無(wú)自重載荷和考慮自重載荷的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)分別簡(jiǎn)寫(xiě)為W/oSL(without self-weight load)和WSL(with self-weight load)。

4.1 均一材料二維結(jié)構(gòu)算例

圖3 二維兩端固定梁結(jié)構(gòu)和外載荷

圖4所示為二維兩端固定梁結(jié)構(gòu)施加靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。其中，圖4a所示是考慮自重的靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果；圖4b～圖4d所示分別為使外載荷激勵(lì)時(shí)間tf為0.1 s、0.03 s和0.01 s時(shí)的WSL結(jié)果。表1所示為二維兩端固定梁結(jié)構(gòu)在加載時(shí)長(zhǎng)tf=0.01 s時(shí)，不同外載荷(以與自重的比值量化)的優(yōu)化結(jié)果，以及WSL和W/oSL的目標(biāo)函數(shù)比值γ(γ=JWSL/JW/oSL)。

(a)靜力學(xué)，J=7.602 N·m (b)tf=0.1 s，J=2.879 N·m

表1 加載時(shí)長(zhǎng)tf=0.01 s，不同外載荷對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

由圖4可知，動(dòng)力學(xué)優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)值均小于靜力學(xué)優(yōu)化結(jié)果，且當(dāng)加載時(shí)長(zhǎng)較大時(shí)(如tf=0.1 s)，動(dòng)力學(xué)優(yōu)化構(gòu)型與靜力學(xué)優(yōu)化構(gòu)型近似，這與預(yù)期的一致；當(dāng)加載時(shí)長(zhǎng)較小時(shí)(如tf=0.03 s)，動(dòng)力學(xué)優(yōu)化構(gòu)型明顯異于靜力學(xué)優(yōu)化構(gòu)型，加載時(shí)間越短(角頻率越大)，構(gòu)型差異越明顯。由表1可知，受自重載荷的影響，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的材料從固定端到外載荷施加點(diǎn)呈遞減分布，這是由于重力使簡(jiǎn)支梁中間位置動(dòng)態(tài)撓度變大，需要更多的材料分布到固定端以增加整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度。此外，當(dāng)外載荷占自重比值逐漸變小時(shí)，動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題由自重載荷和外載荷共同作用變?yōu)樽灾剌d荷占主導(dǎo)，此時(shí)會(huì)有更多的材料向兩側(cè)固定端分布，且目標(biāo)函數(shù)由2.291 N·m逐漸減小為0.339 N·m。此外，相同外載荷作用下，以WSL和W/oSL目標(biāo)函數(shù)比值γ作為自重載荷對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的影響程度指標(biāo)，當(dāng)外載荷占自重比值逐漸變小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)比值逐漸增大，與預(yù)期的結(jié)果一致。圖5是在加載時(shí)長(zhǎng)tf=0.01 s、外載荷F0=100%G時(shí)WSL和W/oSL的目標(biāo)函數(shù)和體積約束的迭代過(guò)程圖，可以發(fā)現(xiàn)，這兩種情況目標(biāo)函數(shù)均收斂良好，體積分?jǐn)?shù)均收斂至50%。

(a)WSL

4.2 功能梯度材料二維結(jié)構(gòu)算例

初始設(shè)計(jì)域和邊界條件均與4.1節(jié)一致，進(jìn)行功能梯度材料算例分析。表2所示為兩端固定二維梁結(jié)構(gòu)在加載時(shí)間tf=0.01 s和外載荷F0=100%G時(shí)，不同類型功能梯度材料的WSL和W/oSL結(jié)果。

表2 不同二維功能梯度材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

(1)當(dāng)a=0、b=0時(shí)，二維功能梯度材料是均一材料。WSL和W/oSL的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值分別為2.291 N·m和1.653 N·m，兩者目標(biāo)函數(shù)比值為1.39。

(2)當(dāng)a=0、b=0.06時(shí)，材料密度從下往上遞增且每層相同，F(xiàn)GM梯度方向與載荷施加方向一致。受FGM梯度方向的影響，優(yōu)化最終構(gòu)型的材料分布與均一材料有明顯不同，即有大量材料移動(dòng)到結(jié)構(gòu)下半部分的密度較低區(qū)域，以提供更大的結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度。此外，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)WSL和W/oSL的目標(biāo)函數(shù)值分別為1.914 N·m和0.562 N·m，兩者目標(biāo)函數(shù)比值為3.41，考慮自重情況下，有更多的材料向兩端約束位置分布，以抵抗自重載荷對(duì)FGM材料變形的影響。

(3)a=0、b=-0.06時(shí)，材料密度從上往下遞增且每層相同。材料梯度方向正好與a=0、b=0.06時(shí)的情況相反，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)的最優(yōu)材料分布規(guī)律也與之相反，即大量材料移動(dòng)到結(jié)構(gòu)上部分密度較低區(qū)域，以提高結(jié)構(gòu)整體動(dòng)剛度。WSL和W/oSL的目標(biāo)函數(shù)值相差較小，分別為4.816 N·m和4.155 N·m，但是最終優(yōu)化構(gòu)型上有較明顯的差異，即為了抵抗自重載荷的影響，前者的材料更多地向兩側(cè)約束處移動(dòng)。

(4)當(dāng)a=0.02、b=0時(shí)，材料性能從左往右遞增且每列相同，梯度方向與載荷施加方向垂直，此時(shí)FGM結(jié)構(gòu)產(chǎn)生撓度的方向和材料梯度方向垂直。對(duì)比WSL和W/oSL，重力載荷會(huì)增大FGM結(jié)構(gòu)在垂直梯度方向的撓度，需要更多的材料分布到結(jié)構(gòu)左側(cè)低密度區(qū)域以增加整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度；此外，由于FGM材料不對(duì)稱，最終的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型存在明顯的不對(duì)稱，且WSL的目標(biāo)函數(shù)是W/oSL的8倍左右，說(shuō)明了材料梯度方向?qū)GM結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果具有很大影響。

(5)當(dāng)a=0.01、b=0.01時(shí)，材料性能從左往右遞增，梯度方向與載荷施加方向相交45°。此時(shí)，F(xiàn)GM結(jié)構(gòu)變形方向與材料梯度方向相交45°，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的材料部分向FGM結(jié)構(gòu)左下角位置分布。同時(shí)，材料梯度分布不對(duì)稱導(dǎo)致最終的優(yōu)化構(gòu)型材料分布不對(duì)稱。

4.3 功能梯度材料三維結(jié)構(gòu)算例

基于二維的FGM材料模型，三維FGM材料模型在z方向(厚度方向)梯度變化的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)為q，則三維FGM的彈性模量和密度為

(16)

一個(gè)兩端固定三維梁結(jié)構(gòu)，在其上表面中心位置施加矩形載荷F0=G，其幾何尺寸、邊界條件和外載荷如圖6所示。初始設(shè)計(jì)區(qū)域的長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為15 m、3 m和1 m，網(wǎng)格單元個(gè)數(shù)為150×30×10，最終設(shè)計(jì)體積為初始設(shè)計(jì)區(qū)域的40%，過(guò)濾半徑rmin=2.5，結(jié)構(gòu)自重G=1 375 920 N。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題且不失一般性，這里假設(shè)FGM材料模型在厚度方向不發(fā)生變化，即q=0。不過(guò)，對(duì)本文方法進(jìn)行適當(dāng)修改，可以很容易解決三個(gè)方向都有梯度變化的情況。

圖6 三維兩端固定梁結(jié)構(gòu)和外載荷

圖7所示為自重載荷作用下，三維FGM結(jié)構(gòu)在加載時(shí)間tf=0.1 s、外載荷F0=100%G情況下，不同類型的功能梯度材料的優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯?，三維優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界清晰，優(yōu)化結(jié)果的規(guī)律與二維情況類似，表明該方法可以有效應(yīng)用到三維功能梯度材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，并進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性和良好的工程應(yīng)用潛力。

(a)WSL，F(xiàn)0=100%G，J=5.224 N·m

5 實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真研究

5.1 二維懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖8 懸臂梁結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)域和邊界條件

(a)W/oSL (b)WSL

5.2 懸臂梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真分析

對(duì)上述優(yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行CAD幾何重建模，然后利用ABAQUS穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析。采用4節(jié)點(diǎn)殼單元(S4)對(duì)仿真結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，全局單元網(wǎng)格尺寸為1 mm。圖10a和圖10b分別表示W(wǎng)/oSL和WSL前4階模態(tài)振型圖。注意到，懸臂梁優(yōu)化結(jié)構(gòu)在oxz平面的彎曲模態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)末端點(diǎn)在z方向的撓度最大，因此著重研究在oxz平面的彎曲模態(tài)。由圖10a可知，W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的前4階固有頻率分別為129.41，504.33，633.39，715.39 Hz，其oxz平面彎曲模態(tài)是第3階模態(tài)，固有頻率為633 Hz；由圖10b可知，WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的前4階固有頻率分別為152.94，558.25，728.56，768.95 Hz，其oxz平面彎曲模態(tài)是第4階模態(tài)，固有頻率為769 Hz?？梢?jiàn)，WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的每階固有頻率均有所提高，特別地，在工程中提高結(jié)構(gòu)的第1階固有頻率可以在一定程度上避免結(jié)構(gòu)發(fā)生共振。

(a)W/oSL

5.3 動(dòng)力學(xué)測(cè)試實(shí)驗(yàn)設(shè)置

動(dòng)力學(xué)測(cè)試實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖11所示，包括數(shù)據(jù)采集分析儀(型號(hào)AVANT-MI-6008)、功率放大器(型號(hào)HEA-200C)、激振器(型號(hào)JZK-10)、力傳感器(型號(hào)PCB-208C02)和加速度傳感器(型號(hào)KISTLER-8776A50M3)；實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用歐標(biāo)3030鋁型材進(jìn)行搭建；實(shí)驗(yàn)樣品采用三維打印機(jī)(型號(hào)JGMAKER-A6)制備，所用材料為PLA，打印層分辨力為0.1 mm，打印方向平行于結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度(圖12)。

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置

(a)W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)

5.4 實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真結(jié)果對(duì)比分析

由上述數(shù)值仿真結(jié)果可知，W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的oxz平面彎曲模態(tài)為第3階模態(tài)，固有頻率為633 Hz；WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的oxz平面彎曲模態(tài)為第4階模態(tài)，固有頻率為769 Hz。為了激發(fā)懸臂梁結(jié)構(gòu)在oxz平面的彎曲共振，對(duì)W/oSL和WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)分別施加頻率為633 Hz和769 Hz、幅值均為0.42 N的正弦激勵(lì)。圖13和圖14所示為W/oSL和WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真對(duì)比結(jié)果。圖15從實(shí)驗(yàn)上對(duì)比了WSL和W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

(a)加速度-時(shí)間曲線

(a)加速度-時(shí)間曲線

圖15 WSL和W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移-時(shí)間曲線實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

可以發(fā)現(xiàn)，W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真的加速度幅值均為7.1g左右，而WSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)均為5.3g左右。此外，兩種方法得到的位移幅值都十分相近(W/oSL為0.0039 mm和0.0045 mm；WSL為0.0021 mm和0.0022 mm)，表明實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果具有良好的一致性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比WSL和W/oSL優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移可以發(fā)現(xiàn)，WSL比W/oSL的位移幅值減小了近46%，說(shuō)明本文所提方法得到的WSL結(jié)構(gòu)具有更大的動(dòng)剛度。這些結(jié)果均證實(shí)了所提方法的有效性。

6 結(jié)論

本文提出了一種含自重載荷的功能梯度材料結(jié)構(gòu)時(shí)域動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法，系統(tǒng)研究了自重載荷和材料梯度方向?qū)?dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，并用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值方法驗(yàn)證了所提方法的有效性。研究發(fā)現(xiàn)：①自重載荷和材料梯度分布形式對(duì)FGM結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型和動(dòng)剛度具有較大的影響，且為了抵抗自重載荷對(duì)FGM結(jié)構(gòu)變形的影響，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型的材料分布會(huì)向材料低密度區(qū)域移動(dòng)；②考慮自重載荷的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)可以提高結(jié)構(gòu)固有頻率和結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度，在實(shí)際工程服役中具有更高的可靠度。需要指出的是，實(shí)際工程機(jī)械結(jié)構(gòu)會(huì)受到不同的載荷激勵(lì)，針對(duì)不同的具體載荷激勵(lì)特征進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和分析十分有必要，筆者將在后續(xù)工作中進(jìn)一步解決該問(wèn)題。